Các phương pháp giải bài tập về lũy thừa của một số hữu tỉ

	 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625
 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002.
3.3 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa 
	Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh).
	Lưu ý một số tính chất sau:
Với a, b, m, n N, ta có: 
	a > b ó an > bn, n N*
	m > n ó am > an, (a > 1)
	a = 0 hoặc a = 1 thì am = an (m.n 0)
Với A, B là các biểu thức ta có:
	An > Bn ó A > B > 0
	Am > An ó m > n và A > 1, hay m < n và 0 < A < 1
 Bài 1. So sánh
	a) 33317 và 33323	
	b) 200710 và 200810	
	c) (2008 - 2007)2009 và (1998 - 1997)1999
Phương pháp giải 	
	Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ.
a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323
b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = 1 và (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1
 	Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999
 Bài 2. So sánh 
	a) 2300 và 3200	e) 9920 và 999910
	b) 3500 và 7300 	f) 111979 và 371320 
 c) 85 và 3.47	 g) 1010 và 48.505 
	d) 202303 và 303202	h) 199010 + 1990 9 và 199110 
Phương pháp giải	
	Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
 Hướng dẫn:
a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100 
	 3200 = (32)100 = 9100 	
	 Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200
b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100
	7300 = (73)100 = 343100
	Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300
c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47	
d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 
	 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 
	 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
	Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202	
e) Ta thấy: 992 (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 
f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
	371320 = 372)660 = 1369660 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra: 111979 < 371320 
g) Ta có: 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*)
	48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**)
	Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 
h) Có: 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 
	 199110 = 1991. 19919 
 	Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 
 Bài 3. Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 
Phương pháp giải	
	Với bài này, học sinh lớp 7 sẽ không định hướng được cách làm, giáo viên có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263 > 527 và 263 < 528 
 Ta có: 263 = (27)9 = 1289 và 527 = (53)9 = 1259 
	=> 263 > 527 (1)
 Lại có: 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 	
	=> 263 < 528 (2)
 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 
 Bài 4. So sánh: a) 10750 và 7375 	b) 291 và 535 
Phương pháp giải	
	Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra lời giải cho bài toán. Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:
a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1)
	 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2)
 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375. Vậy 10750 < 7375.
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 và 535 291 > 3218 > 2518 > 535. Vậy 291 > 535.
 Bài 5. So sánh
	a) (-32)9 và (-16)13 	b) (-5)30 và (-3)50
	c) (-32)9 và (-18)13 	d) ()100 và ()500 
Phương pháp giải
	Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên. 
a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 
	Vì 245 - 252. Vậy (-32)9 > (-16)13.	
b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 
 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10. Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50.
c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
	Mà 245 - 245 > -1813 = (-18)13. 
	Vậy (-32)9 > (-18)13.
d) Ta có: ()100 = = = và ()500 = = 
 	Vì 2400 
	 Vậy ()100 > ()500.
 Bài 6. So sánh A và B biết: A = ; B = 
Phương pháp giải	
	Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính chất sau: Với mọi số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được:
Nếu thì 
Nếu thì 
	Áp dụng tính chất trên vào bài 6, ta có:
 Vì A = < 1 nên: 
 A = < ==
	 ==B
 Vậy A < B.
Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau:
 Cách 1: Ta có: 2008.A = =1+
	 2008.B = =1+
	Vì 20082009+1 > 20082008+1 nên < 
	Nên 2008.A A < B
 Cách 2:
 = ==
	 = 2008 - 
 = ==
	 = 2008 - 
 Vì 20082008+1 > 20082007 +1 nên < 
	 => 2008 - > 2008 - 
Vậy > => A 0)
 Bài 7. So sánh M và N biết: M = ; N = 
 Phương pháp giải
Cách 1: N = > 1 
 => N =>=== = M
	Vậy M < N.
Cách 2: M = = == 100 - 
	 N = = == 100 - 
 Vì 10099 + 1 
	=> 100 - < 100 - 
	Vậy M < N.
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau:
1. So sánh:
	a) 528 và 2614	b) 521 và 12410	c) 3111 và 1714 
	d) 421 và 647	e) 291 và 535	g) 544 và 2112
2. So sánh:
	a) và 	b) và 
	c) và 	d) và 
3. So sánh:
	a) A = và B = 
	b) A = và B = 
	c) A = và B = 
Phương pháp giải
c) A = và B = 
	Bài này không giống bài 7 và bài 8. Học sinh sẽ lúng túng khi bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A và B, ta có:
 A = 	và B = 	
	Để so sánh A và B lúc này ta có thể so sánh tử số của A và tử số của B.
 Xét hiệu tử số của A trừ tử số của B:
 (100100 + 1). (10068 + 1) - (10069 + 1). (10099 + 1)
 = 100168 + 100100 + 10068 + 1 - 100168 – 10099 – 10069 – 1
 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068
 = 100 . 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068
 = 99.10099 - 99.10068
 = 99 . (10099 - 10068) > 0 (vì 10099 > 10068). Vậy A > B.
3.4. Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa.
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.
 Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
 a) A = 
 b) M = , với x = 7
 Phương pháp giải
	Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ.
a) A = = = 23 = 8
b) M = 
	Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm được một cách dễ dàng.
	M = = 
	M = = = 32 = 9

 Bài 2. Chứng tỏ rằng: 
 a) A = 102008 + 12545
 b) B = 52008 + 52007 + 52006 31
 c) M = 88 + 22017
 d) H = 3135. 299 – 3136. 367
Phương pháp giải	
	Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: nếu am, an, (m; n) = 1 thì am.n (a, m, n N*)
a) A = 102008 + 125
	Ta có: 102008 + 125 = + 125 = 
	 2008 số 0	 2005 số 0
	A có tận cùng là 5 => A5
	Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A9.
	Mà (5;9) = 1 => A5.9 hay A45
b) B = 52008 + 52007 + 52006
	Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép cộng. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.
	 B = 52008 + 52007 + 52006
	 B = 52006. (52 + 51 + 1)
	 B = 52006. 3131
c) M = 88 + 220
	Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có cùng cơ số: 
	 M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
	 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.1717
d) H = 3135. 299 – 3136. 36 
	Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn.
 H = 3135 . 299 – 3136 . 36 
	H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136
	H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136
	H = 3135 . 14 - 35. 3136
	H = 7. (3135 . 2 – 5. 3136 )7
 Bài 3. Cho A = 2 + 22 + 23 +  + 260. Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5
Phương pháp giải 
	Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2; 3; 4... lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó.
Ví dụ: A = 2 + 22 + 23 +  + 260 
 = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) +  + (257 + 258) + (259 + 260) 
	 = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) +  + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2)
	 = (1 + 2).(2 + 23 + 25 +  + 257 + 259)
	 = 3.(2+23+25++257+259) => A3 
Tương tự, ta có: 
	A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +  + (258 + 259 + 260 )
	 = 2.(1 + 2 + 22) + 24.(1 + 2 + 22) +  + 258.(1 + 2 + 22)
 = (1 + 2 + 22).(2 + 24 + 27 +  + 258) 
	 = 7.(2 + 24 + 27 +  + 258) => A7
	A = (2 + 23) + (22 + 24) +  + (257 + 259) + (258 + 260)
	A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) +  + 257(1 + 22) + 258(1 + 22)
	 = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 +  + 257 + 258)
	 = 5. (2 + 22 + 25 + 26 +  + 257 + 258 => A5
 Bài 4. Chứng tỏ rằng:
 a) D = 3 + 32 + 33 + 34 +  + 3200713
 b) E = 71 + 72 + 73 + 74 +  + 74n-1 + 74n 400
Phương pháp giải
a) Ta thấy: 13 = 1 + 3 + 32 nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau:
	D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +  + (32005 + 32006.+ 32007) 
 = 3.(1 + 3 + 32) +34.(1 + 3 + 32) +  + 32005.(1 + 3 + 32) 
 = 3.13 + 34.13 + + 32005.13
 = (3 + 34 + + 32005). 13 => D13
b) Tương tự câu a, có : 400 = 1 + 7 + 72 + 73 nên:
E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74. (71 + 72 + 73 + 74) +  + 74n-4. (71 + 72 + 73 + 74)
 = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 +  + 74n-4)
 = 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 +  + 74n-4)
 = 7.(1 + 7 + 49 + 343).(1+74 + 78 +  + 74n-4)
 = 7.400.(1+74 + 78 +  +74n-4)400 => E400
 Bài 5. a) Tính tổng: Sn = 1 + a + a2 +  + an
 b) Áp dụng tính các tổng sau: 
	 A = 1 + 3 + 32+  + 32008 
 B = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 21982
	 C = 71 + 72 + 73 + 74 +  + 7n-1 + 7n 
Phương pháp giải
a) Đây là một bài toán tổng quát, giáo viên có thể gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn các tổng lũy thừa này, ta nhân cả hai vế của biểu thức với cơ số của các lũy thừa.
 * Xét a = 1, ta có: Sn = 1 + 1 + 12 +...+ 1n =(n +1).1 = n +1
	* Xét a ≠ 1, ta có: 
	Sn = 1 + a + a2 + ... + an
	=> a. Sn = a + a2 +  + an+1
	=> a. Sn - Sn = an+1 – 1
	=> Sn = 
b) Học sinh dễ dàng tính được tổng A, B, C nhờ công thức Sn 
	A = 1 + 3 + 32 +  + 32008 = 
	B = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 21982 = 21983 - 1 
 C = 71 + 72 + 73 + 74 +  + 7n-1 + 7n = 
 Bài 6. Thu gọn tổng sau: M = 1 - 2 + 22 - 23 +  + 22008
Phương pháp giải
Mặc dù đã có công thức tính tổng các lũy thừa viết theo quy luật ở bài 4 nhưng khi tính tổng M thì học sinh không tránh khỏi sự lúng túng với những dấu ‘+’, ‘-‘ xen kẽ. 
Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B ở câu b, bài 4: lấy 2M - M thì sẽ không thu gọn được tổng M. Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b) bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức vì hai biểu thức có những số hạng giống nhau; còn bài 5 này hai tổng 2M và M lại có những số hạng đối nhau nên ta sẽ xét tổng của chúng:
	M = 1 - 2 + 22- 23 +  + 22008
	=> 2M = 2 - 22 + 23 – 24 +  + 22009 
	=> 2M + M = 22009 + 1
	=> M = 
 Bài 7. Tính:
 a) A = 
 b) B = 1+ 
Phương pháp giải
 Làm tương tự bài 4 
a) A = 
=> 2A = 1+ 
=> 2A – A = (1+) – ()
=> A = 1+ => A = 1 - 
b) B = 1+ 
=> 5B = 5+1+ 
=> 5B – B = (5+1+ ) – (1+ )
ó 4B = 5+1-1+ 
ó 4B = 5 - 
ó B = (5 - ) : 4
 Bài 8. Tính: B = 1002 - 992 + 982 – 972 +  + 22 - 1	
Phương pháp giải	
	Với bài này rất có thể học sinh nghĩ tới việc nhóm các số 1002, 982,  22 thành một nhóm và các số còn lại thành một nhóm. Nhưng nếu nhóm như vậy thì sẽ không tính được nhanh. Để làm bài này giáo viên có thể cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau:
	Với mọi số tự nhiên a và b, ta có: (a - b).(a + b) = a2 - b2 
	Thật vậy, ta có: 
	(a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 
	Vậy: (a - b).(a + b) = a2 - b2 
	Áp dụng đẳng thức trên vào bài 6 ta được:
	B = 1002 - 992 + 982 – 972 + + 22 – 1
	 = (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) ++ (2 - 1).(2 + 1)
	 = 100 + 99 + 98 + 97 ++ 2 + 1
	 = 100.(100 + 1) : 2
	 = 5050
 Bài 9. Chứng tỏ rằng.
 a) H = 
	 b) K = 
Phương pháp giải	
	Để làm được câu a, học sinh phải nắm được các kiến thức liên quan. Những bài toán dạng này thực sự rất khó với học sinh. Để học sinh hiểu được phụ thuộc hoàn toàn vào sự dẫn dắt, gợi mở của giáo viên.
	Lưu ý: (n N*)
a) Ta có: ; ;  ; ... ; 
 => H = (*)
Mà 
	Nên, từ (*) => H < 1
Qua bài toán trên, giáo viên có thể cho học sinh làm bài toán tổng quát sau:
 Bài 10. Chứng tỏ: 
 a) H = (n
 b) K = < 
Phương pháp giải
a) H < = 
 Nên H < 1
b) K = () < (1+1) = .2 = 
	 (Vì theo câu a, )
	Vậy K < .
Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập luyện tập sau:
1) Chứng tỏ rằng các biểu thức sau đều viết được dưới dạng số chính phương:
	M = 13+23 	Q = 13+23+33+43+53 
 N = 13+23+33	R = 13+23+33+43+53+63
	P = 13+23+33+43 	K = 13+23+33+43+53+63+73
2) Tính A và B bằng hai cách trở lên:
	A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +  + 2n (n N*)
	B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 +  + 7n+1 (n N)
3) Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
	T = 22+ 22 + 23 +24+25++ 22008 
4) So sánh: 
	a) A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 ++ 22008 và B = 22009 – 1
	b) P = 1 + 3 + 32 +  + 3200 và Q = 3201 
	c) E = 1 + x + x2+  + x2008 và F = x2009 (x N*)
5) Chứng tỏ rằng:
	a) 13 + 33 + 53 + 73 23 
	b) 3 + 33 + 35 + 37 +  + 32n+1 30 (n N*)
	c) 1 + 5 + 52 + 53 +  + 5403 + 5404 31
	d) 1 + 4 + 42 + 43 + 44 +  + 499 và B = 4100
6) Tìm số dư khi chia A cho 7, biết rằng
	A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 22008 + 22002
7) Tính:
	a) 3S – 22003 biết S = 1 – 2 + 22 - 23 +  + 22002
	b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 -  - 22 - 2 – 1
	c) H – K biết: H = 1 + 3 + 32 + 33 ++ 320
	 K = 321 : 2
8) Tìm:
	a) Số tự nhiên n biết: 2A + 3 = 3n. Với A = 3 + 32 + 33 +  + 3100
	b) Chữ số tận cùng của M biết: M = 2 + 22 + 23 +  + 220 
9) Chứng tỏ rằng: 
	a) 87 – 218 14	h) 122n+1 + 11n+2 133 
 c) 817 – 279 - 913 405 	i) 70 + 71 + 72 + 73 ++7101 8
	b) 106 – 57 59	k) 4 + 42 + 43 + 44 ++ 416 5
	d) 1099 + 23 9	 	l) 439 + 440 + 441 28
 e) 1028 + 8 72	m) 3 + 35 + 37 +  + 31991 13 và 41
10) Chứng tỏ rằng:
	a) 
 	b) 
	c) A > B với: A = ; B = 
3.5. Dạng 5: Toán đố với lũy thừa
 Dạng toán đố với lũy thừa có một số bài chủ yếu liên quan đến số chính phương. (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên).
 Phương pháp: Cần hiểu một số kiến thức sau.
Số chính phương chỉ có thể có số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không thể có số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
 Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Ngược lại một số có số lượng các ước là một số lẻ thì số đó là số chính phương.
 Bài 1. Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố các bạn điền các chữ số vào dòng chữ sau để được phép tính đúng.
	 MÙI . MÙI = TÂN MÙI (*)
 Bạn hãy trả lời giúp.
Phương pháp giải
 Đề bài rất hay, nhưng khi tìm câu trả lời thì thật là khó. Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*)
	MÙI là số có 3 chữ số
	Theo (*) thì (MÙI)2 có tận cùng là mùi và có 6 chữ số.
Đi tìm đáp án:
	Gọi MÙI = a. Ta có:
 	a2 = 1000. TÂN + a hay a2 – a = 1000. TÂN
 	 => a.(a - 1) 1000
	Ta thấy a - 1 và a là hai số liên tiếp
	1000 = 125. 8 với (125 ; 8) = 1
	Vậy có thể xảy ra:
a 125 và a – 1 8 => a = 625
a 8 và a - 1 125 => a = 376
	Do đó: 625. 625 = 390625 (thỏa mãn)
	376. 376 = 141376 (không thỏa mãn, vì chữ T khác chữ N)
Vậy MÙI. MÙI = TÂN MÙI chính là 625. 625 = 390625.
Bài 2. Đố bạn số chính phương nào có 4 chữ số được viết bởi các chữ số: 3; 6; 8; 8. 
Phương pháp giải
Với bài toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm ra đáp án:
Gọi số chính phương phải tìm là n2
Số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên n2 có tận cùng là 6.
Số tận cùng là 86 thì chia hết cho 2, không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương. Vậy n2 có tận cùng là 36. Do đó số chính phương cần tìm là 8836	.
Bài 3. Bạn hãy tìm số chính phương có 4 chữ sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
Gợi ý: Gọi số cần tìm là => n2 = = 11. 
 => = 11k2 (k )
	Ta có 100 11k2 909 => 4 k 9
	Thử các giá trị của k chỉ có số 704 có chữ số hàng chục bằng 0.
	Vậy k = 8 và số cần tìm là 7744.
C. KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
	Trong những năm học vừa qua, kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh khá giỏi, tôi đã hướng dẫn các em học sinh khối 7 học chuyên đề này, Kết quả cho thấy các em không những đã giải tốt các bài toán về lũy thừa mà còn rất hào hứng với chuyên đề này, giúp các em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung và toán lũy thừa nói riêng.
	Tôi đã cho 40 em học sinh khá, giỏi khối lớp 7 làm bài kiểm tra khảo sát trước và sau khi thực hiện chuyên đề này, kết quả cho thấy:
Năm học 2012 – 2013: (chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) 
Tổng số
Dưới 5
5 à dưới 8
8 à 10
40
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số luọng
Tỉ lệ %
20
50
16
40
4
10
Năm học 2013 – 2014: (năm học đầu tiên áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) 
Tổng số
Dưới 5
5 à dưới 8
8 à 10
40
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số luọng
Tỉ lệ %
12
30
20
50
8
20
Năm học 2014 – 2015: (học kì 1) 
Tổng số
Dưới 5
5 à dưới 8
8 à 10
40
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số luọng
Tỉ lệ %
4
10
22
55
14
35
	Các em học sinh sau khi được học chuyên đề đã nắm vững được các dạng bài tập về lũy thừa để tìm ra phương pháp giải hợp lý nhất cho các bài tập nâng cao bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt một số em trong đội tuyển học sinh giỏi đã giải và vận dụng rất linh hoạt, nhanh và chọn được phương pháp tối ưu khi giải toán. 
II. LỜI KẾT
	Như đã giới thiệu, “Toán lũy thừa của một số hữu tỉ” là một mảng kiến thức khá rộng, chứa đựng rất nhiều những bài toán hay và lí thú. Để chiếm lĩnh được nó không phải là việc dễ làm. Với hệ thống bài tập từ dễ đến khó trong từng dạng toán, tôi muốn cung cấp một số phương pháp giải bài tập có liên quan đến lũy thừa, giúp các em yêu thích học toán đào sâu kiến thức về mảng lũy thừa dưới dạng các bài tập. Tùy theo khả năng và mức độ nhận thức của học sinh mà giáo viên truyền thụ kiến thức, phương pháp làm bài tập cho phù hợp với từng đối tượng.
	Tuy đã rất cố gắng trong công việc nghiên cứu, nhưng do vấn đề thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên chuyên đề này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn chỉnh hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn.
	 Bình Sơn, ngày 10 tháng 3 năm 2015
	 Người viết. 
 Trần Công Cảnh

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sưu tầm từ mạng internet.
2. Sưu tầm, học hỏi từ đồng nghiệp.
3. Phương pháp giải toán theo chủ đề phần đại số (Phan Văn Thoại).
4. Chuyên đề bồi dưỡng toán THCS (Nguyễn Vũ Thanh).
5. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 (Trần Thị Vân Anh).
6. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 (Bùi Văn Tuyên).
7. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi (Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Hoàng Hiếu).
Mục lục
Trang
A. ĐẶT VẤN DỀ	1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ	2
 I. TÌNH HÌNH CHUNG	2
 II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC GIẢI QUYẾT	2
 III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ	3
 1. Hệ thống hóa kiến thức cơ bản 	3
 2. Kiến thức mở rộng, nâng cao	4
 3. Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải	4
 3.1. Dạng 1: Tìm số chưa biết	4
 3.1.1. Tìm cơ số, thành phần cơ số của luỹ thừa	4
 3.1.2. Tìm số mũ, thành phần số mũ của luỹ thừa	9
 3.1.3. Một số trường hợp khác	12
 3.2. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của giá trị luỹ thừa	14
 3.2.1. Tìm một chữ số tận cùng	14
 3.2.2. Tìm 2 chữ số tận cùng 	19
 3.2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên	22
 3.3. Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa	23
 3.4. Dạng 4. Tính toán trên các luỹ thừa	30
 3.5. Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa	39
C. KẾT LUẬN	41
 I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN	41
 II. LỜI KẾT	42
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO	43
NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI
TỔ CHUYÊN MÔN
HỘI ĐÔNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
NHẬN XÉT – ĐÁNH GIÁ – XẾP LOẠI
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC