Đề tài Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

am thức cùng dấu với a với mọi 
Nếu thì tam thức có hai nghiệm và:
Tam thức cùng dấu với a với 
Tam thức trái dấu với a với 
Cách lấy nghiệm của bất phương trình bậc hai
Xét bất phương trình bậc hai:. Dựa vào định lí thuận về dấu tam thức bậc hai ta có các trường hợp sau: 
Th1: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Th2: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Th2: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Th3:Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là , trong đó là hai nghiệm của phương trình 
Th4: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là , trong đó là hai nghiệm của phương trình 
 Với phương pháp tư duy tương tự học sinh sẽ suy ra được cách lấy nghiệm của các bất phương trình dạng còn lại: ; ;.
Cách giải bất phương trình tích và thương các nhị thức và tam thức
 Cho bất phương trình:( hoặc ) trong đó là tích hoặc thương của các nhị thức và tam thức ta có hai cách giải sau:
Cách 1: Lập bảng xét dấu của các nhị thức, tam thức có trong và dấu sau đó chọn miền nghiệm của bất phương trình là là miền giá trị của biến số làm dấu của phù hợp với dấu bất phương trình.
Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng
Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của các nhị thức, tam thức có trong và biểu diễn các nghiệm bội lẻ của trên trục số theo chiều tăng dần (nghiệm bội lẻ là nghiệm được lặp lại số lẻ lần ). Khi đó các nghiệm này sẽ chia trục số thành nhiều khoảng khác nhau.
Bước 2: Lấy một giá trị trên trục số thuộc tập xác định và không trùng với trên khoảng chứa . Dấu của sẽ bị đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ đã xếp trên trục số
Bước 3: Chọn miền nghiệm của bất phương trình là miền giá trị của biến x làm dấu của cùng dấu với bất phương trình.
PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
 Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Khi giải các phương trình này ta phải khử căn thức để đưa về phương trình đã biết cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình tích Tùy vào đặc điểm cụ thể của mỗi phương trình mà ta sử dụng phương pháp thích hợp để biến đổi thì mới khử được căn thức. Để học sinh dễ tiếp cận và rèn luyện kỹ năng biến đổi, nhận dạng từng phương trình, tôi đã thiết lập một hệ thống bài tập từ dễ đến khó và phân dạng theo từng phương pháp biến đổi xử lý căn thức như sau:
1. Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
 Đây là dạng phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. 
 Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình đã cho về phương trình tích hoặc phương trình hữu tỷ đã biết cách giải.
 Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai :
Dạng 1: ; Dạng 2: 
Dạng 3: 
Dạng 4: 
 Tương tự ta cũng sẽ có các dạng phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4 và vế trái là tổng của nhiều căn thức cùng bậc hơn.
 Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Và có thể ban đầu các phương trình đã cho chưa ở dạng trên nhưng sau một vài phép biến đổi tương đương đơn giản học sinh có thể biến đổi về các dạng này hoặc phương trình tích của một trong các biểu thức dạng này mà có một vế bằng 0.
 Hệ thống bài tập:
Bài 1 Giải các phương trình sau
1) 	 2) 	 3)
4) 5)	 6)
7) 8)	 9) 10) 11) 12)
13)	 14)
15) 16)
17) 18) 
19) 20)
Ví dụ: Giải phương trình sau 20) 
Giải: 20)
Giải (*)
Giải (**)
(vô nghiệm).
 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là 
Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 Sau đây là dạng phương trình vô tỷ không cơ bản. Để giải chúng ta không thể chỉ sử dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở trên vì nếu chỉ biến đổi như vậy sẽ có thể nhận được phương trình mới phức tạp hơn và không giải được. Vì vậy đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế các biểu thức có trong phương trình và biến đổi chúng thành những biểu thức chung, giống nhau rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình mới hoặc hệ phương trình đã biết cách giải. Như vậy tôi có thể chia lớp bài toán này thành ba dạng đặt ẩn phụ khác nhau tùy vào đặc điểm nhận dạng và cách giải cụ thể của chúng như sau:
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình mới dễ giải hơn
Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy có thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn trong phương trình về một biểu thức giống nhau. Khi đó ta thực hiện các bước giải như sau:
Các bước giải: 
 Bước 1: Quan sát phương trình và biến đổi để tìm ra biểu thức giống nhau rồi đặt biểu thức đó lầm ẩn mới: . 
 Bước 2: Tìm điều kiện của ẩn mới trên cơ sở điều kiện của ẩn cũ (nếu có). Đây chính là bài toán tìm miền giá trị của hàm số ( cũng là bài toán tìm max, min của hàm số )
 Bước 3: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình mới (chỉ chứa ẩn mới, không còn chứa ẩn cũ).
 Bước 4: Biến đổi yêu cầu bài toán cũ thành bài toán mới cho phù hợp với yêu cầu phương trình mới. Giải bài toán mới, tìm nghiệm ẩn mới.
 Bước 5: Thay nghiệm của ẩn mới vừa giải được vào cách đặt ở bước 1 để tìm nghiệm là biến cũ.
Hệ thống bài tập:
Bài 2 Giải các phương trình sau
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)	18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28); 29) 30)
Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/
Giải: Đk:.
 Đặt 
(đk:).
Thay vào phương trình 16) ta được: 
Với t=2 thay vào cách đặt được: 
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là: 
Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26) 
Giải: Đk:. 
 Đặt . Thay vào phương trình 27) ta được: 
Với a=0 thay vào cách đặt được: x=2 (thỏa mãn)
Với a=1 thay vào cách đặt được x=1 (thỏa mãn)
Với a=-2 thay vào cách đặt được x=10 (thỏa mãn)
 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28)
Giải: Nhận thấy điều kiện xác định và có nghiệm của phương trình là:
Khi đó ta có :
. Đặt . 
Khi đó phương trình đã cho trở thành: 	
Với thay vào cách đặt được: 
Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là: .
Đặt ẩn phụ đưa về phương trình chứa hai ẩn
 Phương pháp giải: Ngoài những dạng phương trình vô tỷ như đã nói ở trên, ta còn gặp những phương trình mà không thể biến đổi các biểu thức chứa ẩn về một biểu thức giống nhau. Ta có thể đặt căn thức làm ẩn mới rồi biến đổi phương trình đã cho về phương trình mà có chứa cả hai ẩn cũ và mới. Lúc này ta coi một trong hai ẩn làm tham số, giải phương trình với ẩn còn lại rồi thay kết quả vừa tìm được vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu. Về thực chất thì đây cũng là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ xong ta không chỉ rõ hệ mà thôi
 Đặc điểm nhận dạng: trong những phương trình này thường xuất hiện biểu thức tích của một căn thức với một đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất hiện một đa thức bậc hai hoặc đa thức có cùng bậc với bậc của đa thức trong căn. 
Hệ thống bài tập:
Bài 3 Giải các phương trình sau
 1) 2) 
3) 4)
5) 6)
Ví dụ: Giải phương trình: 1)
Giải: Đặt . Thay vào phương trình 1) ta được: . Nhận thấy phương trình (*) có: nên luôn có hai nghiệm là:. 
Với thay vào cách đặt ta được: 
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là 
Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Có nhiều phương trình vô tỷ không thể xử lí bằng phương pháp đặt ẩn phụ được thì ta có thể đặt thêm một hoặc hai ẩn mới nữa rồi biến đổi thành một hệ phương trình hai ẩn để giải. Sau khi tìm được nghiệm của hệ thay vào cách đặt ta được một phương trình. Giải phương trình này là tìm được ghiệm của phương trình đã cho.Hệ thống bài tập:
Bài 4 Giải các phương trình sau
1) 2) 3) 4) 5) 6) 
7) 8) 
Ví dụ: Giải phương trình sau: 1)
Giải: Đặt (*) Thay vào 1) ta được: (**)
Từ (*) và (**) ta có hệ: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 8) 
Giải: Đặt . Thay a, b vào phương trình 11) ta được: . Do đó ta có hệ phương trình:
 hoặc . Thay vào cách đặt ta được: hoặc 
 hoặc 
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: 
3. Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp
 Ngoài hai phương pháp khử căn thức trong phương trình vô tỷ như trên tùy vào đặc điểm cụ thể của các biểu thức trong phương trình mà ta có thể sử dụng các hằng đẳ thức sau để tạm thời phá căn biến đổi tương đương phương trình đã cho về một phương trình tích: 
 Khi đó ta gọi và ; và ; và là những biểu thức liên hợp của nhau. Và gọi phương pháp biến đổi này là phương pháp nhân liên hợp
 Chú ý: 1> Khi sử dụng phương pháp này nên tìm điều kiện xác định của phương trình trước
 2> Khi nhân hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp phải chú ý điều kiện khác 0 của biểu thức đó.
 3> Chỉ sử dụng phương pháp này được sau khi nhân liên hợp làm xuất hiện biểu thức giống nhau trong phương trình để có thể đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Hệ thống bài tập
Bài 5 Giải các phương trình sau
1)	2) 3) 4) 5) 6)	 7) 
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1)
Giải: Điều kiện .
 Khi đó nhân cả hai vế của 1) với ta được:
1)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5)
Giải: Nhận thấy 
Nhân cả hai về của 5) với Ta được:
5)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là .
 4. Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
 Khi gặp một phương trình vô tỷ mà không sử dụng được ba phương pháp trên ta có thể nghĩ đến phương pháp đánh giá để giải phương trình. Và đây đôi khi lại là phương pháp giải ngắn gọn độc đáo nhất. Tuy nhiên không phải bài nào cũng giải được bằng phương pháp này mà phải dựa vào đặc điểm riêng biệt của loại phương trình này nữa. Thông thường loại phương trình này hay vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất. Do vậy ta thường nhẩm lấy một nghiệm rồi dùng hàm số hoặc bất đẳng thức để đánh giá chứng minh tính duy nhất nghiệm. Do đó ta có hai kiểu đánh giá như sau:
Kiểu 1: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế của phương trình vế trái (VT) và vế phải (VP) như sau:
Nếu thì 
Kiểu 2: Dùng hàm số để đánh giá. Cụ thể là dùng bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất để đánh giá hai vế hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số đế chứng minh tính duy nhất nghiệm như đã trình bầy ở Phần 2 mục III.3.
Hệ thống bài tập
Bài 6 Giải các phương trình sau
1) 2) 3) 4)
5) 6)
7) 8) 
9)
Ví dụ 1:Giải phương trình 1)
Giải: Đk: 
Cách 1: Nhận thấy phương trình 1) có nghiệm x=3. Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất. Thật vậy:
Với x>3
 nên phương trình 1) không có nghiệm x>3
Với 
nên phương trình 1) không có nghiệm x<3
Kết luân: Tập nghiệm của phương trình là: 
Cách 2: Ta có :
Kết luân: Tập nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 2:Giải phương trình 4)
Giải: Tập xác định: . Nhận thấy phương trình có nghiệm 
Cách 1: Xét hàm số trên miền . 
Ta có nên hàm số đồng biến trên nửa khoảng nên phương trình 4) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất.
Kết luận: Tập nghiệm là .
Ví dụ 3: Giải phương trình 5)
Giải: Ta có : 5) 
Xét hàm với nên hàm số đồng biến trên miền x>0. ( Chú ý: Học sinh lớp 10 có thể xét tính đơn điệu như sách giáo khoa 10 đã hướng dẫn). Do đó ta có:
5)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là 
PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
 Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa căn thức ở một trong hai vế. Vì vậy đối với bất phương trình vô tỷ ta cũng có thể áp dụng cách phân loại bài tập và phương pháp giải như trên. 
 Tuy nhiên trong phương pháp biến đổi tương đương để cho việc biến đổi bất phương trình đỡ phức tạp ta có thể chia bài giải thành các trường hợp nhỏ.
 Hơn thế nữa, trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình thì phương pháp đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình chứa hai ẩn và đặt ẩn phụ đưa về hệ bất phương trình lại tỏ ra không được hiệu quả vì việc đánh giá và xét dấu với hai ẩn là rất khó khăn nên hạn chế dùng.
Dạng bài tập giải bằng phương pháp biến đổi tương đương
 Đây là dạng bất phương trình vô tỷ cơ bản và đơn giản nhất. Để giải chúng ta chỉ cần vận dụng một số phép biến đổi tương đương thông thường như đã nói ở Phần 2, mục I.2.2 để đưa bất phương trình đã cho về bất phương trình tích hoặc bất phương trình hữu tỷ đã biết cách giải. Các phép biến đổi tương đương để làm mất căn thức ở đây chủ yếu là phép cô lập căn thức rồi nâng lũy thừa hai vế lên cùng bậc với bậc của căn thức. Thông thường chúng có đặc điểm nhận dạng và cách giải như sau đối với căn bậc hai :
Dạng 1: Dạng 2: 
Dạng 3: hoặc 
Dạng 4: 
Dạng 5: hoặc 
 Đối với các bất phương trình có đấu phương pháp biến đổi cũng tương tự như trên chỉ khác là các điều kiện xác định không ngặt nghèo như trên mà các hàm số dưới dấu căn và các điều kiện chỉ cần là không âm.
 Tương tự ta cũng sẽ có các dạng bất phương trình vô tỷ như trên nhưng ứng với các căn thức bậc chẵn cao hơn như căn bậc 4 và vế trái là tổng của nhiều căn thức cùng bậc hơn.
 Chú ý với dạng căn bậc ba và bậc lẻ thuộc dạng trên khi nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện như các căn bậc chẵn. Hệ thống bài tập:
Bài 1: phương pháp biến đổi tương đương
 a. Phương pháp luỹ thừa hai vế 
1) 	 2)	 3)
4) 5) 6)
7) 8)	 9)
10)	 11)	 12) 
13)	 14) 15)	16) 17) 
b. Phương pháp chia khoảng 
 Để quá trình biến đổi đỡ phức tạp hoặc khi đã biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc khi cần quy đồng hai vế của một bất phương trình vô tỷ ta có thể chia thành các trường hợp để giảm bớt sự phức tạp cho việc giải bất phương trình.
1)	 2) 
3) 4) 5) 6) 7) 8)
Dạng bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bài 2: ( Phương pháp đặt ẩn phụ )
1)	2) 	 	 3)
4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)	 13) 14) 15) (KB-2012) 
16) Với giá trị nào của m thì bất phương trình: thỏa mãn 
Dạng bài tập giải bằng phương pháp nhân liên hợp 
Bài 3: ( Phương pháp nhân liên hợp)
1)	 2) 	 3) 4) 5)	 
6) 7) 
Dạng bài tập giải bằng phương pháp đánh giá
Bài 4: ( Phương pháp đánh giá)
1), 2) ,3) 
Một số bài toán bài toán chứa tham số
Bài 1 Tìm m để các phương trình,hệ phương trình sau có nghiệm thực. 
a) ; b) ;
c)(HSG-2010) d)
Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau
a/ e/ b/ c/ c/
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CỦA HỆ THỐNG BÀI TẬP
1. Hướng dẫn và đáp án bài tập phương trình và hệ phương trình vô tỷ
Bài 1: 1), 2) ,3) ,4) ,5) ,6) 7) 8) , 9) , 10) , 11) 12) , 13) , 14) ,15) ,16) , 17) ,18) , 19) 
Bài 2: 1), 2) , 3) , 4) ,5) , 6) 7) , 8) , 9), 10) ,11)
12) ,13) ,14) ,15),16) ,17) 18) , 19) ,20),21) 22) , 23) , 24) 25) , 27) ,29) HD: Bình phương hai vế, chia cả hai vế cho , đặt ;
30) HD:Bình phương hai vế, đặt 
Bài 3: 2) , 3) , 4) ,5) , 6) 
Bài 4: 2),3),4) ,5),6),7) 
Bài 5: 2) , 3) , 4) , 6) ,7)
Bài 6: 2) HD:dùng Bunhiaccôpxki đánh giá vế trái, 
 3) , 6)HD sử dụng Côsi cho vế trái , 7) dùng Bunhiaccôpxki , 8) Dùng hàm số được , 9) 
2. Hướng dẫn, đáp án bài tập bất phương trình,hệ bất phương trình vô tỷ
Bài 1a: 1),2),3) ,4) ,
5),6),7) ,8), 9),10)11),12),13),
 14) , 15) , 16) , 17) 
Bài 1b:1),2),3),4
5),6),7) ,8)
Bài 2:1),2),3),4)
5),6),7),8),9
10),12),13) ,14) ,15)
Bài 3:1),2),3),4)5),6),7)
Bài 4:1),2),2)HD: dùng Côsi ,3) HD: dùng Côsi 
 VI. Thùc nghiÖm vµ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 
1. Kết quả đạt được của quá trình nghiên cứu
	Trên đây tôi vừa trình bầy nội dung sang kiến kinh nghiệm về phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ. Toàn bộ kiến thức đã sử dụng trong bài viết này đều được trang bị rất đầy đủ và chi tiết trong chương trình học tập của học sinh lớp 10 và lớp 12 theo chương trình sách giáo khoa mới biên soạn của Bộ Giáo Dục và đào Tạo. Kết quả đạt được là:
1.1 Kết quả thứ nhất: Tìm ra bốn cách giải các bài toán giải phương trình và bất phương trình bậc hai
1.2 Kết quả thứ hai: Ứng dụng bài toán trên để giải quyết một số vấn đề của đại số và giải tích có liên quan đến phương trình và bất phương trình vô tỷ.
1.3 Kết quả thứ ba: Rèn luyện tư duy linh hoạt sáng tạo, tư duy giải quyết vấn đề, tư duy biện chứng, xây dựng và phát triển sự say mê và yêu thích toán học. Kết quả thực nghiệm cho thấy sự tiến bộ của các em học sinh thể hiện rõ rệt. Các em giải quyết tốt các bài toán đặt ra một cách linh hoạt và sáng tạo. Đứng trước các bài toán này các em tỏ ra tự tin, chủ động và linh hoạt hơn để phân tích và nhận định bài toán nhằm lựa chọn cách giải thích hợp và ngắn gọn. Giờ học toán và các tiết kiểm tra được các em hào hứng chờ đợi, đặc biệt là trong các giờ luyện tập các em thi đua nhau tìm ra những lời giải hay, cách giải đẹp làm không khí học tập trong lớp rất sôi nổi.
2. Phương pháp đánh giá
	Để đánh giá hiệu quả sau 24 tuần giảng dạy và học tập tôi tiến hành kiểm tra đánh giá ở hai thời điểm là sau 12 tuần và sau 24 tuần bằng các bài kiểm tra đánh giá chuyên môn
2.1. Bài số 1- Lớp 10: Bài kiểm viết tra giữa chương 3, Phương trình và một số phương trình quy về bậc hai
 - Lớp 12: Bài kiểm tra chương 1:Ứng dụng đạo hàm của hàm số.
2.2. Bài số 2
Lớp 10: Bài kiểm tra viết chương 4, Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai
Lớp 12: Bài kiểm tra chương 2, phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
3. Kết quả thực nghiệm
	 Kết quả bài kiểm tra ở các lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Lớp 10A7
Sĩ số 42
Kết quả ban đầu
2
5%
17
41%
20
48%
2
4%
1
2%
Bài kiểm
 tra số 1
2
5%
18
43%
19
45%
2
5%
1
2%
Bài kiểm tra số 2
3
7%
19
45%
18
43%
1
2%
1
2%
Lớp 12A1
Sĩ số 44
Kết quả ban đầu
2
5%
17
38%
22
50%
2
5%
1
2%
Bài kiểm tra số 1
3
7%
18
41%
21
48%
1
2%
1
2%
Bài kiểm tra số 2
3
7%
19
43%
21
48%
1
2%
0
0%
Kết quả bài kiểm tra ở lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Số lượng
Phần trăm(%)
Lớp
10A3
Sĩ số 45
Kết quả ban đầu
2
4%
18
40%
20
45%
3
7%
2
4%
Bài kiểm tra số 1
5
11%
19
42%
20
45%
1
2%
0
0%
Bài kiểm tra số 2
9
20%
20
44%
16
36%
0
0%
0
0%
Lớp 12A4
Sĩ số 44
Kết quả ban đầu
3
7%
16
36%
22
50%
2
5%
1
2%
Bài kiểm tra số 1
6
14%
19
43%
18
41%
1
2%
0
0%
Bài kiểm tra số 2
11
25%
19
43%
14
32%
0
0%
0
0%
 Thông qua hai bản kết quả trên ta thấy thành tích học tập của các em học sinh của cả hai khối lớp có thực nghiệm và không thực nghiệm có sự tăng trưởng đáng kể. Tuy nhiên mức độ tăng trưởng ở mỗi nhóm là khác nhau. Đối với khối lớp không có thực nghiệm giáo dục, sự tăng trưởng chậm, chủ yếu diễn ra ở số học sinh khá, số học sinh yếu và kém có giảm nhưng không đáng kể. Còn ở khối lớp có thực nghiệm thì quá trình tăng trưởng có nhiều bước đột phá, đặc biệt là số học sinh khá và giỏi, số yếu kém không còn nữa.
C. KÕt luËn
I. GIÁ TRỊ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 Do hệ thống bài tập được phân loại từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên dễ dàng được sử dụng như một bài giảng để giảng dạy cho tất cả các em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh khá giỏi và luyện thi đại học. Giúp các em nhận thức đầy đủ về kiến thức, phương pháp cũng như có nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình.
 Mặt khác cùng với hệ thống bài tập là những ví dụ minh họa và các hướng dẫn, đáp án kèm theo nên có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này để làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh tự học, tự rèn luyện
II. §Ò xuÊt vµ kiÕn nghÞ
 Đề tài này vẫn còn có thể được khai thác và mở rộng thêm trên lớp các bài toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ. Đây là lớp bài toán lớn có cùng phương pháp giải quyết vấn đề như vậy. Thông qua bản sáng kiến kinh nghiệm, tôi thực sự muốn chia sẻ kinh nghiệm nhỏ của bản thân mình với các đồng nghiệp. Rất mong có được sự quan tâm và góp ý.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị
Thanh Hóa ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 PHẠM THỊ NGA