Đề tài Phương pháp dạy cho học sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ

( a+b)
3
 =a
3
+b
3
+3a
2
b+3ab
2
=a
3
+b
3
+3ab(a+b) 
 Vậy (**) có thể viết : 
   871.)7)(1(371 333  xxxxxx (I) 
 (đến đây thay 271 33  xx vào phƣơng trình) ta đƣợc: 
 0)7)(1(82.)7)(1(38 3  xxxx ( II) 
 Giải ra: 7;1 21  xx ; Thay lại vào PT đã cho ta thấy nghiệm đúng , nên đó là 2 
nghiệm của PT ban đầu. Vậy (2) có nghiệm 7;1 21  xx 
 + Ở phƣơng trình (2) ngoài việc lập phƣơng hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức 
một cách linh hoạt để đƣa phƣơng trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải. 
Chú ý: Do từ (I) suy ra (II) ta thực hiện phép biến đổi không tƣơng đƣơng , vì nó 
chỉ tƣơng đƣơng khi x thoả mãn : 271 33  xx . Vì vậy việc thay lại nghiệm 
của (II) vào phƣơng trình đã cho là cần thiết . Nếu không thử lại có thể sẽ có 
nghiệm ngoại lai. 
 Bài tập tƣơng tự : Giải phƣơng trình : 
a) 333 511 xxx  
b) 42312 33  xx 
c) 333 101212 xxx  ( Đề thi vào toán tin -2000) 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học 
sinh lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 6 
PHƢƠNG PHÁP 2: Phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình chứa ẩn trong dấu 
giá trị tuỵêt đối. 
 Phương pháp này là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết 
được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức : 
 AA 2 để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản 
Ví dụ: Giải phương trình : 
 532813232222  xxxx (3) 
 Nhận xét: + Ở phƣơng trình (3) học sinh có thể nhận xét vế trái có cùng căn bậc 
hai nên có thể bình phƣơng hai vế. Nhƣng ở phƣơng trình này sau khi bình 
phƣơng (lần 1) vẫn còn chứa căn nên rất phức tạp. 
 + Biểu thức trong căn có thể viết đƣợc dƣới dạng bình phƣơng của một biểu thức 
. 
Giải : ĐK: 
2
3
032  xx ; 532813232222  xxxx 
C1: Đến đây để giải (***) ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối, trƣớc khi phá dấu A thì 
cần xét dấu của A 
Nhận xét: 0132 x vậy chỉ xét dấu 432 x 
 Nếu 
2
19
2
3
1632
0432 






 x
x
x
x 
   
*)*(*;5432132
5432132
5164.322)32(1322)32(
22



xx
xx
xxxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 7 
 Thì 43283225432132  xxxx 
Giải ra 
2
9
x (Không thoả mãn điều kiện) 
+ Nếu 
2
19
2
3
432  xx 
Thì 005432132  xxx vô số nghiệm x thoả mãn 
2
19
2
3
 x 
 Kết luận: 
2
19
2
3
 x 
C2: ( Để giải (***) cũng có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối . 
.BABA  dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A.B0) 
Giải: (***) 
5324132
5432132


xx
xx
Ta có: 5324132324132  xxxx 
Vậy: 5324132  xx Khi    0324132  xx 








2
3
0324
x
x
 Giải ra: 
2
19
2
3
 x 
Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình 
a) 1267242  xxxx 
b) 21212  xxxx (Nhân 2 vế với 2 thì trong căn sẽ xuất hiện hằng 
đẳng thức) 
 PHƢƠNG PHÁP 3: Đặt ẩn phụ: 
Phương pháp đặt ẩn phụ là phương pháp hay mà tôi rất tâm đắc , phương pháp này 
có thể dùng để giải được rất nhiều phương trình 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 8 
Ở phƣơng pháp này dùng cách đặt ẩn phụ để đƣa về dạng phƣơng trình vô tỷ đơn 
giản 
 Cách đặt ẩn phụ: + Đặt 1 ẩn phụ 
 + Đặt 2 ẩn phụ 
 + Đặt nhiều ẩn phụ 
A) Cách đặt 1 ẩn phụ : 
C1: Chọn ẩn phụ thích hợp để đưa phương trình về phương trình có một ẩn là ẩn 
phụ đã đặt .Giải phương trình tìm ẩn phụ , từ đó tìm ẩn chính. 
VD1:Giải phương trình: 
 2 2x +6x+12+ 232  xx =9 (4) 
-Nhận xét:+ ở phƣơng trình này nếu bình phƣơng 2 vế sẽ đƣa về một phƣơng 
trình bậc 4 mà việc tìm nghiệm là rất khó 
 + Biểu thức trong và ngoài căn có mối liên quan : 
 2x
2
+6x+12=2(x
2
+3x+2)+8 
Hƣớng giải:+ Đặt ẩn phụ là y= 232  xx 
 + Chú ý: Đối với ĐK: x2+3x+2 0 có thể giải đƣợc nhƣng với những 
bài toán mà biểu thức trong căn phức tạp thì có thể tìm giá trị của x rồi thử lại 
xem có thoả mãn ĐK hay không 
Giải: ĐK: x2+3x + 2 0 ( x+1) (x+2) 0  




1
2
x
x
 Đặt : 232  xx =y 0 
PT (4)  2y
2
+y+8=9 
  2y
2
+y -1=0 
Giải ra:y1=1/2 ( Thoả mãn ĐK); y2=-1( Loại) 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 9 
Thay vào: 232  xx =1/2 x
2
+3x+2=1/4 
 Giải ra:x1=
2
23
 ; x2= 
2
23
Đối chiếu với ĐK: x= 
2
23
 thoả mãn là nghiệm của PT (4) 
VD2: Giải phƣơng trình: 
071262 22  xxxx 
( Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10 năm 2003-2004) 
Hƣớng dẫn : ĐK : xxx  ;07126 2 
Ta biến đổi để thấy đƣợc mối quan hệ giữa các biểu thứctrong phƣơng trình: 
07)2(62 22  xxxx 
 Đặt : axx  22 
Ta có phƣơng trình: aa  76 (I) 
Giải(I) tìm a từ đó tìm x. 
VD2: Giải phương trình: 
xxx 2)11)(11(  
HD: Ở bài này ta tìm mối liên hệ các biểu thức bằng cách đặt : ux 1 ; 
Rút x theo u thay vào các biểu thức còn lại trong phƣơng trình để đƣa về phƣơng 
trình ẩn u. 
Giải: ĐK : -1 1 x ; 
C1: Đặt: 
 )1(2)12()1()1(2)12)(1()5(
1
)20(
1
222
2




uuuuuu
ux
u
ux
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 10 







0)1(212
01
2 uu
u
+ Nếu : (101  uu thoả mãn) 011  xx (Thoả mãn ĐK) 
0145
)12(2
012
)1(212
2
22
2








uu
uu
u
uu
Giải ra: (11 u loại); 
25
24
1
5
1
5
1
2
2 





 xu thoả mãn điều kiện 
Vậy 
25
24
;0  xx là nghiệm của (5) 
c2:Ở bài này có thể đặt : bxax  1;1 ; 
Đƣa về hệ phƣơng trình: 






2
)1)(1(
22
22
ba
baba
C2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình về 2 ẩn: ẩn chính và ẩn phụ, tìm mối quan hệ 
giưã ẩn chính và ẩn phụ. 
VD3: Giải phương trình: xx  22
2 (6) 
 Nhận xét:- Nếu bình phƣơng hai vế đƣa về phƣơng trình bậc 4 khó nhẩm nghiệm vô 
tỷ.Vì vậy ta có thể đặt ẩn phụ nhƣng chƣa đƣa đƣợc về phƣơng trình chỉ chứa một 
ẩn. -Hãy tìm cách đƣa về một hệ phƣơng trình có 2 ẩn là ẩn chính và ẩn phụ. Tìm 
mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ từ đó đ ƣa về phƣơng trình đơn giản. 
 Giải: ĐK: 





02
02
2x
x
Đặt: 222 yxxy  ;Ta có hệ:






xy
yx
2
2
2
2
Đây là hệ phƣơng trình đối xứng 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 11 







yx
yx
xyxy
1
0)1)((
+ Nếu x=y ta có phƣơng trình: xx 2 giải ra 1x (thoả mãn điều kiện) 
+ Nếu1-x=y ta có phƣơng trình: xx  12 giải ra: 
2
51
x ( Thoả mãn điều 
kiện) 
 Vậy phƣơng trình (6) có 2 nghiệm 
2
51
;1 21

 xx 
VD4: Giải phương trình: 
 200620062  xx 
Cách 1: Đặt yx  2006 ta có hệ phƣơng trình 






2006
2006
2
2
yx
yx
 giải ra 











12006
2006
1 xx
xx
yx
yx
từ đó sử dụng phƣơng pháp 1 để giải tiếp. 
Chú ý : Cách này thƣờng sử dụng khi quan hệ ẩn chính và ẩn phụ đƣa đƣợc về hệ 
phƣơng trình đối xứng. 
Cách 2: Đƣa 2 vế về cùng bậc: 























2006
2
1
2
1
2
1
2006
2
1
2
1
2006
2
1
4
1
20062006
4
1
22
2
xx
xx
xx
xxxx
Đến đây tiếp tục giải theo phƣơng pháp 1 
Bài tập tương tự : Giải phương trình 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 12 
a) 33 1221  xx ; HD: Đặt ẩn phụ 3 12  xy ta có hệ : 






xy
yx
21
21
3
3
b) 14122 2  xxx ; HD : Đặt ẩn phụ xxy  2 
c) 15932764 22  xxxx 
B) Đặt 2 ẩn phụ: 
 Ở dạng này ta đặt 2 ẩn phụ đƣa về hệ phƣơng trình 2 ẩn phụ, giải hệ tìm giá trị 
của ẩn phụ, từ đó từ mối quan hệ giữa ẩn chính và ẩn phụ đặt lúc đầu đƣa về 
phƣơng trình đơn giản. 
 VD1: Giải phương trình: 112
3  xx (7) 
Nhận xét: Ở vế trái có căn bậc 2 và căn bậc 3 nên việc nâng luỹ thừa 2 vế để làm 
mất dấu căn là rất khó. 
 + Hai biểu thức trong căn có mối quan hệ: 112  xx (hằng số) 
 + Đặt 2 ẩn phụ: Sẽ đƣa về hệ 2 phƣơng trình không chứa căn và giải. 
 Giải: ĐK: 1x Đặt: 
vxux  1;23
 Ta có hệ phƣơng trình: 





1
1
33 vu
vu
 giải ra 2;1;0 321  uuu 
 Từ đó: 10;2;1 321  xxx ( thoả mãn điều kiện) 
Vậy phƣơng trình (7) có 3 nghiệm: 10;2;1 321  xxx 
VD2: Giải phương trình: 
3123  xx 
( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) 
HD: Đặt bxax  1;23 ; Ta có hệ:





3
3
23 ba
ba
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 13 
Giải ra:a=1; b=1 ; từ đó giải ra tìm x=3 
Tổng quát: Đối với phương trình có dạng: 
 cxfbxfa mn  )()( 
Ta thường đặt: mn xfbvxfau )(;)(  Khi đó ta được hệ phương trình: 





bavu
cvu
mn
 hoặc 





bavu
cvu
mn
Giải hệ này tìm u, v sau dó tìm x 
VD3: Giải phương trình: 
       0191313 3 23 23 2  xxx (9) 
Nhận xét: Nếu lập phƣơng hai vế thì cũng rất phức tạp vì không đƣa đƣợc về dạng 
a.b=0 nhƣ ở phƣơng trình (2) 
 )13)(13(19 2  xxx . Nên có thể đặt 2 ẩn phụ 
Giải: Đặt 3 13  xu 3 13  xv 
(9) trở thành: 






2
1
33
22
vu
uvvu
 Giải ra: 





1
1
v
u
 vậy ta có: 
 0
113
113
3
3







x
x
x
 Vậy (9) có nghiệm x=0 
Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình : 
a) 1
2
1
2
1
3  xx 
b) 133  bxax 
 Ngoài cách trên có một số bài khi đặt 2 ẩn phụ nhƣng không đƣa đƣợc về hệ PT 
thì ta có thể tìm quan hệ của 2 ẩn phụ , thay vào hệ thức đã đặt lúc đầu để đƣa về 
phƣơng trình đơn giản. Nhƣ các VD sau: 
VD4: Giải phương trình: 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 14 
 15)2(2 32  xx (10) 
Nhận xét: Nếu bình phƣơng hai vế của phƣơng trình sẽ đƣa về phƣơng trình bậc 4 
rất khó giải: 
Hƣớng dẫn: + Nhận xét gì về biểu thức x3+1 ? 
 có dạng HĐT: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1) 
+ Tìm mối quan hệ giữa x2+2 và x3 +1 
 x
2
 +2 =(x
2
-x+1)+(x+1) 
+ Từ đó ta có thể đặt 2 ẩn phụ: 1;1 2  xxbxa và tìm mối quan hệ a, b từ 
đó tìm x 
Giải: 
ĐK : 1x 
)1)(1(5)1(2 22  xxxx 
 Đặt 1;1 2  xxbxa 
 Ta có: a
2
=x+1 ; b
2
= x
2
-x+1 ; x
2
+2=a
2
+b
2
Phƣơng trình đã cho trở thành: 
 0)2)(2(
5)(2 22


baba
abba






ab
ba
2
2
 * Với a= 2b ta có: 121 2  xxx 












2
375
2
375
035
2
1
2
x
x
xx
( Thoả mãn điều kiện) 
+ Với b=2a Ta có: 1212  xxx . Từ đó giải ra tìm x 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 15 
 ( Ở dạng này việc tìm mối quan hệ giữa các biểu thức ở hai vế là rất quan trọng . 
Vì vậy trƣớc khi giải phải quan sát nhận xét để tìm ra phƣơng pháp giải phù hợp). 
VD5:Giải phương trình: 
 30239)53(2 22  xxxx 
 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2004-2005) 
HD : Hãy biểu diễn để thấy mối quan hệ các biểu thức: 
   32)9(391323 22  xxxx
Đặt: bxax  9;32 2 ; 
Ta có PT: 0))(13(3)13( 2  abbbaba 
Giải ra:






3
1
b
ab








932
3
1
9
2
2
xx
x
; Giải ra: x=0 
VD5: Giải phương trình: );8(21625 23  xx 
 ( Đề thi vào Phan Bội Châu 2005) 
HD: Biến đổi 
)8(2)42)(2(25 22  xxxx
 Mối liên hệ: )42()42(8 22  xxxx ; 
 Đặt: bxxax  42;)2(2 2 
 Ta có phƣơng trình: 0)2)(2()(25 22  bababaab 
Từ đó tìm a,b, và tìm đƣợc x 
 BT Tƣơng tự: Giải phương trình 
a) 83)23(2 32  xxx 
b) 1635233132 2  xxxxx 
Hƣớng dẫn:Nhận xét: 352)1)(32( 3  xxxx 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 16 
Đặt : 
4343
01;032
22222 

vuxxvu
xvxu
 Nên ta có phƣơng trình: 020)()(220 222  vuvuuvvuvu 
Đặt: u+v=t. Ta có phƣơng trình: t2-t-20=0 
 Giải ra: 




)(4
5
loait
t
Do đó: 5132  xx 
 Đến đây dùng phƣơng pháp 1 để giải: x=3 
C) Đặt nhiều ẩn phụ: 
VD1: Giải phương trình: 23222312 2222  xxxxxxx 
Nhận xét: + Phƣơng trình này nhìn rất phức tạp , nếu nghĩ đến phƣơng pháp bình 
phƣơng 2 vế thì sẽ đƣa về một phƣơng trình phức tạp . 
+ Việc đặt điều kiện để các căn thức có nghĩa có thể phức tạp , nên ta giải phƣơng 
trình tìm x rồi thử lại. 
+ Quan sát nhận xét các biểu thức trong căn : 
)2()322()23()12( 2222  xxxxxxx 
Nên có thể nghĩ đến phƣơng pháp đặt ẩn phụ : 
Giải: Đặt txxzxxvxxux  2;322;23;12 2222 
Ta có hệ :





2222 tzvu
tzvu
 Từ đó suy ra: 3212 22  xxxtu Giải ra : x=-2 
Thay vào thoả mãn phƣơng trình đã cho , Vậy phƣơng trình có nghiệm x=-2 
( Phƣơng pháp này tôi thấy hay và độc đáo , từ đó GV có thể đặt nhiều đề toán đẹp) 
Bài tập tƣơng tự: Giải phƣơng trình 
200220052003220062004200520052006 2222  xxxxxxx 
PHƢƠNG PHÁP 4: Đƣa về dạng : A2 + B2 = 0 hoặc A.B=0 
ở phƣơng pháp này ta sử dụng A
2
 + B
2
 = 0 A = B = 0 ; A.B =0 
Khi A=0 hoặc B=0 
Ví dụ: Giải phương trình: 322542  xxx 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 17 
Nhận xét: + Sử dụng các phƣơng pháp 1, 2, 3 đều khó giải 
 + Biến đổi đƣa về dạng A2 + B2 = 0 
 Giải:Điều kiện: 
2
3
x 








0132
01
0)132()1(
0)132232()12(
032254
22
2
2
x
x
xx
xxxx
xxx
Giải ra x=-1 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 14122 2  xxx 
Nhận xét: 
+ Ở phƣơng trình này ta có thể đặt ẩn phụ y = x2 + x từ đó đƣa về hệ phƣơng trình 
đối xứng: 






yyx
xxy
2
2
Từ đó suy ra: 




yx
yx
2
 rồi giải tìm x 
+ Ta cũng có thể nhân 2 vế của phƣơng trình với 2 rồi đƣa về dạng: 
 0)114(4 22  xx giải ra x=0 ( cách giải này đơn giản hơn) 
Bài tập tƣơng tự: Giải phương trình 
 a) 1262662  xxx b) 5634224  zyxzyx 
VD: Giải phương trình: 31125  xxx 
 ( Đề thi học sinh giỏi huyện 2005) 
HD: Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức: )1()1(435 xxx  ; PT trở thành: 
0)115()1(
011)12(0112)1()12( 22


xx
xxxxxx
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 18 
Giải ra: x=-24/25 ( TMĐK) 
Ngoài ra ta có thể đặt: bxax  1;1 ; ta có hê: 






042
2
22
22
baba
ba
; Từ đó giải ra tìm a;b và tìm đƣợc x 
Bài tập tƣơng tự : Giải phƣơng trình 
5
3
2314


x
xx 
HD: Nhận xét 22 )23()14(3  xxx Từ đó biến đổi đƣa về dạng :A.B =0 
PHƢƠNG PHÁP 5: Dùng bất đẳng thức 
 Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt. 
VD1: Giải phương trình: 2
14
14



 x
x
x
x
 (`11) 
Giải: ĐK: 
4
1
x ;Sử dụng bất đẳng thức: 2
a
b
b
a
 với a, b > 0 dấu “=” xảy ra khi 
và chỉ khi a=b Ta có: 2
14
14



 x
x
x
x
Do đó (11) 14  xx Giải ra: 32 x thoả mãn điều kiện 
Vậy (11) có hai nghiệm 32 x 
VD2: Giải phương trình: 
 222 2414105763 xxxxxx  (12) 
Nhận xét:+Ở phƣơng trình này ta không nên bình phƣơng hai vế 
 + Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn. 
 3x
2
+6x+7 = 3(x+1)
2
 +4; 5x
2
+10x + 14 = 5(x+1)
2 
+ 9; 4-2x-x
2
=-(x+1)
2
+5 từ đó có 
lời giải: 
Giải: VT: 5942414105763 222  xxxxxx 
 VP: 5)1(524 22  xxx 
 Vậy 2 vế đều bằng 5, khi đó 101  xx 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 19 
Kết luận pt (12) có một nghiệm x=-1 
BT tương tự: Giải phương trình 
a) 222 2414105763 xxxxxx  
b) 186
116
156 2
2
2



xx
xx
xx
VD3: Giải phương trình: 
 271064 2  xxxx 
Nhận xét: Nếu bình phƣơng 2 vế sẽ đƣa về phơng trình bậc 4, khó giải 
Hƣớng dẫn : Sử dụng BĐT so sánh 2 vế 
Giải: ĐK: 64  x 
 Ta thấy: 22)5(2710 22  xxx 
 Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có 
    
264
42.264116.14.1 22
2


xx
xxxx
Vậy ta suy ra: x2-10x+27=2 (1) 
 264  xx (2) 
Giải (1) ta đƣợc x=5 thay vào (2) ta thấy 2 vế bằng nhau. Vậy phƣơng trình có 
nghiệm x=5 
BT tƣơng tự : Giải phương trình 
a) 3111 444 2  xxx (HD: áp dụng BĐT cô si) 
b) 






x
x
x
x
1
4
1
22
2
2 
 Đƣa về dạng:   41122
2
2 








xx
xx rồi áp dụng BĐT Bunhiacopxki 
Tổng quát cách giải: 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 20 
 + Biến đổi pt về dạng f(x)=g(x) mà axgaxf  )(;)( với a là hằng số. Nghiệm 
của pt là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x)=a và g(x) = a 
 + Biến đổi pt về dạng h(x) =m ( m là hằng số) mà ta luôn có h(x)m và h(x)m 
thì nghiệm của pt là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra 
 + Áp dụng BĐT Côsi và Bunhiacôpxki 
PHƢƠNG PHÁP 6: Đoán nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất 
 Ví dụ: Giải pt: 1235 3 46  xx 
Nhận xét: Nếu sử dụng 5 phƣơng pháp trên đều khó giải đƣợc nên suy nghĩ để tìm 
cách giải khác. 
Hƣớng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm của pt 
 + Chứng minh nghiệm duy nhất 
Giải: Nhận thấy 1x là một nghiiệm của pt 
 + Xét 1x thì 1235
123
25
123
45
3 46
4
6
4
6














xx
x
x
x
x
 nên pt vô nghiệm 
 + xét 1x ta có: 1235
123
45
3 46
4
6







xx
x
x
 nên pt vô nghiệm 
Vậy pt có 2 nghiệm x=-1 và x=1 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
 181 335  xxx 
Giải: Nhận thấy x=0 là một nghiệm của phƣơng trình 
+Nếu x<0 thì 11;28;11 335  xxx 
 Vậy VP 1 nên phƣơng trình vô nghiệm . 
+ Nếu x>0 thì VP1 nên phƣơnhg trình vô nghiệm. 
Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phƣơng trình 
Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp dạy cho học sinh 
lớp 9 giải phương trình vô tỷ 
 Ngƣời thực hiện: Hoàng Thị Bích Lai –Trƣờng THCS Diễn Trƣờng 21 
BT tƣơng tự: Giải phương trình 
92123228 3 23 2  xxxx 
Hƣớng dẫn: TXĐ: x1 
 Nhận thấy x=2 là nghiệm 
 Chứng tỏ: 1x<2 thì phƣơng trình vô nghiệm 
 x>2 phƣơng trình vô nghiệm 
 (Ở những phƣơng trình phức tạp mà việc sử dụng các phƣơng pháp 1 đến phƣơng 
pháp 4 đều không giải đƣợc thì ta nghĩ đến phƣơng pháp 5). 
BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
 Trên đây tôi đã trình bày cách nhận dạng và các phƣơng pháp giải phƣơng trình 
vô tỷ. Trƣớc khi giải học sinh nhận xét và thử các biện pháp từ đễ đến khó để tìm ra 
phƣơng pháp phù hợp để giải. Sau đó học sinh sẽ giải các bài tập tƣơng tự cùng 
dạng, và tự đặt thêm một số bài tập để khắc sâu thêm phƣơng pháp giải . 
 Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng 
dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hƣớng tƣ duy ,hƣớng giải và phát triển bài toán 
.Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp 
cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề . Và tôi tin chắc rằng toán 
học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh . 
 Với kinh nghiệm nho nhỏ nhƣ vậy tôi xin đƣợc trao đổi cùng các đồng 
nghiệp.Tôi rất mong đƣợc sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp và các thầy cô 
đã có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy . 
 Diễn Châu ngày 25 tháng 5 năm 2005 
 Người thực hiện 
 Hoàng Thị Bích Lai