Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ

1.1 Lý do chọn đ• tài

Đề thi đại học các năm gần đây thường có bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. Kì thi

quốc gia năm 2015 sắp đến cũng sẽ có bài toán này. Ở chương 3 hình học lớp 10, học sinh

đã được học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, các bài toán mà học sinh gặp

ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc sử dụng toạ độ như toạ độ của điểm, vectơ, phương trình đường

thẳng, phương trình đường tròn, góc, khoảng cách. Bài toán trong đề thi thì khác hẳn, đó là

bài toán tổng hợp đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm ở

cấp 2 (trung học cơ sở). Nhiều bài toán đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các tính chất hình

học để đi đến lời giải nhanh hơn, còn nếu chỉ sử dụng thuần tuý toạ độ thường được lời giải

sẽ dài dòng, có khi không thể giải được. Đây là một khó khăn thực sự của học sinh trong

việc ôn thi kì thi quốc gia năm 2015 sắp tới. Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập

cho kiểu bài toán này, giáo viên có tài liệu tham khảo, chúng tôi viết chuyên đề “sử dụng

tính chất hình học trong bài toán toạ độ”.

1.2 Mục đ‰ch cıa đ• tài

Chuyên đề này nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, và

cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lại

các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sử

dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán. Đây còn là một tài liệu tham khảo

cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân

chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.

1.3 Ph⁄m vi cıa đ• tài

Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp

toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ở

cấp 2 như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình

vuông, định lý Thales, tiếp tuyến của đường tròn, góc nội tiếp,

pdf29 trang | Chia sẻ: myhoa95 | Ngày: 26/10/2018 | Lượt xem: 22 | Lượt tải: 0Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
h phức tạp, giải được nhiều nghiệm và phải tìm cách
loại nghiệm. Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng như sau:
15
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
M
N
H
x
y
t
Cho At là đường phân của góc x̂Ay. ChoM là một điểm trên Ax, gọi N là điểm đối xứng với
M qua At. Khi đó N thuộc tia Ay.
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4;1), trọng tâm
G(1;1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc B̂AC là d : x− y−1= 0. Tìm
toạ độ đỉnhC.
A
B(−4;1) C
N
G(1;1)
H
E
d : x− y−1= 0
M
Phân tích. Gọi N là trung điểm AC. Vì
−→
BG = 2
−→
GN nên tìm được toạ độ điểm N. Gọi E là
điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC và tìm được toạ độ E. Ta lập được phương
trình đường thẳng AC là đường thẳng qua 2 điểm N,E. Vì A là giao điểm của d và AC nên
tìm được toạ độ của A. Gọi M là trung điểm BC, từ
−→
AG= 2
−−→
GM tìm được M. Vì G là trọng
tâm tam giác ABC, áp dụng công thức toạ độ trọng tâm ta tìm được toạ độ điểmC.
Lời giải.
−→
BG= (5;0). Gọi N(xN;yN) là trung điểm AC. Vì
−→
BG= 2
−→
GN nên{
5= 2(xN−1)
0= 2(yN−1)
⇔
{
xN = 72
yN = 1
Suy ra N(72 ;1). Gọi E là điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC. Gọi ∆ là đường
thẳng qua B và vuông góc với d, ta có ∆ : x+ y+4= 0. Gọi H(x;y) là giao điểm của ∆ với
d, ta có: {
x− y−1= 0
x+ y+4= 0
⇔
{
x=−32
y=−52
16
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Suy ra H(−32 ;−52). Vì H là trung điểm BE nên E(1;−6). Đường AC qua E(1;−6) nhận−→
EN = (52 ;7) làm vectơ chỉ phương, hay có một vectơ pháp tuyến là
−→n = (14;−5). Từ
đó phương trình AC là AC : 14x− 5y− 44 = 0. Vì A là giao điểm của d : x− y− 1 = 0
và AC : 14x− 5y− 44 = 0 nên tìm được A(399 ; 309 ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
C(xC;yC) thoả {
39
9 −4+ xC = 3
30
9 +1+ yC = 3
⇔
{
xC = 83
yC =−43
VậyC(83 ;−43).
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ
đỉnh A là H(175 ;−15), chân đường phân giác trong của góc A là D(5;3) và trung điểm của
cạnh AB là M(0;1). Tìm toạ độ đỉnhC. (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7b).
A
B CD(5;3)H( 175 ;− 15 )
N
M(0;1)
K
Phân tích. Đường thẳng AH qua H và vuông góc với HD nên ta viết được phương trình
AH. Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA = MH. Kết
hợp A thuộc đường thẳng DH và MA=MH tìm được toạ độ điểm A. Ta viết được phương
trình đường phân giác AD. Gọi N là điểm đối xứng vớiM qua phân giác AD thì ta tìm được
toạ độ N. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua 2 điểm A và N. Đường thẳng BC
qua hai điểmD vàH nên viết được phương trình BC. VìC là giao điểm của hai đường thẳng
AC và BC nên tìm được toạ độ củaC.
Lời giải. Dành cho độc giả.
3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một
đường thẳng góc cho sẵn
Bài 5. Cho đường thẳng d : 3x−2y+1= 0 và điểm A(2;4). Viết phương trình đường thẳng
∆ biết ∆ đi qua A và tạo với d một góc 45◦.
17
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
d
∆
45◦
Phân tích. Dựa vào hình vẽ ta có thể dự đoán có 2 đáp số đường thẳng ∆ cần tìm.
Lời giải. Gọi −→n = (a;b) là một vectơ pháp tuyến của ∆ (với a2+ b2 6= 0). Phương trình
đường thẳng ∆ đi qua A(2;4) nhận −→n = (a;b) làm một vectơ pháp tuyến có dạng:
a(x−2)+b(y−4) = 0
⇔ax+by−2a−4b= 0 (1)
Vì góc giữa d và ∆ bằng 45◦ nên
cos45◦ =
|3a−2b|√
13.
√
a2+b2
⇔
√
2|3a−2b|=
√
13(a2+b2)
⇔2(9a2−12ab+4b2) = 13(a2+b2)
⇔5a2−24ab−5b2 = 0 (2)
Nếu b= 0 thì a= 0 khi đó −→n = (0;0) không thể là vectơ pháp tuyến. Do đó b 6= 0. Chia 2
vế của phương trình (2) cho b2 ta được
5
(a
b
)2−24(a
b
)
−5= 0
⇔
[
a
b = 5
a
b =−15
• Trường hợp ab = 5 hay a= 5b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là
5bx+by−10b−4b= 0
⇔5x+ y−14= 0
• Trường hợp ab =−15 hay a=−15b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là
− 1
5
bx+by+
2
5
b−4b= 0
⇔− x+5y−18= 0
Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là 5x+ y−14= 0 hoặc −x+5y−18= 0. 
18
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn
3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn
Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểmM là trung điểm
đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng
CD, biết rằng M(1;2), N(2;−1). (Đề thi đại học khối A năm 2014).
Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc có
sẵn.
A B
CD
M(1;2)
N(2;−1)
E
F
α
Phân tích. Có sẵn toạ độ 2 điểm M,N nên đường thẳng MN là cố định. Nếu gọi E là giao
điểm của hai đường thẳng MN và CD thì ta sẽ tính được tỉ số
ME
MN
. Từ đó có thể tìm được
toạ độ điểm E. Đề bài yêu cầu lập phương trình đường thẳng CD mà CD đi qua điểm E đã
biết. Dùng kiến thức hình học tổng hợp tính được cosin của góc giữa hai đường thẳng CD
vàMN (tính cosα). Viết phương trình đường thẳng qua E tạo vớiMN một góc α đã có, đó
là phương trình đường thẳngCD cần tìm.
Lời giải. Vì EC ‖ AM nên NE
NM
=
NC
NA
=
1
3
. Suy ra ME =
4
3
MN. Mà
−−→
ME và
−−→
MN cùng
hướng nên ta có
−−→
ME =
4
3
−−→
MN. Gọi E(xE ;yE) ta có:{
xE−1= 43(2−1)
yE−2= 43(−1−2)
⇔
{
xE = 73
yE =−2
Từ đó ta có E(73 ;−2).
Ta tính góc giữa hai đường thẳng MN và CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng MN và
đường thẳng BC. Đặt cạnh hình vuông ABCD là r. Ta có EC=
1
3
AM =
r
6
. Từ
EC
MB
=
FC
FB
=
19
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
1
3
suy ra FC =
1
2
BC =
r
2
. Tam giác FCE vuông tại C nên EF =
√
FC2+EC2 =
r
√
10
6
.
Đặt α = F̂EC thì cosα =
EC
EF
=
1√
10
.
Gọi −→n = (a;b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳngCD (với a2+b2 6= 0). VìCD qua
E nên phương trình củaCD có dạng
a
(
x− 7
3
)
+b(y+2) = 0
⇔ax+by− 7
3
a+2b= 0 (1)
−−→
MN = (1;−3) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳngMN là −→n′ = (3;1). Vì hai đường
thẳngCD và MN tạo với nhau góc α có cosα =
1√
10
nên
1√
10
=
|3a+b|√
10.
√
a2+b2
⇔|3a+b|=
√
a2+b2
⇔9a2+6ab+b2 = a2+b2
⇔8a2+6ab= 0
⇔
[
a= 0
a=−3b4
• Trường hợp a= 0 thì b 6= 0 thế vào (1) ta có phương trình củaCD là
by+2b= 0⇔ y+2= 0
• Trường hợp a=−3b4 thì b 6= 0 thế vào (1) ta có phương trình củaCD là
−3b
4
x+by+
7b
4
+2b= 0⇔−3x+4y+15= 0
Vậy phương trình đường thẳngCD cần tìm là y+2= 0 hoặc −3x+4y+15= 0. 
3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết
Cách 2. Khai thác toạ độ hai điểm cho sẵn để tìm thêm một điểm nào đó trên đường thẳng
CD.
20
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A B
CD
M(1;2)
N(2;−1)
EI
Phân tích.Muốn viết phương trình đường thẳngCD thì bắt buộc phải tìm toạ độ một điểm
nào đó trên đường thẳng CD. Điểm đó có thể là C hoặc D, hoặc “khôn ngoan” hơn nữa là
trung điểm I của CD. Trong đáp án chính thức của Bộ Giáo dục thì người ta đi tìm toạ độ
điểm I. Ta sẽ tìm điểm I vì nếu tìm được I thìCD sẽ là đường thẳng qua I và vuông góc với
IM. Muốn tìm toạ độ điểm I ta đi cần biết khoảng cách từ I đến 2 điểm mà đề cho sẵn toạ độ
làM và N, nghĩa là tính IM và IM. Sau đó đặt ẩn cho toạ độ điểm I đi giải hệ phương trình.
Tuy nhiên, cần biết cạnh của hình vuông thì mới tính được IM và IN. Việc tính cạnh của
hình vuông buộc phải dùng đến độ dài cho sẵn MN. Ta sẽ đưa đoạn MN vào một tam giác
nào đó rồi áp dụng định lý cosin để tính cạnh hình vuông. Tam giác được chọn là 4IMN
(hoặc4AMN đều được).
Lời giải. Gọi I là trung điểm CD. Ta có MN =
√
10. Đặt cạnh hình vuông là r. Tam giác
IMN có IM = r, IN =
1
4
BD =
r
√
2
4
, M̂IN = 45◦. Áp dụng định lý cosin trong tam giác
IMN ta có
MN2 = IM2+ IN2−2.IM.IN.cos45◦
⇔10= r2+ r
2
8
−2.r.r
√
2
4
.
√
2
2
⇔10= 5r
2
8
⇔r = 4
21
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Từ đó ta có IM = 4, IN =
√
2. Gọi I(x0;y0) ta có{
IM2 = 16
IN2 = 2
⇔
{
(x0−1)2+(y0−2)2 = 16
(x0−2)2+(y0+1)2 = 2
⇔
{
x20+ y
2
0−2x0−4y0 = 11
x20+ y
2
0−4x0+2y0 =−3
⇔
{
x20+ y
2
0−2x0−4y0 = 11
2x0−6y0 = 14
⇔
{
(7+3y0)2+ y20−2(7+3y0)−4y0 = 11
x0 = 7+3y0
⇔
{
10y20+32y0+24= 0
x0 = 7−3y0
⇔

{
x0 = 1
y0 =−2{
x0 = 175
y0 =−65
• Trường hợp x0 = 1;y0 = −2 ta có I(1;−2) và −→IM = (0;4). Đường thẳng CD qua I
nhận
−→
IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình y+2= 0.
• Trường hợp x0 = 175 ;y0 = −65 ta có I(175 ;−65) và
−→
IM = (−125 ; 165 ). Đường thẳng CD
qua I nhận
−→
IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x−4y−15= 0.
Vậy phương trình đường thẳngCD cần tìm là y+2= 0 hoặc 3x−4y−15= 0. 
3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác
trong của góc A là điểm D(1;−1). Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y−9= 0, tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x+ 2y− 7 = 0. Viết
phương trình đường thẳng BC. (Đề thi đại học khối D năm 2014).
22
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
B C
D(1;−1)
E
H
d
∆
Phân tích. Đặt d : x+ 2y− 7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC. A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x+2y−9= 0 và d nên tìm được toạ độ điểm
A. Ta đã biết đường thẳng BC đi qua D(1;−1). Muốn viết phương trình đường thẳng BC thì
cần tìm thêm toạ độ một điểm nào đó (khác D) trên đường thẳng BC. Để sử dụng giả thiết
đề cho phương trình hai đường thẳng AB và d thì ta nên tìm điểm B hoặc giao điểm E của
d với BC; không nên tìm toạ độ điểmC vì không có thêm giả thiết gì liên quan đếnC.
Còn giả thiết D(1;−1) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC chưa
được dùng. Khi sử dụng tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung kết hợp với giả
thiết phân giác ta có thể chứng minh được tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc đường
trung trực ∆ của AD. Vì viết được phương trình của ∆ nên tìm được E chính là giao điểm
của d và ∆. Vậy BC là đường thẳng đi qua hai điểm D và E.
Lời giải. Đặt d : x+2y−7= 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x+2y−9= 0 và d nên A(x;y) thoả mãn:{
x+2y−7= 0
3x+2y−9= 0 ⇔
{
x= 1
y= 3
Suy ra A(1;3).
Ta có ÊAB= ÂCB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó). Ta
lại có B̂AD= ĈAD (AD là phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC). Suy ra
ÂDE = ĈAD+ ÂCB (góc ngoài tam giác ACD)
= ÊAB+ B̂AD
= ÊAD
Suy ra tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc trung trực ∆ của AD. Gọi H là trung điểm
AD ta có H(1;1). Đường thẳng ∆ qua H nhận
−→
AD = (0;4) làm vectơ pháp tuyến nên có
23
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
phương trình ∆ : y−1= 0. Vì E là giao điểm của d và ∆ nên E(x;y) thoả mãn:{
x+2y−7= 0
y−1= 0 ⇔
{
x= 5
y= 1
Suy ra E(5;1).
−→
DE = (4;2). Đường thẳng BC qua D(1;−1), nhận −→n = (2;−4) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình BC : x−2y−3= 0.
Vậy BC : x−2y−3= 0. 
3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam
giác vuông
Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2 = 2x. Tam
giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của (C) trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao
kẻ từ A là H(2;0). Tìm toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện
tích tam giác ABC bằng
2√
3
. (Đề thi thử lần 1 năm 2015 tạp chí Toán học và tuổi trẻ).
A
B
C
I(1;0)
H(2;0)
Phân tích. Đường tròn (C) có tâm I(1;0) và bán kính R= 1. Trước tiên ta chứng minh AB
là đường kính của (C). Để tìm toạ độ điểm B ta tính khoảng cách từ B đến 2 điểm cho sẵn
là I và H. Thứ nhất, IB = R = 1. Thứ hai, để tính BH phải sử dụng giả thiết diện tích tam
giác ABC và hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH. Có diện tích tam
giác ABC và có AB= 2R= 2 nên tính được AC. Dùng hệ thức lượng AB2 = BH.BC, trong
đó BC có thể tính được nhờ định lý Pitago nên ta tính được BH. Đặt ẩn cho toạ độ điểm H
và dùng độ dài 2 đoạn thẳng IB,HB đã biết sẽ có hệ phương trình để giải tìm toạ độ điểm
B.
Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1;0), bán kính R = 1. Tam giác ABC vuông tại A và
AC là tiếp tuyến vuông góc với bán kính AI nên 3 điểm A, I,B thẳng hàng (1). Nhận xét
H ∈ (C). Vì H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên ÂHB = 90◦ (2). Từ (1)
24
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
và (2) suy ra AB là đường kính của (C). Ta có IB= 1 (3). AB= 2, diện tích tam giác ABC
bằng
2√
3
nên:
1
2
AB.AC =
2√
3
⇒ AC = 2√
3
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABC, ta có:
BC =
√
AB2+AC2 =
4√
3
Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
ta có
AB2 = BH.BC⇒ BH = AB
2
BC
=
4
4√
3
=
√
3 (4)
Gọi H(x0;y0). Từ (3) và (4): IB= 1 và HB=
√
3 nên ta có:{
IB2 = 1
HB2 = 3
⇔
{
(x0−1)2+ y20 = 1
(x0−2)2+ y20 = 3
⇔
{
x20+ y
2
0−2x0 = 0
x20+ y
2
0−4x0 =−1
⇔
{
x0 = 12
y20 =
3
4
⇔

{
x0 = 12
y0 =
√
3
2{
x0 = 12
y0 =−
√
3
2
Vì B có tung độ dương nên B(12 ;
√
3
2 ). 
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x−y= 0. Đường tròn
(C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A,B sao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến của (C)
tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). (Đề thi
đại học khối A năm 2013, câu 7b).
25
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
B
I
M
∆ : x− y= 0
H
Phân tích. Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), gọi H là giao điểm
của AB và IM. Vì M thuộc Oy nên M(0; t). Đề cho AB nên tính được HA =
AB
2
. Theo đề
R = IA =
√
10. Ta sẽ tìm điểm M bằng cách tính khoảng cách từ điểm M đến ∆. Dùng hệ
thức lượng trong tam giác vuông MAI có thể tính được MH. Dùng khoảng cách từ M đến
∆ bằng MH vừa tính ta sẽ tìm được toạ độ của M. H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆
nên ta tìm được toạ độ H. Vì tính được tỉ số
HI
MH
nên tìm được toạ độ điểm I, từ đó ta viết
được phương trình đường tròn (C).
Lời giải. Dành cho độc giả.
3.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh huyền. Cách
phát biểu tương đương là: “Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh
huyền của tam giác đó”. Sử dụng những tính chất trên ta có thể chứng minh được các điểm
cùng thuộc một đường tròn.
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc
đường thẳng d : 2x+y+5= 0 và A(−4;8). GọiM là điểm đối xứng của B quaC, N là hình
chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm toạ độ điểm B và C biết rằng N(5;4).
(Đề thi đại học khối A năm 2013, câu 7a).
A(−4;8)
B C
D
I
M
N(5;−4)
26
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Phân tích. Vì C thuộc d : 2x+ y+5= 0 nên gọi C(t;−2t−5). Gọi I giao điểm hai đường
chéo của hình chữ nhật ABCD. Vì I là trung điểm AC nên ta tính được toạ độ của I theo t.
Vì N thuộc đường tròn đường kính BD (cũng là đường tròn đường kính AC) nên IA = IN.
Giải phương trình IA = IN ta tìm được t, từ đó có được toạ độ của I và C. Dự đoán B là
điểm đối xứng với N qua đường thẳng AC. Khi chứng minh được dự đoán này thì ta tìm
được toạ độ điểmC.
Lời giải. Dành cho độc giả.
3.8 Kĩ thuật tổng hợp
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo
vuông góc với nhau và AD= 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x+2y−6= 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H(−3;2). Tìm toạ độ các đỉnhC và D. (Đề thi đại học khối B năm
2013, câu 7a).
A
B C
D
I
H(−3;2)
Phân tích. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta chứng minh được tam giác IBC và HBC
vuông cân nên suy ra được I là trung điểm HC. Do đó C là điểm đối dứng của I của I nên
tìm được toạ độ điểm C. Vì D thuộc đường thẳng BC nên để tìm toạ độ điểm C ta cần tính
thêm khoảng cách từC đến một điểm đã biết nào đó, chẳng hạn tính ID. Vì
BC
AD
=
IB
IC
=
1
3
và có IB nên tính được ID. Từ đó đặt ẩn giải phương trình ta tìm được toạ độ điểm D (2 đáp
số).
Lời giải. Dành cho độc giả.
Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểmM(−92 ; 32) là trung
điểm cạnh AB, điểm H(−2;4) và điểm I(−1;1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ điểmC. (Đề thi đại học khối D năm 2013,
câu 7a).
27
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
A
B
C
M(− 92 ; 32 )
H(−2;4)
I(−1;1)
Phân tích. Ta viết được phương trình đường thẳng AB đi qua M và vuông góc với IM.
Tham số hoá toạ độ điểm A theo t. Tính được toạ độ điểm B theo t. Từ
−→
HA.
−→
HB= 0 ta giải
phươngt trình tìm được 2 nghiệm t. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua A và
H. Tham số toạ toạ độ điểmC rồi dùng IC = IA tìm được toạ độC (loại một kết quả củaC
trùng A).
Lời giải. Dành cho độc giả.
3.9 Bài tập
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x− 1)2+(y− 1)2 = 4
và đường thẳng ∆ : y−3= 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh
N và P thuộc ∆, đỉnhM và trung điểm của cạnhMN thuộc (C). Tìm toạ độ điểm P. (Đề thi
đại học khối D năm 2013, câu 7b).
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có BC =
2BA. Điểm M(2;−2) là trung điểm cạnh AC. Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN =
1
4
BC, điểm H(45 ;
8
5) là giao điểm của AN và BM. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC, biết điểm N nằm trên đường thẳng x+2y−6= 0.
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độOxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C)
có phương trình (x− 2)2+(y− 3)2 = 26, điểm G(1; 83) là trọng tâm tam giác và M(7;2)
nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC, M khác A. Tìmt toạ độ
các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn tung độ điểmC.
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(1;3)
và diện tích bằng 30. Gọi E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho EC= 2EB, điểm H(52 ;
5
2) là
hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên đường thẳng DE. Biết C có tung độ âm, tìm toạ đ6ọ
các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.
28
Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú
Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(−7;0).
Một điểm P nằm trong hình bình hành sao cho P̂AB = P̂CB. Phương trình đường thẳng
chứa PB và PC lần lượt là d1 : x+ y−2= 0 và d2 : 2x− y−1= 0. Tìm toạ độ đỉnh A, biết
rằng đỉnh A thuộc đường thẳng y= 3x và A có hoành độ nguyên.
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có đỉnh A(−1;4),
trực tâm H. Đường thẳng AH cắt cạnh BC tạiM, đường thẳngCH cắt cạnh AB tại N. Tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giácHMN là I(2;0), đường thẳng BC đi qua điểm P(1;−2). Tìm
toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x+ 2y− 2 = 0.
(Đề thi thử năm 2015 lần 2 của trường THPT Minh Châu, Hưng Yên).
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ÂCD = α với
cosα = 1√
5
, điểm H thoả mãn điều kiện
−→
HB=−2−→HC, K là giao điểm của hai đường thẳng
AH và BD. Cho biết H(13 ;−43), K(1;0) và điểm B có hoành độ dương. Tìm toạ độ các điểm
A,B,C,D.
Kết luận
Trên đây, chúng tôi đã trình bày các bài toán toạ độ trong mặt phẳng, dạng bài toán thường
xuất hiện trong các đề thi đại học các năm gần đây và sẽ có trong đề thi quốc gia năm 2015
sắp tới. Việc giải bài toán kiểu này đòi hỏi phải vận dụng kết hợp giữa tư duy hình học
phẳng và phương pháp toạ độ. Chúng tôi đã thực hiện được cái mới là cố gắng phân loại
(một cách tương đối) các dạng bài toán kiểu này. Hy vọng đây sẽ là tài liệu học tập quý giá
cho học sinh trong; tài liệu tham khảo cho giáo viên trong việc biên soạn hệ thống bài tập.
Tài liệu
[1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nguyễn Văn Đoành -
Trần Đức Huyên, Hình học 10, Nhà xuất bản giáo dục, 2006.
[2] Cao Hải Vân, Khai thác tính chất hình học để giải bài toán toạ độ trong mặt phẳng,
Tạp chí toán học và tuổi trẻ, tháng 4 năm 2009.
[3] Bộ giáo dục và đào tạo, Đề thi đại học các năm 2009 - 2014.
29

File đính kèm:

  • pdfskkn_2015_toan_phantanphu_thptvotruongtoan_8087.pdf
Sáng Kiến Liên Quan