Đề tài Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

rong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật toán. 
 Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh các hoạt động nói trên, đặc biệt là phát triển năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn. 
 Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm như sau: Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
1. Bất đẳng thức vectơ và các hệ quả của nó
a) Bất đẳng thức vectơ 
 Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
 Dấu “=” trong (I.1) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng
 (1)
Nếu thì (1) (
 Dấu “=” trong (I.2) xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng
 (2)
Nếu thì (2) (
 Dấu “=” trong (II) xảy ra khi và chỉ khi cùng phương
 (3)
Nếu thì (3) 
(Ta quy ước rằng trong hai tỉ số trên, nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0. Trong hai tỉ số đó, chắc chắn có một tỉ số có mẫu khác 0 vì )
Chú ý. Hai bất đẳng thức (I.1) và (II.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau
Các bất đẳng thức (I) và (II) được gọi là bất đẳng thức vectơ.
b) Hệ quả
1) Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
Hai bất đẳng thức (III.1) và (III.2) có thể viết gộp dưới dạng bất đẳng thức kép như sau
 Dấu “=” trong (III.1) xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng
 Dấu “=” trong (III.2) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng
2) Với là ba vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
 Dấu “=” trong (IV) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ cùng hướng 
Nếu thì (4) (
3) Với là n vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
 Dấu “=” trong (V) xảy ra khi và chỉ khi các vectơ đôi một cùng hướng 
4) Với là hai vectơ bất kì, ta luôn có các bất đẳng sau
; ; 
 Dấu “=” trong (VI.1) xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng
 Dấu “=” trong (VI.2) xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng
Chú ý. Việc áp dụng các bất đẳng thức (I.1) hay (III.1) là tương đương nhau. Cũng như vậy, việc áp dụng các bất đẳng thức (I.2) hay (III.2) là tương đương nhau. Do đó trong thực hành, người ta thường sử dụng các bất đẳng thức (I.1) và (I.2) 
2. Dấu hiệu nhận biết dùng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức
 Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức. Các bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được phương pháp này, nếu như bản thân các bất đẳng thức đó tiềm ẩn các dữ kiện của hình học giải tích. Các dấu hiệu gợi ý người giải toán dùng bất đẳng thức vectơ:
- Các vế của bất đẳng thức có chứa căn bậc hai hoặc các biểu thức trong căn bậc hai là tổng của các bình phương. Khi đó, việc dùng bất đẳng thức vectơ sẽ giúp ta khử bớt căn hoặc khử bớt ẩn.
- Các vế của bất đẳng thức có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ và tích độ dài của hai vectơ đó.
 Để dùng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức, ta khéo léo chọn tọa độ các vectơ để sau khi sử dụng bất đẳng thức vectơ thì các vế của bất đẳng thức cần chứng minh xuất hiện. Cần chú ý đến trường hợp xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức để chọn tọa độ của các vectơ cho phù hợp.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
 Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết với bài tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập áp dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức hầu như không có. Vì thế các em học sinh rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán này, dẫn đến việc bỏ qua bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện trong các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi.
 Sử dụng bất đẳng thức vectơ là một phương pháp hay và rất có hiệu quả để chứng minh bất đẳng thức, tạo nên sự độc đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài toán. Qua thực tế dạy học, tôi thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng bất đẳng thức vectơ để giải toán nói chung và giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức nói riêng.
 Khi sử dụng bất đẳng thức vectơ giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau:
- Đứng trước những bất đẳng thức nào có thể lựa chọn sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải và nếu dùng được bất đẳng thức vectơ thì chọn tọa độ của các vectơ như thế nào. Khó khăn đó nảy sinh do hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức 
- Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa đúng phương pháp và công cụ để giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ cho học sinh.
 Việc rèn luyện giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ sẽ góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi suy nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó với những tình huống mới mẻ, khồng phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn.
 Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài bài toán chứng minh bất đẳng thức giải được bằng phương pháp bất đẳng thức vectơ nên chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về bất đảng thức, chưa xây dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. 
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
 Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh khi giải toán.
 Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các lớp 12A3, 12A1 trong hai năm học 2011-1012, 2012-2013. Khi được tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng phương pháp vectơ.
 Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ vận dụng
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với là số thực bất kì, ta luôn có
Tìm để dấu “=” xảy ra. 
Hướng dẫn giải. Ta có 
Xét hai vectơ
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức (1).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Chó ý. Ngoµi c¸ch chän hai vect¬ nh­ trªn, ta cßn cã thÓ chän chóng theo c¸c c¸ch sau 
hoặchoặc 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với là số thực bất kì, ta luôn có
a) (1)
 (p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0)
Tìm để đẳng thức xảy ra. 
b) (2)
 (a và b là các hằng số; p và q là các hằng số không đồng thời bằng 0) Tìm để đẳng thức xảy ra. 
Hướng dẫn giải. 
a) Ta có 
Xét hai vectơ
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức (1).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
b) Ta có 
Xét hai vectơ
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức (2).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 3. Cho a và b là hai số thỏa mãn a – 2b + 2 = 0. Chứng minh rằng 
 (1)
Tìm a và b để đẳng thức xảy ra.
Hướng dẫn giải.
Từ điều kiện đã cho rút ra a = 2b – 2, thế vào vế trái của (1), ta có Xét hai vectơ
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức (1).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Nhận xét. Bài toán trên có thể phát biểu cách khác như sau:
Cho hai điểm A(3; 5), B(5; 7) và đường thẳng (d): x – 2y + 2 = 0. 
Xét điểm M(a; b) thuộc đường thẳng (d). Tìm giá trị nhỏ nhất của MA + MB.
Ta có thể giải bài toán theo cách khác: Dễ kiểm tra được rằng A và B nằm cùng phía đối với (d).Từ đó ta có thể dùng phép đối xứng qua đường thẳng (phép đối xứng trục) để giải bài toán như sau 
- Xác định toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (d): A’(5; 1).
- Xác định toạ độ điểm M0 là giao điểm của đường thẳng (d) và đường thẳng A’B: M0. 
- Với M là điểm bất kì trên (d), ta có
 MA + MB = MA’ + MB M0A’+M0B = A’B = 6.
 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M trùng với M0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của MA + MB là 6 khi M. 
Ví dụ 4. Cho là ba số tuỳ ý. Chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải. Ta có 
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ: 
Khi đó: .Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực , ta có: 
Hướng dẫn giải. Ta có 
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
(Chú ý dấu bằng không xảy ra)
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với là các số thực bất kì ta có
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 7. Cho là các số thực bất kì, chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải. Ta có 
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 8. Cho bốn số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 9. Cho bốn số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 10. Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có
.
Tìm và để đẳng thức xảy ra ?
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi .
Ví dụ 11. Cho là các số thực thay đổi.
a) Chứng minh rằng: .
b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của .
Hướng dẫn giải.
a) Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng, tức là .
b) Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki, ta có
Từ (1) và (2) suy ra 
Dấu “=” trong (3) xảy ra khi dấu “=” trong (1) và trong (2) cùng xảy ra, tức là 
.
Vậy khi .
Chú ý. Đối với học sinh lớp 12, có thể tìm giá trị nhỏ nhất của đơn giản hơn bằng cách sử dụng đạo hàm như sau:
 Đặt 
Với thì . Lập bảng biến thiên ta suy ra ngay .
Với thì . 
Từ hai trường hợp trên ta có giá trị nhỏ nhất của bằng .
 Cũng có thể lập bảng biến thiên của hàm số , với để thu được kết quả như trên.
 Ví dụ 12. Cho là các số thực dương thoả mãn .
a) Chứng minh rằng: 
.
b) Áp dụng bất đẳng thức , hãy chứng minh
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải. 
a) Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta có bất đẳng thức (1).
Dấu “=” trong (1) xảy ra khi và chỉ khi 
 cùng hướng, hay: 
b) Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Từ giả thiết suy ra: 
 .
Dấu “=” trong (4) xảy ra khi và chỉ khi .
Từ (1), (3), (4), ta có: .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Ta có cách khác để chứng minh: như sau
Ta có 
, với 
Theo giả thiết thì .
Lập bảng biến thiên của hàm số , với , ta suy ra , với mọi .
. 
Vậy , hay .
 Cũng có thể chứng minh theo cách sau: 
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: .
Từ , suy ra 
Từ đó .
 Hoặc: Ta có , với .
Ta có: .
Đến đây, ta có thể chứng minh tương tự như việc chứng minh .
Ví dụ 13. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải. Ta có Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó .
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 14. Cho các số thực thoả mãn . Tìm gia strị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn giải. Ta có 
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ: , th×
Áp dụng bất đẳng thức , ta được
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ cùng hướng, tức là 
.
Với thì .
Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng khi .	
Ví dụ 15. Cho là các số thực dương thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta có
Đặt , suy ra .
Xét hàm số .
Ta có: , trong đó 
Từ đó . 
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy .
Ví dụ 16. Cho là các số thực dương và thỏa mãn . Chứng minh rằng
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải. Hệ thức trong giả thiết tương đương với: (chia hai vế cho )
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi .
Ví dụ 17. Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó: 
Áp dụng bất đẳng thức , ta được bất đẳng thức phải chứng minh.
Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số và , ta đều có
.
Dấu “=” xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải. 
Cách 1. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Áp dụng bất đẳng thức , ta có bất đẳng thức phải chứng minh.
Cách 2. Trong không gian với hệ tọa tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó: .
Ta có: 
Ví dụ 19. Giả sử hệ có nghiệm. Chứng minh rằng 
.
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Ta có: 
Từ bất đẳng thức , suy ra: (ĐPCM).
Ví dụ 20. Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Hướng dẫn giải. Trong mặt phẳng tọa độ , xét các vectơ 
Khi đó: .
Từ bất đẳng thức , suy ra: (ĐPCM).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: cùng hướng, tức là
(Chú ý rằng )
Bài tập vận dụng
1. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có: 
2. Chứng minh rằng với mọi , ta luôn có:
3. Cho . Chứng minh rằng:
4. Cho . Chứng minh rằng:
5. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng:
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
7. Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
trong đó là các hằng số.
8. Cho . Chøng minh r»ng 
9. Cho ba số thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng
10. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:
.
IV. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
 Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc sử dụng phương pháp bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm
 Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến hành dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng bất đẳng thức vectơ để chứng minh bất đẳng thức.
Sau quá trình dạy học, tôi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A3.
Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc.
 Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút)
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của và , ta đều có
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Bài 3. Cho là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả năng vận dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 
3. Kết quả thực nghiệm
 Trong lớp mà tôi tiến hành dạy thực nghiệm không có học sinh giỏi, có khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, còn lại là mức trung bình. Bởi vậy, phần lớn các em cho rằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là tương đối khó.
 Về bài kiểm tra, tôi chấm kĩ và thu được kết quả như sau
Điểm
8
7
6
5
< 5
Lớp thực nghiệm
3
15
10
9
8
Lớp đối chứng
1
8
9
12
15
 Kết quả sơ bộ:
+ Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 82,2%, trong đó có 40% loại khá, giỏi.
+ Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 66,7%, trong đó có 20% loại khá, giỏi.
4. Kết luận chung về thực nghiệm
 Qua quá trình thực nghiệm, tôi rút ra một số kết quả sau
- Việc dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức có tác dụng rèn luyện năng lực giải bài tập toán cho học sinh.
- Việc dạy học phương pháp đó còn giúp cho học sinh khả năng nhìn nhận bài toán cũng như lựa chọn phương pháp và công cụ để giải toán một cách có hiệu quả hơn.
- Việc tổ chức dạy học có tác dụng tốt trong việc gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực của học sinh trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải của bài toán và giải bài toán đó.
- Việc tổ chức dạy học phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức tạo cho học sinh có niềm tin, có tư duy linh hoạt, nhạy bén, chủ động tìm hướng giải quyết bài toán theo nhiều cách và lựa chọn được cách giải có lợi nhất. 
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
1. Kết luận
 Qua quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học sinh sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức” đã thu được một số kết quả sau 
- Sáng kiến kinh nghiệm đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận của việc rèn luyện năng lực giải bài tập toán.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ thống các bài toán minh hoạ cho việc áp dụng bất đẳng thức vectơ trong chứng minh bất đẳng thức ở nhiều tình huống khác nhau. Giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư duy sáng tạo, nhạy bén trong giải quyết các vấn đề mới.
- Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp quan trọng trong hoạt động giải các bài tập toán.
- Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng được yêu cầu của hoạt động đổi mới phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo, linh hoạt của người học. Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên của học sinh.
- Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học của đề tài là chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành.
- Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy học toán và mong được quý đồng nghiệp trao đổi, góp ý. 
2. Đề xuất
 Qua quá trình thực hiện, tôi có kiến nghị như sau: 
- Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ trong giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức, để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải toán.
- Các thầy cô giáo nên dành một số buổi hoạt động ngoại khoá về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ để giải các bài toán để học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về phương pháp sử dụng bất đẳng thức vectơ, từ đó các em có sự nhạy bén trong việc giải các bài toán bằng phương pháp này. 
 Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và học sinh trong quá trình dạy học về chủ đề bất đẳng thức. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm nên khó tránh được thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý của quý đồng nghiệp và các bạn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 16 tháng 05 năm 2013
 Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 Hoàng Văn Khanh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Ban tổ chức kỳ thi Olympic 30-4 năm 2009, 2010,2011.
2. Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các bài giảng 
 luyện thi tập 1, 2, NXB Giáo dục.
3. Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
4. Hình học 10 nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Phan Huy Khải, Trần Hữu Nam, Bất đẳng thức và ứng dụng, NXB Giáo dục.
6. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ, Phương pháp dạy học môn toán.
7. Phan Huy Khải, Toán nâng cao đại số 10, NXB ĐHQG Hà Nội.
8. Trần Văn Hạo (chủ biên), Chuyên đề luyện thi vào Đại học, Bất đẳng thức 
9. G. POLYA, Sáng tạo toán học, Giải một bài toán như thế nào?, Toán học và 
 những suy luận có lý, NXB Giáo dục.
10. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.