Đề tài Rèn luyện kĩ năng tính thể tích khối chóp

S ABC ABC
a
V SH S  đvtt) 
Bài toán 23. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng a , với 
0 a ¡ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A và AD; là giao điểm của CN và DM. 
Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 3SH a . Tính thể tích khối chóp 
S.CDNM theo a (Trích đề tuyển sinh khối A năm 2010 ) 
Hướng dẫn Hình vẽ 
Nhận xét: 
 Tính thể tích khối chóp S.CDNM 
 Dựa vào hình học phẳng để tính diện tích 
tứ giác CDNM 
 Lập công thức tính thể tích khối chóp 
 Tính diện tích tứ giác CDNM 
 Tính thể tích khối chóp S.CDNM 
Bài gi i. 
   SH ABCD SH CDNM   
Thể tích khối chóp S.CDNM: .
1
.
3
S CDNM CDNMV SH S
 3SH a 
Diện tích tứ giác CDNM 
  CDNM ABCD AMN BMCS S S S    
 2 2 2 2 2
1 1
. .
2 2
AB AM AN BM BC
 
   
 
2 2 2
2 5
8 4 8
a a a
a
 
    
 
3
.
1 5 3
.
3 24
S CDNM CDNM
a
V SH S  đvtt) 
Bài toán 24. Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy 
trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết 5 , 6AB AC a BC a   ,với 0 a ¡ . 
S 
A 
B C 
D 
N 
M 
A 
B C 
D 
H 
M 
N H 
23 
Góc giữa mặt bên (SBC) với mặt đáy bằng 060 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
Hướng dẫn Hình vẽ 
Nhận xét: 
 là tâm đường tròn nội tiếp ABC 
 Lập công thức tính thể tích khối chóp 
 Tính diện tích tam giác ABC 
 Sử dụng công thức Hêrông: 
    S p p a p b p c    
  Xác định góc giữa (SBC) và (ABC) 
Tính độ dài đường cao SH 
 Sử dụng công thức: S pr 
 Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Bài gi i. 
 SH ABC 
Thể tích khối chóp S.ABC: .
1
.
3
S ABC ABCV SH S 
Nửa chu vi tam giác ABC: 
 
1
8
2
p AB BC CA a    ; 8 5 3p AB a a a    
8 5 3p AC a a a    ; 8 6 2p BC a a a    
Diện tích tam giác ABC: 
    28 .3 .3 .2 12S p p AB p AC p BC a a a a a      
Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của H 
trên BC, AB và AC HM BC  
HM HN HP r    bán kính đường tròn nội tiếp 
tam giác ABC) 
 
 
SH ABC SH BC
BC SHM SM BC
HM BC
  
   

   
 
 
,
,
SBC ABC BC
SM SBC SM BC
HM ABC HM BC
 

  

 
góc giữa hai mặt phẳng 
(SBC) và (ABC) là · 060SMH  
Ta có: 
212 3
.
8 2
ABC
ABC
S a a
S pr p HM HM
p a

       
Tam giác SHM vuông tại H 
0 3 3.tan 60
2
a
SH HM  
3
.
1
. 6 3
3
S ABC ABCV SH S a  đvtt) 
Bài toán 25. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, 2AC a , với 
0 a ¡ , · 030ACB  , hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm của 
cạnh AC và 2SH a .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
S 
H 
A 
B 
C 
M N 
P 
 
M 
H 
A 
B C 
P 
N r r 
r 
( 
60
0 
24 
 (Trích đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 ) 
Hướng dẫn Hình vẽ 
Nhận xét: 
 Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên 
mặt đáy là trung điểm của cạnh AC 
 D dàng xác định được đường cao của 
khối chóp và hình thành công thức tính thể 
tích khối chóp. 
 Để tính diện tích đáy, tham khảo cách tính 
ở bài toán 12 
 Lập công thức tính thể tích khối chóp 
 Tính diện tích tam giác ABC 
1
.
2
ABCS AB BC 
01 . sin 30
2
ABCS AC BC  
 Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Bài gi i. 
Ta có:  ; 2SH ABC SH a  
Thể tích khối chóp S.ABC: .
1
.
3
S ABC ABCV SH S
Tam giác ABC vuông tại B, ta có: 
 · 0 0sin sin 30 .s in30
AB
ACB AB AC a
AC
     
 · 0 0cos cos30 .cos30 3
BC
ACB BC AC a
AC
     
Diện tích tam giác ABC: 
21 3
.
2 2
ABC
a
S AB BC   
3
.
1 6
.
3 6
S ABC ABC
a
V SH S  đvtt) 
Bài toán 26. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh bằng a ,với 
0 a ¡ . Hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh SB tạo với mặt 
đáy một góc bằng 030 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
Hướng dẫn Hình vẽ 
 Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau 
theo giao tuyến d và cùng vuông góc với 
mặt phẳng (R) thì  d R 

   
   
   
 
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC
SAC ABC
 

  


 Xác định đường cao của khối chóp 
 Lập công thức tính thể tích khối chóp 
Bài gi i. 
   
   
   
 
SAB SAC SA
SAB ABC SA ABC
SAC ABC
 

  


Thể tích khối chóp S.ABC: .
1
.
3
S ABC ABCV SA S
S 
A 
B 
C H 300 ( 
 
S 
A 
B 
C 
30
0 
( M 
25 
 Tính diện tích tam giác ABC 
Tính độ dài đường cao SA 
 Tính thể tích khối chóp S.ABC 
Trong tam giác đều ABC cạnh a , gọi M là trung 
điểm của BC 3
2
AM BC
a
AM


 


Diện tích tam giác ABC: 
21 3
.
2 4
ABC
a
S AM BC   
 SA ABC AB  là hình chiếu vuông góc của SB 
trên (ABC) góc giữa SB và (ABC) là · 030SBA  
Tam giác SAB vuông tại A: 0. tan 30
3
a
SA AB  
3
.
1
.
3 12
S ABC ABC
a
V SA S  đvtt) 
5. Bài tập áp dụng. 
Đề bài Đáp án 
Bài 1. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại đỉnh 
C, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. iết , 5SA a SB a  , với 
0 a ¡ . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
3
.
3
S ABC
a
V  
Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy A C là tam giác đều cạnh a , với 
0 a ¡ , mặt bên S C là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông 
góc với mặt đáy A C). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
3
.
8
S ABC
a
V  
Bài 3. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình chữ nhật. 
Biết AB a ,với 0 a ¡ cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với 
mặt phẳng đáy một góc 045 và tạo với mặt phẳng (SAB) góc 030 . Tính thể 
tích khối chóp S.ABCD theo a 
3
.
2
3
S ABCD
a
V  
Bài 4. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác cân tại đỉnh B, 
3AC a , với 0 a ¡ , · 0120ABC  . Biết SA SB SC  , cạnh bên SA tạo 
với mặt đáy một góc 060 .Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 
(Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABC), vì SA SB SC  
nên OA OB OC  ) 
3
.
4
S ABC
a
V  
Bài 5. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại B, 
AB a , 2AC a với 0 a ¡ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng 
đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 060 .Tính thể tích khối 
chóp S.ABC theo a 
3
.
2
S ABC
a
V  
Bài 6. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình vuông cạnh bằng 
a , với 0 a ¡ . Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S là một điểm thuộc 
BD sao cho 3HD HB . Góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy bằng 060 .Tính 
thể tích khối chóp S.ABCD theo a 
3
.
30
12
S ABCD
a
V  
26 
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có 5 , 6AB a BC a  , 7AC a với 0 a ¡ , 
các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 060 .Tính thể 
tích khối chóp S.ABC theo a 
3
. 8 3S ABCV a 
Bài 8. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác đều cạnh a , 
với 0 a ¡ , mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 90
0
, các mặt bên còn lại 
đều tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 
3
.ABC
2
32
S
a
V 
Bài 9. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình chữ nhật, 2AB a , 
AD a ,với 0 a ¡ . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho 
2
a
AM  , cạnh AC cắt 
MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a . Tính thể 
tích khối chóp S.HCD theo a . 
3
.
4
15
S HCD
a
V  
Bài 10. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông cân tại B, 
biết BC a ,với 0 a ¡ , mặt bên (SAC) vuông góc với mặt đáy, các mặt bên 
còn lại đều tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 
3
.ABC
12
S
a
V 
Bài 11. Cho hình chóp S.A C có đáy A C là tam giác vuông tại A, biết 
70
2 , ,
5
a
AB a AC a SC   ,với 0 a ¡ .Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng 
 A C) là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 
3
.ABC
2 5
15
S
a
V 
Bài 12. Cho hình chóp S.A CD có đáy A CD là hình thang vuông tại A và 
D, 2AB AD a  , CD a ,với 0 a ¡ . Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và 
(ABCD) bằng 060 ,Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) 
cùng vuông góc với mặt đáy A CD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo 
a 
3
.ABCD
3 15
5
S
a
V 
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
Thông qua các dạng bài tập trên, các em đã dần chủ động trong việc đọc và phân 
tích nội dung đề bài, biết xác định đường cao của khối chóp, biết dựng hình và trình bày 
bài toán tính thể tích khối chóp dạng cơ bản. Bằng các bước thực hiện cụ thể, các em đã 
bớt lúng túng khi sắp xếp tưởng để trình bày bài giải, giúp các em từng bước phát triển 
khả năng lập luận một cách có hệ thống trước một vấn đề được đặt ra. 
Thật vậy, trong các tiết ôn tập cuối học kỳ I và cuối năm học, đặc biệt trong quá 
trình ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia năm 2015 này các em cảm 
thấy an tâm, tự tin khi giải quyết bài toán tính thể tích khối chóp và các bài toán liên quan 
đến tính thể tích khối đa diện. 
Qua khảo sát, nhìn chung các em đã biết vận dụng khá linh hoạt, biết nhận biết vấn 
đề và định hướng được cách giải cho từng dạng bài tập. Với cách làm cụ thể và chi tiết 
27 
này, học sinh có lực học trung bình – yếu có thể tiếp thu được nội dung cơ bản của bài 
toán tính thể tích khối chóp. 
Trong năm học 2014 – 2015, đề tài: “Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp” 
được tiến hành khảo sát ba lần, cụ thể như sau: 
Kh o sát l n 1 Th i gian: ngày 09 tháng 9 năm 2014 
Đố ượng kh o sát: Học sinh 2 lớp 12A10 và 12A12 năm học 2014 - 2015 
Đề kh o sát : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 
2a với 0 a ¡ 
a) Tính diện tích tam giác ABC 
b) Tính khoảng cách tử S đến mặt phẳng (ABC) 
Kết qu kh o sát 
Lớp Sĩ số 
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A10 39 2 5.1 4 10.3 19 48.7 8 20.5 6 15.4 
12A12 40 3 7.5 6 15.0 22 55.0 5 12.5 4 10.0 
Cộng 79 5 6.3 10 12.7 41 51.9 13 16.4 10 12.7 
Nhận xét :  Rất nhiều học sinh không nhận biết được hình chóp đều nên vẽ hình sai 
  Lúng túng trong việc tính diện tích tam giác đều 
  hông xác định khoảng cách tử S đến mặt phẳng (ABC) 
Kh o sát l n 2 Th i gian: ngày 02 tháng 12 năm 2014 
Đố ượng kh o sát: Học sinh 2 lớp 12A10 và 12A12 năm học 2014 - 2015 
Đề kh o sát : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , với 0 a ¡ , cạnh 
bên tạo với mặt đáy một góc 060 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 
Kết qu kh o sát 
Lớp Sĩ số 
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A10 38 2 5.3 6 15.8 23 60.5 5 13.1 2 5.3 
12A12 40 3 7.5 7 17.5 24 60.0 4 10.0 2 5.0 
Cộng 78 5 6.4 13 16.7 47 60.3 9 11.5 4 5.1 
Nhận xét :  Nhận biết được hình chóp đều, tuy nhiên còn lúng túng trong việc dựng đường 
 cao của khối chóp 
  Còn hạn chế trong việc xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
  Trình bày bài toán tính thể tích chưa chặt chẽ, cần được góp ý bổ sung nhiều 
Kh o sát l n 3 Th i gian: ngày 16 tháng 4 năm 2015 
Đố ượng kh o sát: Học sinh 2 lớp 12A10 và 12A12 năm học 2014 - 2015 
Đề kh o sát: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng a , với 0 a ¡ , 
cạnh bên SB vuông góc với đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 060 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 
28 
b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng (SCD) 
Kết qu kh o sát 
Lớp Sĩ số 
Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A10 38 4 10.5 13 34.2 19 50.0 2 5.3 0 0.0 
12A12 40 6 15.0 16 40.0 17 42.5 1 2.5 0 0.0 
Cộng 78 10 12.8 29 37.2 36 46.2 3 3.8 0 0.0 
Nhận xét :  Đã khắc phục được những hạn chế trong việc nhận dạng hình chóp và vẽ hình 
  Trình bày khá hoàn thiện bài toán tính thể tích khối chóp 
  Đa số biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Tuy kết quả còn khá khiêm tốn, chưa thật như mong đợi; nhưng với trách nhiệm và 
sự lo lắng của người thầy, trong một chừng mực nhất định tôi cảm thấy an tâm hơn vì học 
trò của mình đã biết chủ động, vận dụng khá linh hoạt các kiến thức về hình học để giải 
quyết bài toán liên quan đến tính thể tích khối chóp nói riêng và tính thể tích khối đa diện 
nói chung, giúp các em tự tin ôn tập, chuẩn bị bước vào kỳ thi trung học phổ thông quốc 
gia năm 2015 được tổ chức vào đầu tháng 7 tới. 
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 
Để giúp học sinh học tốt môn toán, qua thực tế giảng dạy và thông qua việc hướng 
dẫn học sinh làm quen với dạng toán tính thể tích khối chóp, tôi đề xuất một số ý kiến sau: 
1. Giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát huy khả năng quan sát, bởi vì trong toán học 
quan sát có hai mục đích: thứ nhất là thu nhận kiến thức mới, thứ hai là vận dụng kiến 
thức để giải bài tập. Việc vận dụng công nghệ thông tin vào dạy tiết hình học là cần thiết 
nhưng cần có sự chọn lọc hợp lí. Mỗi khi dựng hình, cần nhắc nhở học sinh chú ý từng 
thao tác và mối liên hệ giữa các thao tác nhằm từng bước nâng cao năng lực nhận thức 
trước một vấn đề nào đó d đơn giản hay phức tạp. 
2. Bồi dưỡng cho học sinh thói quen tính toán chính xác. Thể hiện qua những nội dung 
như : đọc kỹ đề, tính toán tỉ mỉ, xác định các điểm, các đỉnh , đường cao của khối chóp 
hợp lý, kiên trì kiểm tra lại kết quả và trình bày bài toán một cách lôgích. 
3. Học sinh cần có sự chuẩn bị bài trước khi đến lớp. Bởi vì khi chuẩn bị bài học sinh có 
dịp làm quen với kiến thức mới, quy luật nhận thức của con người không phải một lần là 
hoàn thành, mà phải qua một tiến trình: từ không biết đến biết, từ đơn giản đến phức tạp. 
Chuẩn bị bài giúp học sinh xác định được các cơ bản cần chú ý khi học tại lớp, làm cơ sở 
đề xuất ý kiến với giáo viên về những vướng mắc có liên quan đến bài học. 
KẾT LUẬN: 
Tôi luôn nghĩ rằng : sự tiến bộ và thành đạt của học sinh luôn là mong ước, là nguồn 
động viên tích cực của người thầy. Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài này vào 
thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy rằng các nội dung, phương pháp trong chuyên đề này đã 
29 
thực sự giúp ích cho các em rất nhiều, tạo điều kiện cho các em chủ động giải các bài tập 
liên quan đến tính thể tích khối đa diện nói chung và tính thể tích khối chóp nói riêng. 
Rất mong nhận được nhiều sự góp ý, sẻ chia của quý đồng nghiệp. 
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 ình học 11 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn ạo (Tổng chủ biên), guy n Mộng y 
(Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008. 
 ình học 11 ( sách giáo viên ) - Trần Văn ạo (Tổng chủ biên), guy n Mộng y 
(Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008. 
 ình học 12 ( sách giáo khoa ) - Trần Văn ạo (Tổng chủ biên), guy n Mộng y 
(Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008. 
 ình học 12 ( sách giáo viên ) - Trần Văn ạo (Tổng chủ biên), guy n Mộng y 
(Chủ biên), NXB Giáo dục, 2008. 
 Làm thế nào để học tốt môn Toán - Đào Văn Trung, X Đại học quốc gia Hà Nội, 
2001. 
 ướng dẫn ôn tập kì thi trung học phổ thông quốc gia năm học 2014-2015, môn 
Toán, Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Doãn Minh Cường, Nguy n khắc Minh, Phạm Đức 
Tài – NXB Giáo dục, 2015 
 NGƯỜI THỰC HIỆN : 
Nguy n Thanh am 
30 
MỤC LỤC 
------------ 
 Trang 
I. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 
II. Cơ sở lý luận và thực ti n ....................................................................................... 2 
1. Cơ sở lí luận ........................................................................................................ 2 
2. Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp của đề tài .................................... 2 
III. Tổ chức thực hiện các giải pháp ........................................................................... 3 
Ph n một: Hệ thống kiến thức liên quan đến bài toán tính thể tích khối chóp ....... 4 
Ph n hai: Thực hiện bài toán tính thể tích khối chóp .............................................. 7 
1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy ...................................................... 7 
Bài toán 1 ........................................................................................................................ 7 
Bài toán 2 ........................................................................................................................ 8 
Bài toán 3 ........................................................................................................................ 8 
Bài toán 4 ........................................................................................................................ 9 
Bài toán 5 ........................................................................................................................ 9 
Bài toán 6 ...................................................................................................................... 10 
Bài toán 7 ...................................................................................................................... 11 
Bài toán 8 ...................................................................................................................... 12 
Bài toán 9 ...................................................................................................................... 12 
Bài toán 10 .................................................................................................................... 13 
2. Khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy ...................................................... 14 
Bài toán 11 ..................................................................................................................... 14 
Bài toán 12 ..................................................................................................................... 14 
Bài toán 13 ..................................................................................................................... 15 
Bài toán 14 ..................................................................................................................... 16 
Bài toán 15 ..................................................................................................................... 16 
Bài toán 16 ..................................................................................................................... 17 
3. Khối chóp đều ......................................................................................................... 18 
Bài toán 17 ..................................................................................................................... 18 
Bài toán 18 ..................................................................................................................... 18 
Bài toán 19 ..................................................................................................................... 19 
Bài toán 20 ..................................................................................................................... 19 
4. Một số dạng khác .................................................................................................... 20 
Bài toán 21 ..................................................................................................................... 20 
Bài toán 22 ..................................................................................................................... 21 
Bài toán 23 ..................................................................................................................... 22 
Bài toán 24 ..................................................................................................................... 22 
Bài toán 25 ..................................................................................................................... 23 
Bài toán 26 ..................................................................................................................... 24 
31 
5. Bài tập áp dụng ....................................................................................................... 25 
IV. Hiệu quả của đề tài ............................................................................................. 26 
V. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng ........................................................... 28 
VI. Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 29