Đề tài Các phương pháp chứng minh tính đồng qui của các đường cao trong tam giác

A-phần mở đầu
 Dạy học toán học là dạy các hoạt động toán học, do đó học sinh cần biết quá trình sáng tạo các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức,có niềm tin vào khả năng toán học của mình.
 Đặc trưng của toán học là trừu tượng hoá cao độ, có tính lô gíc chặt chẽ, vì vậy trong dạy học ngoài suy diễn lô gíc phải chú trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác toán học. Dạy học toán phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu tượng, giữa suy luận có lý và suy luận có căn cứ.
 Trong những năm gần đây, hầu hết các trường phổ thông đã chú ý tới việc đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần “ lấy học sinh làm trung tâm “. Để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy cho bản thân, thích ứng kịp thời với phương pháp đổi mới toán học ở trường T.H.C.S. Qua thực tiễn giảng dạy tôi đi sâu nghiên cứu nội dung:
 “ Các phương pháp chứng minh tính đồng quy của các đường cao trong tam giác “.
 Đây là một bài toán cơ bản mà ngay sau khi học sinh T.H.C.S làm quen với khái niệm hình học, đó là tam giác. Các đường cơ bản trong một tam giác đó là: Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực. Một tính chất lý thú là trong một tam giác các đường cao đồng quy, các đường phân giác đồng quy, các đường trung tuyến đồng quy và các đường trung trực đồng quy. 
 1-Mục đích nghiên cứu:
 Việc tìm tòi các cách chứng minh khác nhau, sự đồng quy của các đường cơ bản trong tam giác là rất cần thiết đối với người dạy toán, nó giúp chúng ta không thụ động trong việc truyền thụ kiến thức cho học sinh,đồng thời có tác dụng khiến cho người học nâng cao khả năng tìm tòi sáng tạo. 
 2- Nhiệm vụ nghiên cứu:
 Trong quá trình dạy học chứng minh hình học nói chung, cũng như việc hướng dẫn học sinh chứng minh các đường cao trong tam giác nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau:
 - Nắm được nội dung định lý: “Ba đường cao trong tam giác cũng đi qua một điểm “. Từ đó có khả năng chứng minh định lý trên cơ sở suy luận lô gíc và vận dụng vào các hoạt động giải toán.
 - Làm cho học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh chặt chẽ , suy luận chính xác với mức độ thích hợp ở trường phổ thông. 
 -Phát triển được năng lực toán học. Khả năng độc lập sáng tạo tìm tòi lời giải của học sinh.
3- Phạm vi nghiên cứu.
- Đối tượng: Nghiên cứu học sinh trườngTHCS Hà Bình- Hà Trung- Thanh hoá.
- Thời gian nghiên cứu: Trong năm học 2005-2006.
4- Lịch sử đề tài:
 Để chứng minh tính đồng quy của ba đường cao trong tam giác đă có nhiều tài liệu có bài chứng minh, đặc biệt gần gũi với giáo viên và học sinh đó là bài chứng minh trong SGK- hình học 7- trang 79.
 Bên cạnh đó trong quá trình dạy và học cũng có rất nhiều bài chứng minh khác nhau của giáo viên và học sinh .Nhưng chưa có tài liêu nào tổng hợp lại các bài chứng minh này .
 Để ứng dụng cụ thể vào điều kiện thực tế của nhà trường và đi sâu tìm hiểu về phương pháp đổi mới. Nếu tôi đã chọn đề tài này là một trong những ứng dụng cụ thể về phương pháp mới.Với tiêu chí’’lấy học sinh làm trọng tâm’’, phát huy tính sáng tạo của học sinh 
 5- Phương pháp nghiên cứu:
 	 - Cơ sở lí luận: nghiên cứu qua tài liệu, giáo trình,SGK, tài liệu tham khảo đối với phương pháp dạy học ở trường THCS. 
 	- Thực tiễn: Thông qua giảng dạy thực tế tại trường THCS Hà Bình.
 	 - Kết quả đối chứng: Qua kiểm tra viết, kiểm tra vấn đáp, kiểm tra trách nhiệm học sinh.
 - Nghiên cứu qua thực tiễn giảng dạy của đồng nghiệp trong trường.
-Nghiên cứu qua trao đổi thực tiễn giữa giáo viên với giáo viên; giáo với học sinh và học sinh thảo luận với học sinh.
B- Nội dung:
 Trong đề tài này xoay quanh vấn đề cnhứng minh bài toán: 
Cho tam giác ABC với các đường cao tương ứng là AH1, BH2, CH3.Chứng minh rằng ba đường cao trên cắt nhau tại H ( H là trực tâm ).
 	 I- Cơ sở lý luận: 
DABC thì: hoặc là cả ba góc cùng nhọn (tam giác nhọn).
 hoặc là có một góc vuông( é C= 900, tam giác vuông )
 hoặc là có một góc tù ( é C> 900, tam giác tù )
C'
 Dễ thấy rằng, các đường cao trong tam giác vuông thì đồng quy tại C. Vậy chỉ còn trường hợp DABC nhọn và DABC tù. 
 Thế nhưng nếu để ý một chút (hình 1) ,
 ta thấy đối với tam giác tù ABC
H2
H1
 thì từ Avà B kẻ đường cao AH1 và BH2 
xuống BC và CA; các đường thẳng này cắt nhau tại C’.
H
C
 Ta lại có DABC là tam giác nhọn ( C < 900) 
(Hình 1)
B
A
Lúc đó C º H (Hlà trực tâm của DABC và DABC’ )
Vì lẽ đó trong bài tập này không làm mất tính tổng 
quát của bài toán nếu ta chỉ xét với tam giác ABC nhọn.
II- Cơ sở thực tế:
C1
	Dựa trên cơ sở lý luận ở trên ta có các phương pháp chứng minh tính đồng quy của ba đường cao trong tam giác nhọn.
1- Phương pháp 1:
 Dựng D A1B1 C1 ( hình 2 ) 	
B1
C
B
A
 nhận các điểm A, B, C là
 trung điểm của các cạnh
 tương ứng C1B1; C1A1; A1B1.
A1
 Suy ra đường cao của DA B C
 là các đường trung trực của DA1B1C1. 
(Hình 2)
Mà đường trung trực DA1B1C1 lại đồng quy. 
A
	2- Phương pháp 2:
 Vẽ các đường cao trong D ABC là 
H2
AH1; BH2; CH3 (hình 3 )
 Khi đó ==
 H3
ị D ABC ~ D H1 H2 C
 H
ị é AH1H2 = 900 - é CH1H2
 	 = 900- é A 
(Hình 3)
C
H1
B
Tương tự: é AH1H3 = 900 - é BH1H3 = 900 - é A 
B
 C
A
 AH1 là phân giác é H2H1H3.
	CH3 là phân giác é H1H3H2.
	BH2 là phân giác é H3H2H1.
 B1
 Mà trong DH1H2H3 các đường phân giác đồng quy 	
	 ị Các đường cao của DABC đồng quy.
3- Phương pháp 3:
 Giả sử các đường cao của DABC 
C1
cắt đường tròn ngoại tiếp DABC ở A1, B1, C1.
Khi đó: éB1A1A = éB1BA = 900 - éA.
 ( Vì éA + éABB1 = 900 ) 	
A1
 vàéC1A1C1 = é C1CA = 900 - éA
 (Hình 4)
ị AA1là phân giác éB1A1C1.
ị Đường cao DABC là đường phân giác của DA1B1C1. 
Mà DA1B1C1 có các đường phân giác đồng quy ( hình 4 ).
4- Phương pháp 4:
	Giả sử O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC.
Gọi H là điểm sao cho:
 A
	 = ++ .
Ta chứng minh H là trực tâm DABC. ( hình 5 )
Để chứng minh ta chỉ cần chỉ ra rằng:
AH ^ BC; BH ^ AC và CH ^ AB.
Thật vậy:	 H O
B
 C
(Hình 5)
 Lấy tính vô hướng:
	 = 
 = OC2 - OB2 = 0
 Vậy : AH ^ BC.
 Chứng minh tương tự ta có: BH ^ AC và CH ^ AB.
 Hay: AH, BH, CH là các đường cao của D ABC đồng quy tại H. 
5- Phương pháp 5:
	Ta bắt đầu từ việc chứng minh rằng:
 nếu A,B,C,H là 4 điểm trong mặt phẳng thì:
A
Để chứng minh, ta biểu diễn các véc tơ
 qua các véc tơ 
 H
 nghiã là: 
B
C
(Hình 6)
 ( từ ).
Thay vào vế trái của (1) được kết quả bằng 0 ( đ. p. c. m )
Giả sử H là giao điểm các đường cao kẻ từ B, C của DABC ( hình 6). 
Khi đó: 
 áp dụng kết quả (1) ị 
ị Đường cao kẻ từ A đi qua H.
A
B
6- Phương pháp 6:
	Xét (O1), (O2), (O3) 
đối xứng với các đường tròn ngoại 	 .	
tiếp DABC qua cạnh BC, CA, AB 	 .	 .	O1 
C
tương ứng. Ta phải chứng minh rằng	 O3 H O
các đường tròn này giao nhau tại một điểm.
	Giả sử (O1) I , (O2) = H. 	 .
Các đỉnh của éBAC, éBHC nằm trên	 O2 
 trục đối xứng BC của hai đường tròn 
này; đồng thời A, H cùng nhìn xuống BC.
(Hình 7)
	Vậy éBHC = 1800 - éBAC
	Tương tự éAHC = 1800 - éABC
	Suy ra rằng: éAHB = 3600- éBHC - éAHC
 = éBAC + éABC = 1800 - éACB.
 ị Hẻ (O3).
Mà bán kính (O1), (O2), (O3), bằng nhau nên:
	éABH = éACH, éBAH = éBCH, éCAH = éCBH.
Tổng tất cả các góc này bằng tổng các góc DABC nên:
 éBAH + éABH + éCBH = 900, nghĩa là AH ^ BC.
 Chứng minh tương tự ta cũng có BH ^ AC.	
	CH ^ AB	(Hình7).	
7- Phương pháp 7:
Trước hết ta chứng minh rằng C1C2 ^ AB.
ị AC12 - BC12 = AC22 - BC22.
 Thật vậy, trong hệ toạ độ đề các vuông góc trên mặt phẳng, đặt trục hoành trùng với AB.
y2
C1
B
A
 Khi đó gọi toạ độ A (a,0), B (b,0).
	C1 (x1y1); C2 (x2y2).	(hình8)
Vậy: 
x
y
x1
A
O
AC12 - BC12 = (a - x1)2 - (b - x1)2 - y12
y2
x2
= a2 - b2 - 2x1 (a - b)	 	 .	 . Tương tự: AC22 - BC22 = a2 - b2 - 2x2(a - b).
(Hình 8)
Đẳng thức AC21 - BC12 = AC22 - BC22 
 x1 = x2 
 C1C2 ^ AB
Bây giờ, giả sử các đường cao DABC hạ từ A, B cắt nhau tại H, 
ta chỉ cần chứng minh rằng từ BA2 - CA2 = BH2 - CH2 
 và CB2 -AB2 = CH2 - AH2 
Ta có : BC2 - AC2 = BH2 - AH2 
Điều đó là đúng và do vậy AB ^ CH hay CH là đường cao thứ 3 của DABC cũng đi qua H
B
 8- Phương pháp 8:
H1
H3
Ta đã có mệnh đề tổng quát sau đây:
 '' Nếu ở trên các cạnh AB, CA, CB của DABC
 H
 lấy các điểm H1 , H2 , H3 thì các đoạn thẳng
 AH1 , BH2 và CH3 đồng quy 
H2
 P
Q
 C
A
 . . = 1 (Định lý Xê Va )
 Việc chứng minh định lý trên không khó khăn .
 (Hình 9)
Thật vậy : 
* Điều kiện cần : AH1 , BH2 , CH3 đồng quy tại H .
 Từ A,B hạ AP, BQ vuông góc với OC (hình 9) .
 Khi đó :
 = = 
Tương tự 
 = ; = 
Nhân vế với vế của 3 đẳng thức ta được :
 . . = 1	(*)
* Điều kiện đủ : 
Giả sử ta có (*) , AH1 BH2 = H và CH AB = C ' 
Khi đó ta nhận được : 
 = ,nghĩa là đi qua H là giao điểm của AH1 với BH2 
Bây giờ ta chứng minh các đường cao trong DABC đồng quy bằng cách áp dụng Định lý Xê Va .
 giả sử AH1 , BH2 , CH3 là các đường cao DABC khi đó ta có: 
 . . = . . = 1
Do vậy AH1 , BH2 , CH3 đồng quy .
 III- Một số giải pháp ứng dụng: 
 Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu đề tài này tôi luôn có một tân niện là: Học toán nói chung hay thực hành giải toán là ta luôn đi tìm tòi những điều mới lạ trong mỗi bài toán. Một con người yêu toán học là một người luôn biết tìm, khai thác những cái hay, cái đẹp trong mỗi bài toán.
 Mà để giải quyết được một bài toán, điều quan trọng nhất là phải có định hướng đúng, sau đó với có thể rút ra được cách gải quyết hay và độc đáo. Nhưng cũng có rất nhiều quan niện về các cách giải quyết hay khác nhau: Người thì cho rằng cách giải ngắn nhất là cách giải hay nhất, người khác lại cho rằng cách giải hay nhất là cách giải độc đáo và sáng tạo nhất... Nhưng với tôi, với cương vị là một giáo viên dạy toán tôi có thể khẳng định: Mỗi một bài toán, ứng với mỗi con người có cái nhìn khác nhau, do vậy có thể cách giải này đối với người này là hay nhất nhưng với người khác là không hay. Người giáo viên dạy toán luôn phải chung hoà các ý kiến đó và luôn chuẩn bị các tình huống đặt ra mà học có những lựa chọn cách giải khác nhau.
 Chính vì vậy với đề tài này, tuy chỉ là một vấn đề nhỏ trong chương trình hình học ở bậc học THCS nhưng nó có những ứng dụng hầu như xuyên suốt trong quá trình thực hành giải toán hình. Nên tôi đã đưa ra một số tình huống (và phương pháp) để chứng minh tính đồng quy trong tam giác. Với mỗi một phương pháp chứng minh có thể củng cố được một nội dung kiến thức khác nhau. Trong quá trình vận dụng giảng dạy tôi luôn có câu hỏi như: Nêu các cách giải bài toán? hay ai có cách làm khác? hay không lẽ chỉ có cách giải này hay sao?... Mỗi một câu hỏi đó luôn nhắc tôi trước khi hỏi học sinh, thường thì phải tìm hiểu, nghiên cứu trước tương tự như việc nghiên cứu đề tài này.
 IV- Kết quả đạy được sau một năm ứng dụng đề tài: 
 Để kiểm tra quá trình thực thi đề tài trong ứng dụng dạy học tôi đã kiểm chứng qua ba khối học.
Đối với khối 7: Làm kiểm chứng cho cả 3 lớp 7
 Lớp 7A: Khi dạy đến nội dung về ba tính chất đường cao tôi cho các em tìm hiểu các cách chứng minh và gợi ý một vài cách chứng minh để các em tìm hiểu 
 Lớp 7B: cho các em tìm hiểu định lý về tính đồng quy và hướng dẫn các em 1 cách chứng minh như SGK đã trình bầy 
 Lớp 7C: tôi nêu nội dung định lý và yêu cầu các em tự tìm hiểu một số cách chứng minh định lý ( nêu các cách chứng minh khác nhau). 
 Sau một thời gian ( 4 ngày) tôi đã kiểm tra lại các em về việc chứng minh tính đồng quy của 3 đường cao trong tam giác( kiểm tra viết).
 7A: 95% các em chứng minh được( bằng nhiều cách khác nhau). 
 7B: 60% các em chứng minh được ( bằng 1 cách )
 7C: 80% các em chứng minh được (bằng nhiều cách).
 Do vậy việc định hướng cho các em tìm các cách chứng minh khác nhau đã tạo cho các em có tính đọc lập sáng tạo riêng, dẫn đến các em có thể nắm vững bài theo cách riêng của mình.
Đối với khối 8:
Tôi phát vấn trực tiếp học sinh 2 lớp ( mỗi lớp hỏi 10 h/s ).
 Lớp 8A tôi hỏi:
 Nêu lại cách chứng minh tính đồng quy của ba đường cao trong tam giác mà các em đã học ở lớp 7.
 Lớp 8B tôi hỏi:
 Các em hãy nêu các cách chứng minh định lý về tính đồng quy của ba đường cao trong tam giác.
 Kết quả thu được trong 10 em học sinh được hỏi của mỗi lớp .
 	Lớp 8B: 
 	 - 5 em trả lời được.
 - 3 em nói rằng còn nhớ mang máng cô giáo đã chứng minh...
 - 2 em không trả lời được.
 Lớp 8C: Sau khi suy nghĩ
 - 7 em trả lời được ngay với các cách chứng minh khác nhau.
2 em suy nghĩ lâu hơn một chút nhưng có cách chứng minh rất hay.
1 em không trả lời được.
Đối với lớp 9:
 Rút kinh nghiệm với khối 7 và khối 8, tôi đã hỏi câu hỏi trực tiếp với cả hai lớp 9B và 9C cho chung một câu hỏi: Tìm các cách chứng minh khác nhau....... 
 Kết quả 97% các em được hỏi đều trả lời được với các phương pháp chứng minh khác nhau rất đa dạng. 
C- Kết luận:
 Học một nội dung toán học nào đó là sự tái tạo lại nó, sự vận dụng nó bằng cách thực hiện những hoạt động liên hệ với chính nó. Dạy một nội dung toán học là khai thác, lựa chọn những hoạt động tiềm tàng trong nội dung này. Từ đó tổ chức điều khiển học sinh thực hiện những hoạt động này trên cơ sở bảo đảm những thành phần tâm lý cơ bản của hoạt động.
 Trong quá trình dạy học môn toán ở trường THCS, tôi luôn có tâm niệm khai thác triệt đế các bài toán, dùng một bài toán để khắc sâu các nội dung kiến thức khác nhau, tìm ra các cách giải khác nhau để phát triển tư duy toán học cho học sinh. Do vậy đề tài này chínhlà những đúc kết kinh nghịêm tâm huyết của bản thân tôi được rút ra từ quá trình giảng dạy. Từ đó có thể lựa chọn phương pháp tối ưu nhất tác động đến từng đối tượng học sinh và hình thành mạch tư duy toán học đầy đủ để vận dụng kiến thức đã họcvào quá trình học tập.
Trong đề tài này, qua vốn kinh nghiệm ít ỏi của bản thân, tôi đã đi sâu tìm hiểu được 8 phương pháp chứng minh khác nhau về tính đồng quy của 3 đường cao trong tam giác. với tôi, cũng như đã từng nói ở trên, trong 8 phương pháp này mỗi phương pháp có một điểm hay riêng. Nhưng nếu thực hiện được cả 8 phương pháp chứng minh sẽ củng cố được một lượng kiến thức rất lớn giúp học sinh hoàn chỉnh mạch tư duy toán học đầy đủ.
Đề tài này, tôi mới chỉ dừng lại ở 8 phương pháp chứng minh, chắc chắn rằng còn nhiều phương pháp khác nữa có nhiều điều mới lạ mà tôi chưa tìm hiểu được. Rất mong được sự góp ý của các đồng ngiệp để tôi sớm trở lại nghiên cứu đề tài này.
 Hà Bình, ngày 10 tháng 03 năm 2006. 
	 Người thực hiện:
	Phạm Thị Tuyết Lan
D- Tài liệu tham khảo.
Giáo trình phương pháp dạy học môn toán ( tập 1 + 2 )
Sách giáo khoa và sách giáo viên lớp 7,8,9.
Đổi mới phương pháp dạy học toán trường THCS.
Vai trò của thao tác trong dạy hình học ở trường THCS.
Các chủ đề kiến thức trong chương trình hình học cấp II.
Tâm lý học.
Giáo dục học môn toán. 
Phòng giáo dục hà trung
Trường THCS Hà Bình
************************
š&›
Sáng kiến kinh nghiệm
đề tài: Các phương pháp chứng minh tính đồng qui của các đường cao trong tam giác
Người thực hiện: Phạm Thị Tuyết Lan
đơn vị: Trường THCS Hà Bình
Năm học: 2005 - 2006