Đề tài Một số phương pháp giải phương trình mũ – Phương trình logarit

 x     ¡ 
nên f(x) là hàm luôn đồng biến trên tập R và g(x) là hàm luôn nghịch biến trên tập ¡ 
mặt khác (0) (0) 2 ( ) ( ) 0f g f x g x x      
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 0 
c) Ta có: 6 2 5 3x x x x   6 5 3 2x x x x    
 Giả sử phương trình có nghiêm . Khi đó:  2356  . 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 17 - 
Xét hàm số      tttf  1 , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý 
lagrange tồn tại  2;5c sao cho:     1' 10 1 0 0, 1f c c c              
, thử lại 
ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình. 
d) Ta có : 
2 1 22 2 ( 1)x x x x    
21 22 1 2x x xx x x       
Xét hàm số   ttf t  2 trên tập R 
  ' 2 ln 2 1 0, tf t x    ¡ nên f(t) là hàm đồng biến trên R . 
Vậy phương trình được viết dưới dạng:    2 21 1 1f x f x x x x x x         
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
e) Ta có: 3 2 3 2x x x   . 
Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. 
Ta cần chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác. 
Xét hàm số   3 2 3 2x xf x x    
Ta có:     2 2' 3 ln3 2 ln2 3; '' 3 ln 3 2 ln 2 0x x x xf x f x      
Đồ thị của hàm số này lõm trên R, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm. 
Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1 
Nhận xét: Đây là loại toán khó khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì chúng ta 
phải nhẩm được nghiệm, thường thì nghiệm là các số nguyên. 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 3 4 0x x   3) 0532  xxx 
2) 2974  xxx 4) xxxx 7483  
4.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 
Ví dụ 10: Giải các phương trình sau 
a) 
2 12 2x x   b) 11 4 2 2 2x x x x     
 Giải: 
a) 
2 12 2x x   
Điều kiện: 0x  
Ta có: 
2 21 02 2.2 2.2 2x xVT     (vì 2 0,x x  ) 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 18 - 
Mặt khác: 2 2, 0VP x x     
 Nên 
2
2.2 2
0
2 2
x
VT VP x
x
 
   
 
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 
 b)  
2
11 4 2 2 2 2 2 1 2 2x x x x x x x           
Ta có:  
2
2 2 1 2xVT     
Mặt khác: 2 2 2 2 .2 2x x x xVP      
 Nên 
 
2
2 2 1 2
0
2 2 2
x
x x
VT VP x

   
   
  
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 
Nhận xét: Với loại toán này thì phải biết sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng 
và biết phân tích và đánh giá. 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 23 3 3x x x   2)  21 122
2


x
xxx
5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
5.1. Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng cơ bản 
log ( ) ( ) ba f x b f x a   với 0 1a  
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
a)  2log 3 2 3x  b)  22log 5 12 3x x   
c)  2log 9 2 3x x   
Giải 
a)   32log 3 2 3 3 2 2 2x x x       
 Vậy phương trình có nghiệm: 2x  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 19 - 
b)  2 2 3 22log 5 12 3 5 12 2 5 4 0x x x x x x          
1
4
x
x
 
   
 Vậy phương trình có nghiệm: 1; 4x x    
 c) Điều kiện: 29 2 0 2log 3
x x    
  
 
3 2
2
0( )2 1
log 9 2 3 9 2 2 2 9.2 8 0
32 8
x
x x x x x
x
x n
x
x n

 
            
 
 Vậy phương trình có nghiệm: 0; 3x x  
Nhận xét: Đa số các phương trình logarit thường đưa về phương trình logarit cơ bản 
nên việc giải thành thạo loại này là cần thiết để giải tốt các loại khó hơn. 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 2log (5 1) 4x   3)  
2
5log 3 5 1x x   
2)  2log 2 5 4 2x x x   4) 3log (9 8) 2x x   
5.2. Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số 
Đối với phương trình logarit biến đổi về dạng: 
0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0 
( ) ( )
a a
a
f x g x f x
f x g x
 

  
 
hoaëc g(x) > 0 
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau 
a) 3 3log log ( 2) 1x x   b) 
3
2 2log (1 1) 3log 40 0x x     
c) 4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2x
x x

     
Giải 
a) Điều kiện: 0x  
 Khi đó:   2 23 3 3log log ( 2) 1 log ( 2) 1 2 3 2 3 0x x x x x x x x             
1 (n)
3 (l)
x
x

   
 Vậy phương trình có nghiệm: 1x  
b) Điều kiện: 40x  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 20 - 
  32 2 2 2log (1 1) 3log 40 0 log (1 1) log 40 1 1 40x x x x x x               
 
 
 
2 2
41
41 0 41
481 41
83 1680 01 41
35
x
x x
x nx x
x xx x
x l

   
        
        
Vậy phương trình có nghiệm: 48x  
c) Điều kiện: 1x  
     4 2 2 2 2
2 1
1 1 1 1 1 1
log ( 1) log 2 log 1 log 2 1 log 2
log 4 2 2 2 2 2x
x x x x x

            
    
 
 
2
2 2
2
log 1 2 1 log 2 4 2 1 2 4
1
2 3 5 0 5
2
x x x x x x
x l
x x
x n
           
 
    
 

Vậy phương trình có nghiệm: 
5
2
x  
Nhận xét: Để giải phương trình đưa về cùng cơ số ta cần phải vận dụng tốt các 
công thức logarit và biến đổi thành thạo để đưa về dạng cơ bản 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 3 2
1
log( 1) log( 2 1) log
2
x x x x     3) 4 2log ( 3) log ( 7) 2 0x x     
2) 2 1
8
log ( 2) 6log 3 5 2x x    4) 5 25 0,2log log log 3x x  
5.3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ 
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau 
a) 2 11 log ( 1) log 4xx    b) 
1
3 3log (3 1).log (3 3) 6
x x   
c) 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x  d)    2 22 2log 1 3log 1 2x x x x      
Giải: 
a) Điều kiện: 1 2x  
 2 1 2 2
2
1 log ( 1) log 4 1 log ( 1)
log 1
xx x
x
      

 (1) 
Đặt:  2log 1t x  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 21 - 
Khi đó (1) trở thành: 2
12
1 2 0
2
t
t t t
tt

         
Khi    21 log 1 1 1 2 3 nt x x x         
Khi    2
1 5
2 log 1 2 1 n
4 4
t x x x           
Vậy phương trình có nghiệm: 
5
3;
4
x x  
b) 13 3log (3 1).log (3 3) 6
x x   
Điều kiện: 0x  
 1 23 3 3 3 3 3log (3 1).log (3 3) 6 log (3 1).log [3.(3 1)] 6 log (3 1). log (3 1) 6 0 2
x x x x x x            
 Đặt:  3log 3 1xt   
Khi đó (2) trở thành: 2
2 
6 0
3
t
t t
t

      
Khi  3 32 log 3 1 2 3 1 9 log 10x xt x         (n) 
Khi  3 3
1 28
3 log 3 1 3 3 1 log
27 27
x xt x
 
            
 
 (n) 
Vậy phương trình có nghiệm: 3 3
28
log 10; log
27
x x
 
   
 
c) 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x  (3) 
Điều kiện: x > 0 
Đặt: 2log 2
tt x x   
Khi đó (3) trở thành: 
 2 2log 9 log 322 2 .3 2 9 12 3 3 4 3 1 0 4 3 1 0t tt t t t t t t t t t             
3 1
4 3 1 0 1 0
4 4
t t
t t              
   
Xét hàm số 
3 1
( ) 1
4 4
t t
f t
   
     
   
 trên tập R 
Ta có: 
3 3 1 1
'( ) ln ln 0
4 4 4 4
t t
f t
       
         
       
 nêm f(t) là hàm nghịch biến trên tập R 
Mặt khác: (1) 0f  nên  ( ) 1 0 1f t f t    
Khi 1 2t x   
Vậy phương trình có nghiệm: 2x  
d)    2 22 2log 1 3log 1 2x x x x      (4) 
Điều kiện: 1x  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 22 - 
 Vì   2 21 1 1x x x x     
Đặt: 2 2
1
1 1 , 0t x x x x t
t
        
 Khi đó (4) trở thành:  2 2 2 2 2
1 1
log 3log 2 log 3log 2 log 1 
2
t t t t t n
t
 
          
 
Khi  2 2 2 2
1 1 1 1 5
1 1 1 
2 2 2 4 4
t x x x x x x x x n                (vì 1x  ) 
Vậy phương trình có nghiệm: 
5
4
x  
Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ là để đưa từ bài toán phức tạp về bài toán gọn hơn 
thôi. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán. Lưu ý điều 
kiện của ẩn phụ. 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 2 23 log log (8 ) 1 0x x   3) 2 2log 16 log 64 3xx   
2) 
2lg(10 ) lg lg(100 )4 6 2.3x x x  4) 2 2log 10 log 6 0x x   
5.4. Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích 
Ta tách, thêm, bớt  rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành 
tích các đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng hơn. 
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau 
a) 2 3 3log (5 2) log ( 1) log ( 1)x x x    b)   01641 3
2
3  xlogxxlogx 
 Giải: 
 a) Điều kiện: 
2
5
x  
 2 3 3 3 2log (5 2)log ( 1) log ( 1) log ( 1) log (5 2) 1 0x x x x x         
 
 
3
2
0
log ( 1) 0 1 1
4
5 2 2log (5 2) 1 0
5
x l
x x
xx x n
 
             

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 23 - 
Vậy phương trình có nghiệm: 
4
5
x  
 b) Điều kiện: 0x  
 khi đó ta có: 
      23 3 3 3 3 31 log 4 log 16 0 log log 4 log 4 log 4 0x x x x x x x x x          
    33 3 3
3 3
3 3
1
log 4 0 ( )
log 4 log log 4 0 81
log log 4 0
log log 4 0(*)
x x n
x x x x
x x x
x x x

               
Đặt 3log 3
tt x x   
Khi đó (*) trở thành: 
4 4
3 . 4 0 0
3 1 3 1
t
t t
t t t t       
 
(1) 
 Xét hàm số: 
4
( )
3 1t
f t t 

 trên tập R 
 Ta có: 
 
2
4.3 ln 3
'( ) 1 0,
3 1
t
t
f t t   

 Nên f(t) là hàm đồng biến trên R. 
Mặt khác: f(1) = 0 nên ( ) (1) 0 1f t f t    là nghiệm duy nhất của (1) 
 Khi 1 3t x   (n) 
Vậy phương trình có nghiệm: 
1
3;
81
x x  
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 2 x xx (3 2 )x 2(1 2 ) 0     2) 2 3 2 3log log log .logx x x x  
3) 22 2log ( 4) log 3 0x x x x     
5.5. Phương pháp 5: Mũ hóa 
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau 
a) 3log (9 8) 2
x x   b) 25 3log ( 6 2) logx x x   
 Giải 
 a) 2 2
3
3
03 1
log (9 8) 2 9 8 3 3 9.3 8 0
3log 23 8
x
x x x x x
x
x
x
x

  
              
Vậy phương trình có nghiệm: 30; 3log 2x x  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 24 - 
 b) Điều kiện: 3 11x   
2
5 3log ( 6 2) logx x x   (*) 
Đăt: 3log 3
tt x x   
Khi đó (*) trở thành: 2 25log (3 6.3 2) 3 6.3 2 5 9 5 6.3 2
t t t t t t t tt           
5 1 1
6 2 1 0
9 3 9
t t t
     
         
     
 (**) 
Đặt: 
5 1 1
( ) 6 2 1
9 3 9
t t t
f t
     
        
     
 trên tập R 
Ta có: 
5 5 1 1 1 1
'( ) ln 6 ln 2 ln 0,
9 9 3 3 9 9
t t t
f t
           
               
           
¡ 
Nên ( )f t là hàm nghịch biến trên tập R. 
Mặt khác (2) 0f  suy ra ( ) (2) 0 2f t f t    là nghiệm duy nhất của (**) 
Khi 2 9 ( )t x n   
 Vậy phương trình có nghiệm: 9x  
Nhận xét: Đối với loại toán này khi việc giải bình thường gặp khó khăn hoặc không 
giải được nên ta mũ hóa thì sẽ đưa về phương trình mũ và việc giải sẽ dễ dàng hơn. 
Lưu ý là chon cơ số hợp lý là điều quan trọng. 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 5 7log log ( 2)x x  3) 
1
5log (5 20) 2
xx    
2) 3 22log tan log sinx x 4) 
4
6 42log ( ) logx x x  
5.6. Phương pháp 6: Dùng tính đơn điệu của hàm số 
Định lý 1: 
Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) và liên tục trên 
khoangr K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn 
một và f(u) = f(v)  u = v 
Định lí 2: 
Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoảng K thì 
số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 
Định lí 3: 
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x > a, ,x a K  
Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x < a, ,x a K  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 25 - 
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: 
a)  7log log 2x x  b) 22 2log ( 1) log 6 2x x x x    
Giải: 
a) Điều kiện: x > 0 
 7 3log log 2x x  (1) 
Đặt 7log 7
tt x x   
Khi đó (1) trở thành:      3
1 7
log 2 7 2 7 3 2. 1 0 *
3 3
tt
t t
tt
                      
Xét hàm số  
1 7
2. 1 
3 3
tt
f t
  
         
 trên tập R 
 
1 1 7 7
' 2. ln ln 0,
3 3 3 3
tt
f t x
      
                     
¡ 
Suy ra f(t) là hàm nghịch bến trên R, mặt khác f(2) = 0 nên ( ) (2) 0 2f t f t    là 
nghiệm duy nhất của (*) 
Khi  2 49t x n   
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 49 
b) Điều kiện: x > 0 
Khi đó: 2 22 2 2 2 2log ( 1) log 6 2 log log 6 log 2 0x x x x x x x x x          
       2 2 2 2 2
2
2
2
log 3 log 2 log 2 0 log 2 log 3 0
1
log 2 0
4
log 3 0
log 3 0 (**)
x x x x x x x
x x
x x
x x
          

          
Xét hàm số 2( ) log 3f x x x   với x > 0 
 Ta có: 
1
'( ) 1 0
ln 2
f x
x
   với x > 0 
nên f(x) là hàm luôn đồng biến với x > 0 
mặt khác    (2) 0 ( ) 2 0 2f f x f x n      là nghiệm duy nhất của (**) 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 
1
; 2
4
x x  
Nhận xét: Đây là loại toán khó cần phải nhẩm được nghiệm thương thì nghiệm là 
các số nguyên. Nhiều khi chúng ta phải dùng tới đạo hàm cấp hai mới giải được. 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 26 - 
.Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 
 5log x 32 x

 3) 
2
2 2log ( 3).log 2 0x x x x     
2)  33 1 2 2log 1 4
x x x    4) 
2 1
22 log 2
x x xx   
5.7. Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá 
Ví dụ 7: Giải các phương trình sau 
a)    23 2log 9 1 log 2 5x x x     b)  2 22 2log 2 4 2 log 1 4 2x x x x x      
 Giải: 
a)    23 2log 9 1 log 2 5x x x     
Điều kiện: 1 82x  
Ta có:  3 39 1 9 log 9 1 log 9 2x VT x         
   22 22 22 5 1 4 4 log 2 5 log 4 2x x x VP x x            
 Nên 
 
 
 
3
2
2
log 9 1 2
1 
log 2 5 2
x
VT VP x n
x x
   
   
  
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
b)  2 22 2log 2 4 2 log 1 4 2x x x x x      
Điều kiện: 0x  
Khi đó:    22 22 2 2
2
log 2 4 2 log 1 4 2 log 2 4 3 2 1x x x x x x x
x
 
            
 
Ta có: 2 2
2 2 2
2 4 2 2 . 4 8 log 2 4 log 8 3x x VT x
x x x
 
           
 
   
2 2
1 0 3 2 1 3x VP x       
 Nên 
 
 
2
2
2
log 2 4 3
1 
3 2 1 3
x
xVT VP x n
x
  
   
    
   
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 
Nhận xét: Loại này tương đối khó. Phải biết sử dụng linh hoạt các bất đẳng thức 
thông dụng và biết cách so sánh. Tuy nhiên loại toán này thường thì có ít nghiệm và 
nghiệm thường là số nguyên. 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 27 - 
Bài tập đề nghị 
 Giải các phương trình sau 
1) 
2 1 1
2log ( 2 3) 3 2 2
x xx x       2) 3 2log ( 4 5) 1x x    
3) 2 3
1
log ( 2 4) log ( 8)
1
x
x
   

6. MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY 
1) Giải phương trình: 
2 22
2 2 3
x x x x  
  . Đại học khối D-2003 
2) Giải phương trình : 3.8 4.12 18 2.27 0x x x x    . Đại học khối A-2006 
3) Giải phương trình 
2 2 2
2 4.2 2 4 0
x x x x x 
    . Đại học khối D-2006 
4) Giải phương trình:    2 1 2 1 2 2 0
x x
     . Đại học khối B-2007 
5) Giải phương trình:  2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
   

. Đại học khối D-2007 
6) Giải phương trình: 2 22 1 1log (2 1) log (2 1) 4x xx x x      . Đại học khối A-2008 
7) Giải phương trình: 
3 32 2 2 2 4 44 2 4 2x x x x x x        . Đại học khối D-2010 
8) Giải phương trình:    22 1
2
log 8 log 1 1 2 0x x x       . Đại học khối D-2011 
9) Giải phương trình:    2 1 2
2
1
2log log 1 log 2 2
2
x x x x     Đại học khối D-2013 
10) Giải phương trình 32x+1 – 4.3x + 1 = 0. Cao đẳng khối D - 2014 
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc đưa ra các phương pháp giải về phương trình 
siêu việt như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức. Từ đó học sinh rèn 
luyện được kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán giải phương trình siêu 
việt, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực tư duy và kỹ 
năng giải toán của học sinh được nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi. Học sinh dễ dàng 
tiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tương tự, trên cơ sở đó học sinh có 
thể giải được các bài toán tổng hợp. Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ 
logic, kết quả cao, với kết quả như sau : 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 28 - 
Trong năm học 2012 - 2013, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát 
và kết quả cụ thể như sau : 
Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung 
bình 
Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 
12B5 2 6,7% 6 20% 6 20% 16 53,3% 
12B6 1 3,3% 7 23,3% 8 26,7% 14 46,7% 
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2013 - 2014, tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 
học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau : 
Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung 
bình 
Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 
12B2 6 20% 12 40 % 6 20 % 6 20% 
12B8 8 26,7% 10 33,3% 5 16,6% 7 23,3% 
 Kết quả thử nghiệm cuối tháng 12 năm học 2014 - 2015, tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 
học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau : 
Lớp Giỏi Tỷ lệ Khá Tỷ lệ Trung 
bình 
Tỷ lệ Yếu Tỷ lệ 
12B7 10 33,3% 12 40 % 6 20 % 2 6,7% 
12B9 10 33,3% 13 43,3% 6 20% 1 3,4% 
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi. Học 
sinh yếu, trung bình nắm được phương pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn 
giản. Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững các phương pháp này áp dụng vào các bài 
tập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh. 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được tác giả thực hiện tại một số lớp và đã đạt được kết 
quả tương đối. Trên sơ sở đó tôi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “một số phương 
pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” có thể áp dụng trong đơn vị trong 
thời gian tới. 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
 Giáo Viên: Nguyễn Văn Đức Trang - 29 - 
VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn 
(2010) Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam 
2. Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn 
(2010) Sách bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam 
3. Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB 
giáo dục Việt Nam. 
4. Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014 
5. Các đề thi tốt nghiệp thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014 
6. Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm 
LỜI KẾT 
Chuyên đề này chỉ đề cập được một số phương pháp thường gặp để giải phương 
trình mũ và lơgarit, còn rất nhiều phương pháp hay hơn, khó hơn hữu dụng hơn mà tôi 
chưa thể đề cập tới. 
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chuyên đề chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. 
Rất mong toàn thể quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề được tốt 
hơn và hữu ích hơn. 
Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề. 
Định Quán, ngày 03 tháng 3 năm 2015 
Người thực hiện 
Nguyễn văn Đức