Đề tài Phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

à các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB1 và A1C1 sao cho MN//BD1. Tính tỉ số .
Lời giải Bài 1.1.
+) Chọn hệ véc tơ 
+) Đặt 
Ta có 
= (1)
và 
D1
N
M
A1
C1
B1
B
C
D
A
+) Vì MN//BD1 nên tồn tại số thực k sao cho (2)
So sánh (1) và (2) ta có hệ . Vậy .
Bài 1.2. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho . Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD tại Q. Tính tỉ số .
Lời giải Bài 1.2.
+) Chọn hệ véc tơ 
+) Ta có ,
, 
+) Đặt . Khi đó 
 (1)
Q
P
N
M
D
C
B
A
Mặt khác ba véc tơ đồng phẳng nên tồn tại các số thực m, n sao cho 
 = (2)
So sánh (1) và (2) ta có hệ: . Vậy .
Bài 1.3. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ//CM. Tính độ dài PQ.
Lời giải Bài 1.3.
+) Chọn hệ véc tơ 
Khi đó: và 
+) Giả sử và 
Khi đó ta có 
Q
P
N
M
D
B
C
A
 = (1)
+) Do PQ//CM nên tồn tại số thực k sao cho (2)
So sánh (1) và (2) ta có hệ: 
+) Khi đó .
Bài 1.4. Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 2. Gọi I là trung điểm của AB và O là tâm của mặt BCC1B1, M là điểm trên cạnh AD sao cho , P là trung điểm của BB1 và K là điểm sao cho .
a) Tìm số k và tỉ số biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1).
b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn , sao cho O, E, F thẳng hàng. Tìm các số m, n và độ dài EF.
Lời giải Bài 1.4.
+) Chọn hệ véc tơ 
 . 
Khi đó: và 
a) +) Ta có 
 (1)
+) Do MK//(PDC1) nên tồn tại các số x, y sao cho: 
B1
E
F
O
P
K
M
I
A1
C1
D1
D
C
B
A
 (2)
So sánh (1) và (2) ta có hệ 
Với 
b) Ta có (3)
Do O, E, F thẳng hàng nên có số thực k sao cho 
 (4)
So sánh (3) và (4) ta có hệ 
Khi đó .
d) Nhận xét: 1.1. Điểm mấu chốt của cả 4 bài toán trên là sử dụng định lí về sự biểu diễn tuyến tính duy nhất của một véc tơ tùy ý trong không gian theo ba véc tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ đó dẫn đến việc giải một hệ phương trình 3 ẩn. Việc làm này được lặp lại ở 4 bài với giả thiết và yêu cầu khác nhau đã thể hiện rõ tính thuật giải, tính ưu điểm lớn của phương pháp véc tơ. 
1.2. Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ cơ sở) một cách khéo léo để có thể biễu diễn các véc tơ khác theo chúng một cách thuận lợi nhất đã thể hiện được tính sáng tạo trong quá trình vận dụng phương pháp véc tơ vào giải toán hình học.
2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Giả sử d1 có véc tơ chỉ phương , đi qua A; d2 có véc tơ chỉ phương , đi qua B.
a) Thuật giải:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ , , không đồng phẳng. Cần chọn , , khéo léo để có thể tính các giá trị , , , 
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ và theo , , 
* Để tính góc giữa d1 và d2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:
Bước 3: Tính các giá trị 
Bước 4: Sử dụng công thức tính góc: 
* Để tính khoảng giữa d1 và d2 ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (). Giả sử . Biểu diễn véc tơ theo , , (phụ thuộc vào x, y)
Bước 6: Giải hệ phương trình đại số để tìm nghiệm (x;y)
Suy ra có sự biểu diễn (các số biết thông qua x,y). Từ đó tìm được độ dài: .
b) Bài tập minh họa:
Bài 2.1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đường chéo , và . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Lời giải Bài 2.1.
E
A
B
C
S
D
O
M
F
+) Chọn hệ véc tơ 
 . 
Khi đó: 
và 
+) Ta có , 
+) Tính : ,
Suy ra: 
+) Tính khoảng cách : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và BM (). Giả sử . Khi đó ta có:
 (1)
 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được. Do đó: 
.
Bài 2.2. Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 có tất cả các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 1. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, A1C1, B1C1. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng A1F, DE và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.2.
+) Chọn hệ véc tơ 
Khi đó: và 
, .
+) Ta có 
A
A1
B1
C1
C
B
D
E
F
J
I
+) Tính : , 
, .
Suy ra: .
+) Tính khoảng cách : Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A1F và DE (). Giả sử . Khi đó ta có:
 (1)
 	(2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được . Do đó: 
.
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh và các góc , , . Gọi M và N là các điểm lần lượt trên các cạnh AB và CD sao cho Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng MN và AC và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.3.
+) Chọn hệ véc tơ 
Khi đó: và 
 .
+) Ta có 
+) Tính :
A
M
D
N
C
B
E
F
.
Suy ra .
+) Tính khoảng cách : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và AC (). Giả sử . Khi đó ta có:
 (1)
 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được . Do đó: 
.
Bài 2.4. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 có độ dài các cạnh bằng a và các góc . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA1 và CD. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng MN, B1C và khoảng cách giữa chúng.
Lời giải Bài 2.4.
A
A1
D
C
B
D1
C1
B1
M
N
F
E
+) Chọn hệ véc tơ 
 . 
Khi đó: và 
+) Ta có 
 và 
+) Tính : , 
, 
Do đó 
+) Tính khoảng cách : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và B1C (). Giả sử . Khi đó ta có:
 (1)
 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được. Do đó: 
.
c) Nhận xét: 2.1. Rất khó có thể sử dụng phương pháp hình học tổng hợp và phương pháp tọa độ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 bởi giả thiết của bài toán không còn yếu tố trực giao. Tuy nhiên khi trình bày lời giải theo phương pháp véc tơ thì chúng ta thấy rõ “thuật giải” không có gì thay đổi so với hai bài trước đó. Rõ ràng việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 là sự lựa chọn tối ưu và sáng tạo nhất. Trong dạy học, giáo viên có thể thay đổi giả thiết về số đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài 2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết : , , , , để có thêm nhiều nội dung luyện tập cho học sinh.
2.2. Có thể kết luận: với thuật giải như trên thì có thể tính được góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau tùy ý trong không gian (với điều kiện là có thể chọn được một hệ véc tơ cơ sở , , và có thể tính được các giá trị , , , ). Đây chính là một điểm mạnh nữa của phương pháp véc tơ so với các phương pháp khác. 
3. Các bài tập tương tự
Bài 3.1. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 . Gọi I và J là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng B1D và AC sao cho IJ//BC1. Tính tỉ số . (Đáp số :)
Bài 3.2. Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1. Trên đường thẳng BC1 lấy điểm M sao cho các véc tơ đồng phẳng. Hãy tính tỉ số và diện tích tam giác MAB1. ( Đáp số: 3 và )
Bài 3.3. Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1. Trên các cạnh BC và DD1 lấy các điểm M và N sao cho . Chứng minh rằng MN vuông góc với AC1. Tìm x để độ dài MN ngắn nhất. (Đáp số: và MNmin=)
Bài 3.4. Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều với , SC(ABC) và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CN.( Đáp số: và )
Bài 3.5. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Biết góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa SM và CD. ( Đáp số: )
Bài 3.6. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông với , , , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và DN. (Hướng dẫn:Kẻ đường cao SH của SAB thì SH(ABCD) và . Chọn hệ véc tơ: . Đáp số: và )
Bài 3.7. Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc BAD với . Gọi M là điểm thỏa mãn và N là trung điểm của A1B1. Tìm k để C1M D1N. Khi đó hãy tính góc và khoảng cách giữa MN và BC. (Đáp số :, )
V. KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ
1. Phương pháp kiểm nghiệm: 
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi tác động. 
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm. Cụ thể như sau:
* Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chức dạy 3 buổi (bằng 9 tiết) về các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian theo phương pháp hình học tổng hợp. Trong 3 buổi trên có 2 buổi dạy lý thuyết và ví dụ minh họa, 1 tiết thảo luận các bài tập (mỗi dạng 2 bài tập)
* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013 tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phương pháp véc tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III của SKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập được nêu trong SKKN.
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau khi tác động.
2. Kết quả kiểm nghiệm: 
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lượng học kì I, được tổ chức kiểm tra tập trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động 
Lớp
Số bài
Điểm
0 – 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lớp đối chứng
45
sl
0
1
3
7
10
16
7
1
0
%
0
2.2
6.6
15.6
22.2
35.6
15.6
2.2
0
Lớp thực nghiệm
44
sl
0
2
2
8
8
17
6
1
0
%
0
4.5
4.5
18.2
18.2
38.7
13.6
2.3
0
Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động 
Nội dung so sánh
Lớp đối chứng 
Lớp thực nghiệm 
Điểm trung bình
6.38
6.32
Chênh lệch điểm trung bình
0.06
Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệch điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là không đáng kể, hai lớp được coi là tương đương và không cần thực hiện phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của các nhóm trước khi tác động.
b) Sau tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn hình học không gian (với thời gian làm bài 90 phút), do tổ trưởng chuyên môn ra đề. Lớp đối chứng và lớp thực nghiệm được kiểm tra vào cùng một thời gian, cùng một đề. Để đảm bảo tính khách quan, việc coi và chấm bài kiểm tra hoàn toàn do giáo viên trong tổ chuyên môn thực hiện.
Bảng 3: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra sau khi tác động 
Lớp
Số bài
Điểm
0 - 2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lớp đối chứng
45
sl
0
6
7
14
10
6
2
0
0
%
0
13.3
15.6
31.2
22.2
13.3
4.4
0
0
Lớp thực nghiệm
44
sl
0
0
2
4
12
11
9
5
1
%
0
0
4.5
9.1
27.3
24.9
20.5
11.4
2.3
Bảng 4: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra sau khi tác động 
Nội dung so sánh
Lớp đối chứng 
Lớp thực nghiệm 
Điểm trung bình
5.2
6.9
Độ lệch chuẩn
1.97
2.68
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn (SMD)
0.86
Từ Bảng 3 và Bảng 4 cho thấy, sau tác động sự chêch lệch giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình của lớp thực nghiệm cao hơn điểm trung bình của lớp đối chứng là không phải ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động. Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm 11G7 là điểm trung bình = 6.9 và kết quả bài kiểm tra của lớp đối chứng 11G2 là điểm trung bình = 5.2. Độ chênh lệch điểm số giữa hai lớp là 1.7. Điều đó cho thấy điểm trung bình của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng.
Theo bảng tiêu chí Cohen về tính chênh lệch giá trị trung bình chuẩn (SMD):
 Trung bìnhthực nghiệm - Trung bình đối chứng
SMD = -------------------------------------------------
 Độ lệch chuẩnđối chứng
Từ công thức trên ta có: SMD = 0.86. Kết quả về SMD nằm trong khoảng từ 0.80 đến 1.00 cho thấy mức độ ảnh hưởng của phương pháp véc tơ đến kết quả học tập môn HHKG lớp 11 của lớp thực nghiệm tại Trường trung học phổ thông Triệu Sơn 3 là lớn.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. KẾT LUẬN
Việc sử dụng Phương pháp véc tơ vào giải một số bài toán định lượng trong HHKG lớp 11 tại Trường THPT Triệu Sơn 3 đã hình thành và phát triển cho học sinh lớp 11 khả năng tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo trong quá trình học tập môn Toán nói chung và môn HHKG nói riêng; đã tạo được hứng thú và đã nâng cao được kết quả học tập môn HHKG; góp phần không nhỏ và việc nâng cao chất lượng thi HSG, thi ĐH-CĐ của nhà trường.
Các bài tập minh họa và bài tập tương tự được nêu trong đề tài hoàn toàn là do tác giả “chế biến” từ các bài toán HHKG trong một số đề thi HSG các tỉnh, đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ, đề khảo sát kiến thức thi ĐH-CĐ của các trường THPT trên toàn quốc trong những năm gần đây. Lời giải và các đáp số đã được kiểm nghiệm dạy thực tế tại Trường THPT Triệu Sơn 3 đối với lớp 11E1(năm học 2010-2011) và lớp thực nghiệm 11G7 trong năm học vừa qua, do đó đảm bảo tính chính xác, khoa học. Đây chính là các tư liệu tốt để phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG ở trường THPT, góp phần làm phong phú thêm kho tư liệu về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường phổ thông.
II. ĐỀ XUẤT
Trên đây là cách tôi đã thực hiện đối với học sinh lớp 11 trường THPT Triệu Sơn 3 trong năm học vừa qua. Rất mong vấn đề này được xem xét, mở rộng hơn nữa để áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, giúp các em có thêm tự tin và hứng thú khi học môn toán nói chung và môn HHKG nói riêng. 
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 30 tháng 05 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
TRỊNH QUỐC PHƯỢNG
PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1: Đề kiểm tra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước tác động
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: TOÁN - Lớp 11 
Thời gian làm bài: 90 phút
MA TRẬN ĐỀ
Nội dung
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
Phương trình lượng giác
1
1.5
1
1.0
2
2.5
Tổ hợp và xác suất
1
1.5
1
1
2
2.5
Phép dời hình và phép đồng dạng
1
1.5
1
1.5
Quan hệ song song trong không gian
1
1.5
1
1
2
2.5
Bài toán tổng hợp về lượng giác
1
1
1
1
Tổng
3	
4.5
3
3.5
2
2.0
8
10
PHẦN ĐỀ KIỂM TRA
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH (7.0 ĐIỂM)
Câu 1 (1.5 đ) Giải phương trình 
Câu 2 (1.5 đ) Một tổ có 12 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 học sinh đi tập văn nghệ .Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
Câu 3 (1.5 đ) Cho đường tròn có phương trình . Hãy viết phương trình ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo véc tơ .
Câu 4 (2.5 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, các cạnh bên bằng nhau và cùng bằng 1. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, AD, SC.
Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp.
Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện. Hãy tính diện tích của thiết diện đó.
II. PHẦN RIÊNG CHO TỪNG ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH (3.0 ĐIỂM)
A. Phần chỉ dành cho các lớp học theo Chương trình Nâng cao
Câu 5.a (1.0 đ) Giải phương trình .
Câu 6.a (1.0 đ) Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , biết n là số tự nhiên thỏa mãn: 
.
Câu 7.a (1.0 đ) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 
B. Phần chỉ dành cho các lớp học theo Chương trình Chuẩn
Câu 5.b (1.0 đ) Giải phương trình .
Câu 6.b (1.0 đ) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu- tơn của .
Câu 7.b (1.0 đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
--------------------------------Hết--------------------------------
PHỤ LỤC 2: Đề kiểm tra lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau tác động
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 3
ĐỀ KIỂM TRA MÔN HHKG LỚP 11NC
NĂM HỌC 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 ( 2.0 đ). Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1. Hãy tìm điểm I trên đường chéo B1D, điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ//BC1.
Câu 2(6.0 đ). Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng a. 
Chứng minh A1B B1D. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D
Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BB1, CD, A1D1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và C1N.
Câu 3 ( 2.0 đ). Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân với AB//CD, (). Biết hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC theo .
--------------------------------Hết--------------------------------
PHỤ LỤC 3: Bảng điểm lớp đối chứng 11G2
STT
Họ và tên
Điểm trước tác động
Điểm sau tác động
1
Lê Thị Phương Anh
6
5
2
Trịnh Thị Phương Anh
3
3
3
Lê Việt Anh
7
5
4
Phạm Thị Quỳnh Anh
6
7
5
Trịnh Thị Mai Anh
7
5
6
Lê Chung Anh
9
8
7
Nguyễn Hoàng Ngọc Ánh
6
5
8
Nguyễn Thanh Bình
7
7
9
Lương Đỗ Tuấn Bình
6
5
10
Quách Văn Chương
7
7
11
Hoàng Thị Dịu
4
3
12
Hà Thị Dung
6
3
13
Trần Thị Duyên
8
6
14
Hà Nguyễn Phương Giang
7
5
15
Lê Xuân Giang
6
5
16
Hoàng Thị Hoa
5
3
17
Bùi Thị Huê
4
3
18
Ngô Thanh Lâm
7
5
19
Lê Thị Lê
6
5
20
Nguyễn Thị Lệ
5
4
21
Phan Ngọc Linh
5
4
22
Trịnh Nguyệt Minh
8
7
23
Nguyễn Thị Nga
6
5
24
Tạ Thị Nga
7
4
25
Bùi Đình Ngọc
6
6
26
Bùi Xuân Nguyên
7
6
27
Nguyễn Đình Nguyên
4
3
28
Lê Thị Yến Nhi
5
4
29
Lê Thị Nhung
7
5
30
Vi Thị Oanh
8
7
31
Trịnh Văn Oánh
7
6
32
Bùi Minh Phương
5
4
33
Trần Văn Phương
7
6
34
Nguyễn Văn Quyền
6
5
35
Bùi Trịnh Thảo
5
4
36
Hà Thị Thảo
7
5
37
Lê MinhThảo
8
6
38
Lê Sỹ Thuỷ
8
5
39
Đỗ Thị Huyền Trang
8
6
40
Nguyễn Thu Trang
7
5
41
Trần Thị Kiều Trang
5
4
42
Nguyễn Thị Trinh
7
6
43
Nguyễn Thị Vân
7
6
44
Trịnh Thị Vân
8
8
45
Lê Bá Yến
7
6
PHỤ LỤC 4: Bảng điểm lớp thực nghiệm 11G7
STT
Họ và tên
Điểm trước tác động
Điểm sau tác động
1
Ngô Thị Vân Anh
7
8
2
Nguyễn Thị Hương Anh
6
8
3
Trịnh Quỳnh Anh
5
6
4
Nguyễn Hoàng Anh
7
8
5
Nguyễn Việt Anh
3
4
6
Phùng Đình Anh
4
5
7
Lê Thanh Bình
7
7
8
Lê Thị Minh Châu
5
6
9
Lê Đình Duẩn
7
8
10
Hoàng Công Đô
4
4
11
Hà Huy Đông
8
9
12
Lê Đình Điệp
7
7
13
Vũ Văn Đức
8
9
14
Hà Văn Giang
5
6
15
Nguyễn Nhật Hà
7
7
16
Lê Thị Hải
7
8
17
Nguyễn Văn Hải
7
7
18
Phạm Thanh Hải
7
7
19
Vũ Thanh Hiếu
7
8
20
Hà Thanh Hưng
5
6
21
Trần Văn Khải
8
9
22
Đoàn Văn Kiên
7
7
23
Lê Thị Lệ
5
5
24
Đặng Thị Linh
8
9
25
Hà Thị Linh
5
6
26
Nguyễn Thị Linh
6
7
27
Lê Thị Hà Mi
5
6
28
Phan Thị Mỹ
6
6
29
Hà Thị Na
7
7
30
Nguyễn Thị Bảo Nhi
7
8
31
Lê Thị Nhung
7
7
32
Hoàng Linh Phương
6
6
33
Hà Đăng Quang
7
7
34
Nguyễn Văn Hoàng Sơn
6
6
35
Lại Thanh Thảo
7
8
36
Lê Thị Thảo
6
6
37
Lê Đình Thế
6
6
38
Hà Văn Tuân
6
6
39
Đinh Ngọc Tùng
7
7
40
Lê Huy Tùng
3
5
41
Lương Sơn Tùng
9
10
42
Lê Văn Trung
5
5
43
Hà Xuân Trung
8
8
44
Nguyễn Anh Văn
8
9
MỤC LỤC 
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
2
1. Cơ sở lí luận
2
2. Mục tiêu của đề tài
2
3. Đối tượng nghiên cứu của đề tài
3
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 
3
III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
3
1. Giải pháp thứ nhất
3
2. Giải pháp thứ hai
4
IV. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
4
1. Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.
5
2. Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
9
3. Các bài tập tương tự
14
V. KIỂM NGHIỆM THỰC TẾ
16
1. Phương pháp kiểm nghiệm
16
2. Kết quả kiểm nghiệm
16
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
19
I. KẾT LUẬN
19
II. ĐỀ XUẤT
19
PHỤ LỤC
20
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRIỆU SƠN 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT GIẢI, TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 11 – THPT THÔNG QUA VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐỊNH LƯỢNG TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ
Người thực hiện: Trịnh Quốc Phượng
Chức vụ: Giáo viên 
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2013