Đề tài Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp song song

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
" TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
1. Lý do chọn đề tài.
- Trong chương trình Toán học THPT thì kiến thức về Hình học không gian đối với nhiều học sinh là một mảng kiến thức mà các em cảm thấy gặp nhiều khó khăn và đôi khi còn thấy băn khoăn là mình có làm đúng hay chưa. Nội dung chương 3 sách Hình học lớp 11 về "Quan hệ vuông góc" đã gây khó khăn cho không ít học sinh vì vuông góc nhưng khi vẽ hình biểu diễn thì không thấy vuông góc trực tiếp, mối quan hệ giữa các yếu tố vuông góc, góc, khoảng cách không còn dễ thấy như trong Hình học phẳng nữa.
- Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, Tốt nghiệp THPT 2015 và các kỳ thi HSG, bài toán tính khoảng cách luôn là một dạng bài xuất hiện thường xuyên và là vấn đề mà nhiều học sinh cảm thấy không tự tin do đó kết quả chưa cao. Một phần vì các em còn bỡ ngỡ với Hình học không gian do trước đó là phần Hình học phẳng, hơn nữa Hình học không gian có vẻ trừu tượng hơn, khó hình dung, đặc biệt là "dễ gây hiểu nhầm", ví dụ nối 2 đường thẳng có vẻ cắt nhau nhưng thực chất là không cắt nhau, do ở vị trí chéo nhau, 2 đường thẳng vuông góc hay cần chứng minh vuông góc thì hình vẽ biểu diễn không thấy vuông góc ... Dẫn đến học sinh làm bài mà không chắc chắn là đúng hay sai và dần dần cảm thấy Hình học không gian "khó học" hay ít thấy thích học phần kiến thức này.
- Qua đề tài này, tôi muốn giới thiệu một bài toán cơ bản và một phương pháp thường dùng để học sinh có một cách giải tương đối tổng quát cho một lớp các bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Từ đó có thêm mối liên hệ cho bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
- Nội dung của đề tài:
 " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".
- Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11A1 năm học 2014 – 2015.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ vuông góc ” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản, nâng cao và một số bài toán khoảng cách trong đề thi Tuyển sinh Đại học, thi tốt nghiệp THPT 2015.
3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu.
- Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số kỹ năng cơ bản, phương pháp cơ bản tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng cách tạo ra đường thẳng song song. 
- Cung cấp cách giải mang tính khái quát, mối liên hệ với khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Hơn nữa, phương pháp giải ở đây chỉ là những cách thông thường, không phải là những cách giải tổng quát nhất cho dạng toán, mà đôi khi để giải bài toán ta còn phải vận dụng linh hoạt tổng hợp những cách khác.
- Phương pháp nghiên cứu: khảo sát điều tra thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, rút kinh nghiệm, trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ‎ý kiến đồng nghiệp...
II. NỘI DUNG SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP " TÌM KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG ".
1. Phương pháp chung.
- Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ta vận dụng tính chất thường gặp:
" Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia"
- Vận dụng tính chất này bằng cách tạo ra đường thẳng song song nên tôi tự đặt tên là "phương pháp song song" giúp học sinh dễ nhớ.
2. Nội dung phương pháp đưa ra.
- Từ bài toán cơ bản: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp (hay mặt phẳng chứa đỉnh chiều cao). Từ đó chuyển sang bài toán rộng hơn " Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau"
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN: 
	Là tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên (hay mặt phẳng 
	chứa đỉnh của chiều cao)
Minh hoạ: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Xác định khoảng cách từ điểm A đến mp (SBC).
Tính d[A; (SBC)] = ?
	Bước 1: Tìm giao tuyến của mp (SBC) và mp đáy, tức là (SBC) (ABC) = BC.
	Bước 2: Từ chân đường cao kẻ đoạn vuông góc đến giao tuyến, tức là kẻ AH BC
	 (H BC).
	Bước 3: Nối xiên lên trên đỉnh, tức là nối H với S.
	Bước 4: Kẻ đoạn vuông góc từ chân đường cao, tức là kẻ AK HS (K HS).
	 d[A; (SBC)] = AK
*** Yêu cầu: 
 Trong quá trình tính khoảng cách thì cần phải nắm vững quy trình của bài toán cơ bản 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
1. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song, 2 mặt phẳng song song, đường thẳng và mặt phẳng song song.
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
- Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ 1 điểm tuỳ ý trên đường thẳng đến mặt phẳng.
2. Tính chất của trung điểm của một đoạn thẳng liên quan đến khoảng cách.
- Tính chất 1: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm A thuộc mp (P). Khi đó khoảng cách từ trung điểm M đến mp (P) bằng một nửa khoảng cách từ đầu mút B đến mp (P).
- Tính chất 2: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M, điểm M thuộc mp (P). Khi đó khoảng cách từ 2 đầu mút A và B đến mp (P) là như nhau.
Tính chất 1: 	Tính chất 2: d[A, (P)] = d[B, (P)]
3. Tỉ lệ khoảng cách.
Cho đoạn thẳng AB có điểm A thuộc mp (P). Khi đó tỉ số khoảng cách từ M đến mp (P) và khoảng cách từ B đến mp (P) tương ứng tỉ lệ với đoạn thẳng AM và AB.
	Tính chất: 
4. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Cách 1: Là độ dài đoạn vuông góc chung
Cách 2: Bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song chứa đường thẳng kia.
Cách 3: Bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa 2 đường thẳng đó.
Từ đó dẫn đến 2 trường hợp để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
 TH1: 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc ---> Ta thường dùng cách 1
 TH2: 2 đường thẳng chéo nhau và không vuông góc ---> Ta thường dùng cách 2, cách 3.
III. BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
1) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc:
* Phương pháp: Xác định đoạn vuông góc chung
** Bài toán: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b và a b
b1) Chứng minh a b
b2) Tìm mp (P) chứa b và (P) a
b3) Gọi giao điểm của a và (P) là M
b4) Kẻ MH b (H b). Khi đó MH là đoạn vuông góc chung của a và b.
b5) Tính d(a, b) = MH.
2) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau (có thể là 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc).
- Ta vận dụng kết quả: 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song chứa đường thẳng kia.
** Ý tưởng giải: 
- Tìm ra hay vẽ thêm 1 đường thẳng song song với đường thẳng này và cắt đường thẳng kia. 
- Thường dùng: ưu tiên vẽ đường thẳng song song với đường thẳng thuộc mặt phẳng đáy.
	---> Xuyên suốt trong các bài tập cần nắm vững ý tưởng giải trên.
3) Nhận xét: 
	Trong nhiều bài toán để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì việc tìm ra đoạn vuông góc chung là khó khăn, do đó việc chuyển hoá sang khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia là cách làm khả thi hơn nhiều.
IV. VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG.
1) VÍ DỤ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA = 3a. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng:
	a) SA và BC;	b) SA và BD;	c) SC và BD.
Lời giải:
a) d(SA, BC)?
- Nhận xét: Cách 1: Chỉ ra đoạn AB là đoạn vuông góc chung là cách đơn giản nhất cho câu này
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? 	
Ý tưởng: Nhận thấy vì AB thuộc đáy nên ta tìm ra đường thẳng song song với AB và cắt SA
Ta có: BC//AD BC // (SAD) d(BC, AD) = d[BC, (SAD)] = d[B, (SAD)] = BA = a (vì AB (SAD)
b) d(SA, BD)?
- Nhận xét: Cách 1 (tốt nhất) .
	Gọi O là tâm hình vuông, chỉ ra AO là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? 
Ý tưởng: Nhận thấy vì BD thuộc đáy nên ta tìm ra đường thẳng song song với BD và cắt SA
b1) Kẻ AH // BD, AH = BD ( H BC).
b2) Ta có BD // (SAH)BD // (SAH) 
	d(BD, SA) = d[BD, (SAH)] = d[O, (SAD)] = OA = a (vì OA (SAH)
c) d(SC, BD)?
b) d(SC, BD)?
- Nhận xét: Cách 1 (tốt nhất) .
	Gọi O là tâm hình vuông, chỉ ra OK là đoạn vuông góc chung của SC và BD. 
- Tuy nhiên ta thử áp dụng phương pháp song song xem sao? 
Ý tưởng: Nhận thấy vì BD thuộc đáy nên ta tìm ra đường thẳng song song với BD và cắt SC.
b1) Kẻ CE // BD, CE = BD (với BDCE là hình bình hành)
b2) Ta có: BD // (SCE) d(BD, SC) = d[BD, (SCE)] = d[B, (SCE)] = d[A, (SCE)] 	
	(theo tính chất trung điểm)
Dễ thấy AC CE nên kẻ AI SC 	 AI (SCE) d(BD, SC) = d[A, (SCE)] = AI 
Xét tam giác vuông SAC, ta có: 
Vậy: d(BD, SC) = .
* Nhận xét chung qua ví dụ 1: Tuy phương pháp song song có dài dòng hơn nhưng cách giải vẫn khá mạnh cho cả 3 câu. Ta sẽ thấy cách giải trên còn mạnh hơn cho các bài toán sau (các dạng bài không dễ tìm đoạn vuông góc chung).
2) VÍ DỤ 2 (Câu 7 - TN THPT năm 2015). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), góc giữa SC và đáy bằng 450. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SB và AC
*Nhận xét: vì AC thuộc đáy nên ta vẽ BE //AC (phương pháp song song)
** Lời giải:
Dễ thấy SA = AC = 
Vẽ BE //AC, BE = AC (hay hình bình hành ACBE).
Ta có: AC // (SBE) d(AC, SB) = d[AC, (SBE)] = d[A, (SBE)] 	(1)
Kẻ AH BE, kẻ AK SH. Dễ thấy: d[A, (SBE)] = AK	(2)
Ta có AH = , xét tam giác vuông SAH, tính được: AK = 
Vậy: d(AC, SB) = 
3) VÍ DỤ 3. (Trích đề thi ĐH khối A - 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2. HB. Góc giữa SC và mp đáy bằng 600. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC theo a.
Ý tưởng tìm lời giải:
 Trong 2 đường thẳng SA và BC có BC thuộc mp đáy, nên ta vẽ đoạn thẳng AE song song và bằng BC. (phương pháp song song)
Lời giải:
- Kẻ AE // BC, AE = BC (hay có hình bình hành ABCE)
- Ta có: BC // (SAE) d(BC, SA) = d[(BC, (SAE)] = d[B, (SAE)] = d[H, (SAE)] 	(1) 	(Theo tính chất tỉ lệ của khoảng cách, vì AB = AE).
- Kẻ HK AE, kẻ HI SK, ta có HI (SAE) d[H, (SAE)] = HI
- Tính được AH = , HK = , HI = . Vậy d(BC, SA) = .
4) VÍ DỤ 4 (Trích đề thi ĐH khối A - 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; SA vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mp qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SN theo a. 	
* Ý TƯỞNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN: Trong 2 đường thẳng SN và AB có AB thuộc mp đáy 	nên ta vẽ đường thẳng song song với AB (phương pháp song song).
** Lời giải:
- Dễ thấy N là trung điểm của AC.
- Qua N kẻ đường thẳng NE sao cho NE //AB (với E là trung điểm BC, 
- Ta có: AB // NE AB // (SNE) d(AB, SN) = d[AB, (SNE)] = d[A; (SNE)] (1)
- Kẻ AH NE, kẻ AK SH nên AK (SNE) d[A; (SNE)] = AK 	 	 (2)
* Tính AK =? Dễ dàng tìm được: , SA = 2avà xét SAH, tìm AK = 2a
Vậy d(AB, SN) = 2a.
5) VÍ DỤ 5 (Trích đề thi ĐH khối D - 2008)
	Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và B'C theo a.
* Ý TƯỞNG PHÂN TÍCH LỜI GIẢI:
Cách 1: Trong 2 đường thẳng AM và B'C có AM thuộc đáy nên từ C ta vẽ đoạn thẳng CF song 
	 song và bằng MA.
Cách 2: Trong 2 đường thẳng AM và B'C có M là trung điểm của BC, nên ta vẽ đường trung 
	 bình ME // B'C thì lời giải dễ dàng hơn.
** LỜI GIẢI (THEO CÁCH 2).
- Gọi E là trung điểm của BB', ta có ME // B'C
- Ta có: B'C//ME 
 B'C // (AME) d(B'C, AM) = d[B'C, (AME)] = d[C; (AME)] = d[B, (AME)] (1)	
	(Theo tính chất của trung điểm)
- Kẻ BH AM, kẻ BK EH nên BK (EMA) d[B; (EMA)] = BK 	 	 (2)
- Tính BK?
Vậy d(B'C, AM) = .
V. BÀI TOÁN KHÁC VỀ KHOẢNG CÁCH
6) VÍ DỤ 6 (Trích đề thi ĐH khối A - 2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABCD) là trung điểm H của cạnh AB. Tính theo a khoảng cách từ A đến mp (SBD).
* PHÂN TÍCH BÀI TOÁN:
 Do bài toán cơ bản là tính d[H, (SBD)] nên ta quy d[A, (SBD)] về theo d[H, (SBD)].
** LỜI GIẢI:
- Vì AH (SBD) = B và AB nhận H là trung điểm 
d[A, (SBD)] = 2. d[H, (SBD)]	(1) 	(Theo tính chất của trung điểm)
- Kẻ HK BD, HE SK HE (SBD) d[H, (SBD)] = HE 	(2)
Xét các tam giác phù hợp, ta tính được: SH = a, HK = , HE = . Vậy: d[H, (SBD)] = 
Nhận xét chung: 
	Các bài toán về khoảng cách thường được quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và từ chân đường cao là điển hình, do đó phương pháp song song hay sử dụng tính chất trung điểm, tỉ lệ khoảng cách... là kỹ thuật biến đổi, qua đó giúp học sinh có thể thêm linh hoạt và tự tin hơn.
C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
- Qua quá trình giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy để dạy cho học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải hệ thống lại kiến thức, nắm được các phương pháp chứng minh, lập luận chặt chẽ, lôgíc,Ngoài ra cần giúp cho học sinh tư duy hình ảnh, rèn kỹ năng vẽ hình. Từ đó giúp học sinh tiếp thu kiến thức ngày càng tốt hơn, hiệu quả giảng dạy của giáo viên cũng được nâng dần. 
- Trong quá trình giảng dạy các lớp, đặc biệt là năm học 2014 - 2015 áp dụng cho lớp 11A1 và 12B3 trường THPT Chu Văn An - huyện Đức Trọng, tôi thấy lúc đầu khi chưa tổng hợp thành các phương pháp trên, tôi dạy theo cách thức của Sách giáo khoa thì nhiều em rất khó hiểu, không hình dung được và kết quả kiểm tra rất thấp. Sau khi tổng hợp thành các phương pháp trên với tính chất định hướng rõ hơn thì nhiều em đã nắm được bài toán, từ đó khi kiểm tra thì trên 70 % các em làm được (lớp 11A1), lớp 12B3 thì khoảng 20% (đương nhiên là bài toán vừa phải, còn những bài toán quá khó khác, hay bài toán có tính chất "mưu mẹo" thì chưa khảo sát được...
Kết quả thực nghiệm:
Kết quả kiểm tra đánh giá trước và sau khi hướng dẫn nội dung bài toán cho lớp 11 A1, 12B3 năm học 2014 – 2015 như sau: (tính trên bài kiểm tra 15 phút)
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ
Trên TB
Dưới TB
11A1
38
Trước: 8 HS (20%)
Trước: 30 (79%)
 Sau: 26 (70%)
 Sau: 12 HS (30%)
12B3
33
Trước: 1 HS (3%)
Trước: 32 (97%)
 Sau: 7 (20%)
 Sau: 26 HS (80%)
- Tỉ lệ trên dành cho các bài toán có mức độ thi khó như thi Đại học, còn tỉ lệ giải được cho bài toán khoảng cách cơ bản hơn thì đa số các em có thể giải được, lớp 12B3 thì tỉ lệ thấp hơn do đây là lớp mà đa số các em có thiên hướng học các môn KHXH, kiến thức nền tảng môn Toán chưa mạnh. 
D. KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
	- Giúp các em học sinh có phương hướng cho bài toán hình học không gian cụ thể hơn, không cảm thấy Hình học không gian khó hình dung, khó tưởng tượng như ban đầu nữa. Từ đó giúp các em có thêm thích thú học tập môn Hình học không gian, qua đó thấy thêm vẻ đẹp của Hình học không gian.
- Nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy cho bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
2. Khả năng ứng dụng.
- Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11, 12. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là ở phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
- Kết hợp với các hình vẽ bằng phần mềm: Cabri, Geometer's Sketchpad sẽ tăng cường tính trực quan của hình vẽ và khả năng tư duy của học sinh nhiều hơn.
3. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển.
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn môn hình học không gian thì giáo viên cần phải có một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy và trực quan hình vẽ.
- Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh. Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
4. Kiến nghị, đề xuất
 - Giáo viên nên tăng cường sử dụng Công nghệ thông tin với các phần mềm. Sử dụng các hình ảnh, video minh hoạ.
- Cần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy.
5. Trao đổi, học tập.
- Các phương pháp song song ở trên chưa phải là cách tổng quát và chưa là phương pháp giải tốt nhất nên mong muốn quý Thầy, Cô đóng góp ý kiến để đề tài này được hoàn thiện hơn, cùng giúp học sinh học tập tốt hơn kiến thức Hình học không gian và phần nào giúp các em tìm được vẻ đẹp ẩn chứa trong các hình vẽ, kiến thức Hình học không gian.
	Đức Trọng, ngày 22 tháng 01 năm 2016.
	Người viết
	 ĐỖ THANH MINH
MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ...............................................................................................................Trang 1
I. GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ............................................Trang 1
II. NỘI DUNG SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG " PHƯƠNG PHÁP SONG SONG"...........................Trang 1
B. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP.................................................................................... Trang 2
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN: . ................................................................................................ Trang 2
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ VẬN DỤNG CHO BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH.
.............................................................................................................................................Trang 2
III. BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. .............................................................................................................................................Trang 3
IV. VẬN DỤNG CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SONG SONG................................................Trang 4
V. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC VỀ KHOẢNG CÁCH................................................Trang 9
Nhận xét chung .................................................................................................................Trang 10
C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.....................................................Trang 10
D. KẾT LUẬN ..................................................................................................................Trang 10