SKKN Phương pháp đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số

P TƯƠNG TỰ: 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
1. 24 2 3 21 4x x x m     
2.     6 2 4 2 2 4 4 2 2x x x m x x         
3. 29 9x x x x m      
4. 2 21 1x x x x m      
5. 32 2 22 1 4 1 2 0x x x m      
6. 4 42 2 2 6 2 6x x x x m      
www.dayhoctoan.vn 
17 
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 Trong phần này tác giả trình bày một số bài toán tìm về điều kiện của tham số 
để BPT: 
+) có nghiệm 
 +) có nghiệm trên D (với D là một tập nào đó) 
 +) nghiệm đúng với mọi x D 
 Cũng tương tự như PT, dấu hiệu quan trọng nhất để sử dụng được PPĐH đối 
với dạng toán này là BPT có thể biến đổi được về dạng: f(x) > g(m) hoặc f(x) < g(m); 
f (x) g(m); f (x) g(m)  . Và để giải quyết bài toán ta cũng thực hiện các bước tương 
tự như đã nêu trong phần PT, tuy nhiên ở bước tìm tập giá trị của f(x) (hoặc của h(t)) ở 
phần PT thì sang phần BPT không nhất thiết phải làm đầy đủ, mà tùy theo dạng của 
BPT ta chỉ cần tìm    min ; axf x m f x (hoặc min ( ); max ( )h t h t ) là đủ cơ sở để đưa ra 
kết luận cho bài toán. 
Bài 1. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 
  12 5 4     x x x m x x (1) 
Lời giải: Điều kiện: 0 4x  
Do 5 4 0,     x x x  0;4 nên ta có: 
12
(1)
5 4
x x x
m
x x
 
 
  
( 12 )( 5 4 )m x x x x x       (2) 
 Xét hàm số:   ( 12) ( 5 4 )     f x x x x x x trên đoạn  0;4 . 
 +)        1 1 1' 5 4 12 , 0;4
2 2 2 2 4 2 5
x
f x x x x x x x x
x x x x
   
              
     
+)    ' 0 0;4f x x   . 
 Hàm số f(x) đồng biến trên  0;4 . Do đó ta có: 
 
   
0;4
min 0 2 15 4 3  f x f 
(1) có nghiệm  2 có nghiệm 
 
 
0;4
min 2 15 4 3    m f x m 
 Đáp số: 2 15 4 3m   
 Nhận xét: 
 +) Trong bài tập này ta cũng có thể chỉ ra hàm số  f x đồng biến trên  0;4 
bằng cách vận dụng kiến thức sau: Nếu hàm số ( )y h x đồng biến trên D , ( ) 0f x  
với mọi x D và hàm số ( )y g x đồng biến trên D , ( ) 0g x  với mọi x D thì hàm 
số ( ) ( )y h x g x đồng biến trên D. 
 +) Có thể thay yêu cầu tìm m để BPT có nghiệm thành tìm m để BPT vô nghiệm 
hoặc tìm m để BPT nghiệm đúng với mọi [0;4]x , lúc đó ta có các kết quả tương ứng 
là 
 
 
0;4
minm f x ; 
 
 
0;4
axm m f x 
www.dayhoctoan.vn 
18 
Bài 2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
 3 1   mx x m (1) 
Lời giải: Đặt 3, 0t x t   
Ta có: 2 3,x t  
(1) trở thành:  2 2
1
3 1
2

     

t
m t t m m
t
 (2) 
Xét hàm số   2
1
2
t
f t
t



 trên  0; ta có: 
 
 
2
2
2
2 2
'
2
t t
f t
t
  


 ' 0 1 3; 1 3f t t t        (loại) 
Ta có bảng biến thiên 
t 0 1 3  +∞ 
f’(t) + 0  
f(t) 
3 1
4

1
2
 0 
Dựa vào BBT, (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 0t 
 
 
0;
3 1
m maxf t m
4

    
Đáp số: 
 
 
0;
3 1
m maxf t m
4

   
 Nhận xét: Nếu trong bài tập trên nếu ta không đặt ẩn phụ mà biến đổi đưa về 
bất phương trình: 
1 3
1
 


x
m
x
. Khi đó dẫn đến việc xét hàm số  
1 3
1
x
f x
x
 


. Đối 
với hàm số này việc tính đạo hàm, giải phương trình đạo hàm và xét dấu đạo hàm gặp 
khó khăn. 
Bài 3: Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc 0;1 3 
 
    2 2 2 1 2 0     m x x x x (1) 
Lời giải: Đặt  2 22 2 2 2t x x x x t        
Ta có (1) trở thành   21 2m t t   (2) 
Xem t là một hàm của x trên 0;1 3 
 
 ta có: 
www.dayhoctoan.vn 
19 
2
1
' ; ' 0 1
2 2
x
t t x
x x

   
 
 (0) 2; (1) 1; (1 3) 2t t t    
 Suy ra:
[0;1 3] [0;1 3]
min ( ) 1; m ax ( ) 2t x t x
 
  1 2t   
 Do 1 0 t , [1;2] t nên (2) 
2 2
2

 

t
m
t
 (3) 
 Xét hàm số  
2 2
1
t
f t
t



 trên  1;2 có: 
  
 
2
2
2 2
' 0 , (1;2)
1
t t
f t t
t
 
   

; 
 Suy ra hàm số đồng biến trên [1;2], do đó: 
 
 
1;2
2
max ( ) 2
3
 f x f 
 Ta có (1) có nghiệm  0;1 3 3x      có nghiệm  1;2t 
 1;2
2
max ( )
3
   m f t m 
Đáp số: 
2
3
m  
Bài 4. (HSG lớp 12 tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014) 
 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng  [-1;1]x : 
 21 12 1 16 3 1 2 15m x x x m x m        (1) 
 Lời giải: 
 Điều kiện: 1 1x   . 
 (1) 2[9( 1) 6 (1 )(1 ) (1 )] (3 1 1 2) 5 0x x x x m x x              (2) 
 Đặt: 3 1 1x x t    , (2) trở thành 22 ( 2) 5 0t m t    (3) 
 Xem t là một hàm số của x , ta có: 
3 1
' 0
2 1 2 1
t
x x
  
 
, ( 1;1)x   
 Suy ra t là hàm đồng biến trên [ 1;1] 
 Vì ( 1) 2; t(1)=3 2t    nên 2 3 2t   và mỗi [- 2;3 2]t có duy nhất một 
[- 2;3 2]x nên yêu cầu bài toán  tìm m để bất phương trình (3) nghiệm đúng 
[- 2;3 2]t  
Do 2 0t   , [- 2;3 2]t  nên: (3) 
22 5
2
 
 

t
m
t
 (4) 
Xét hàm số
22 5
( )
2
t
f t
t
 


 trên tập 2;3 2 
 
 ta có: 
2
2
2 8 5
'( ) 0,
( 2)
t t
f t x
t
  
   

 2;3 2 
Do đó ( )f t là hàm số nghịch biến trên 2;3 2 
 
 Suy ra 
[- 2;3 2 ]
31
min ( ) (3 2)
3 2 2
f t f

 

www.dayhoctoan.vn 
20 
Ta có (4) nghiệm đúng [- 2;3 2]t  m 
[- 2;3 2 ]
min ( )f t
31
3 2 2
m

 

Vậy (1) nghiệm đúng  [-1;1]x khi và chỉ khi 
31
3 2 2



m 
Đáp số: 
31
3 2 2



m 
Bài 5 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng  x [0;2] 
222 1xx1xxm )()(  (1) 
Lời giải: 
 Đặt: 2 1  t x x với x [0;2] . 
 Xem t là một hàm số của x, x [0;2] . 
 Ta có: ' 2 1 0, [0;2]t x x     
 Suy ra t là hàm số đồng biến trên [0;2] 
 Do đó: 
[0;2] [0;2]
min ( ) (0) 1; m ax ( ) (2) 5t x t t x t     , suy ra: 1 t 5   
 Ta có (1) trở thành: 2( 2) mt t (2) 
 Ta thấy 0t là một nghiệm của (2) 
 Với 0t ta có: 
  
2
2
(t 2)
m ; 1 t 0
t
2
(t 2)
m ; 0 t 5
t
 
   
 
   

 (3) 
 Ta có (1) nghiệm đúng  x [0;2] (2) nghiệm đúng  t  1;5  
 (3) nghiệm đúng  t    1;0 0;5   
 Xét hàm số
2( 2)
( )


t
f t
t
 trên tập    1;0 0;5  . 
2
2
4
'( ) ; '( ) 0 2
t
f t f t t
t

     (loại); 2t  
0 0
lim ( ) ; lim ( )
t t
f t f t
  
    
 Bảng biến thiên: 
t -1 0 2 5 
f’(t)   0 + 
f(t) -1  49
5
 - 8 
Ta có (3) nghiệm đúng  t    1;0 0;5   
  
 
 
1;0
0;5
m max f (t); 1 t 0
3
m min f (t); 0 t 5

   

 
  
m 1
1 m 8
m 8
 
    

www.dayhoctoan.vn 
21 
 Vậy (1) nghiệm đúng  x [0;2] 1 m 8    
Đáp số: 1 m 8   
Nhận xét: Bài toán này cũng giống như bài toán 4 là dạng toán tìm điều kiện của 
m để BPT đúng với x D  , ở đây có điều khó khăn hơn là để cô lập m ta cần xét t=0 
và t 0 sau đó dẫn đến một hệ bất phương trình và cần tìm điều kiện của m để hệ 
này đúng với mọi    t 1;0 0;5   
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 
 1) 3 1 2 5   x x m 
 2)  
3
3 23 1 1    x x m x x 
 Tìm m để bất phương trình sau 
 3) )())(( 3x5x2mx3x21 2  nghiệm đúng với mọi ];[ 3
2
1
x

 
 4) x2 - 2x + 1 - m2 0 nghiệm đúng với mọi x [1; 2] 
3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Cũng như các bài toán về PT, BPT có chứa tham số , các bài toán về HPT chứa 
tham số thông thường cũng sẽ được giải quyết một cách đơn giản nếu sử dụng PPĐH 
Bài 1. (ĐH - Khối D-2007) 
Cho hệ phương trình 
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10

   


     

x y
x y
x y m
x y
 (1) 
Tìm m để: a) Hệ có nghiệm (x;y); 
 b) Hệ có nghiệm thỏa mãn (x;y) thỏa mãn x > 1, y >1 . 
Phân tích bài toán: Đây là hệ đối xứng loại 1, tuy nhiên việc đặt ,s x y p xy   
sẽ rất phức tạp cho việc xử lý ở phần sau. Ở đây ta sẽ dùng nhận xét 
3 3
3
1 1 1
( ) 3( )a a a
a a a
     để đặt ẩn phụ. 
Lời giải 
Đặt 
1 1
,u x v y
x y
    
a) Điều kiện: 2, 2u v  
Hệ (1) trở thành 
 3 3
5
3 15 10
u v
u v u v m
 

    
5
. 8
u v
u v m
 
 
 
,u v là nghiệm của phương trình 2 5 8t t m   (2) 
Xét hàm số   2 5 8f t t t   với 2t  có: 
  
5
' 2 5; ( ) 0
2
f t t f t t     
www.dayhoctoan.vn 
22 
2 2
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) 2; lim ( ) 22
x x x x
f t f t f t f t
    
      
Ta có bảng biến thiên: 
t -∞ -2 2 
5
2
 +∞ 
f'(t)   0 + 
f(t) + + 
 22 2 
7
4
(1) có nghiệm  (2) có 2 nghiệm 1 2,t t t t  thỏa mãn 1 22; 2t t  
 22m  hoặc 
7
2
4
m  . 
 b) Xét hàm số  
1
 g t t
t
 trên  1; ta có: 
    2
1
' 1 0 1;     g t t
t
; 
 Do đó g(t) là hàm đồng biến trên  1; . 
 Từ đó suy ra g(t)  , 1;   > g(1)= 2 t 
 Vậy ta có điều kiện: u 2 v 2 , ; 
 Xét hàm số   2 5 8f t t t   với t 2 . 
5
'( ) 2 5; '( ) 0
2
f t t f t t     
2
lim ( ) ; lim ( ) 2
x x
f t f t
 
   
Ta có bảng biến thiên: 
t 2 
5
2
 +∞ 
f'(t)  0 + 
f(t) 
 + 
 2 
7
4
 Ta có: (1) có nghiệm thỏa mãn (x;y) thỏa mãn 1,x y >1 
  (2) có 2 nghiệm 1 2,t t t t  thỏa mãn 1 22; 2 t t 
7
2
4
m   
Đáp số: a) 22m hoặc 
7
2
4
m  b) 
7
2
4
m  
Nhận xét: 
www.dayhoctoan.vn 
23 
+) Trong câu (b) với x > 1, y >1, ta phải sử dụng đạo hàm để tìm điều kiện 
chính xác của ẩn phụ. 
+) Có thể thay yêu cầu của bài toán ở câu b thành tìm m để hệ có nghiệm (x;y) 
thỏa mãn x >3; y >3 hoặc x < -2; y < -2 
Bài 2. (ĐH - Khối D-2011) 
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 
 
 
3 2
2
2 2
,
1 2
    

   
x y x xy m
x y R
x x y m
 (1) 
Lời giải: 
  
    
   
23 2 2
22
22 2
1
2 1 21 2
x x x y mx x y x xy m
x x x y mx x y m
        
  
         
Đặt: 2 , 2u x x v x y    ta có 
1
,
4
u v   . 
(1) trở thành: 
 
1 2
1 21 2
v m uuv m
u m u mu v m
   
 
      
 
2
1 2
2
2 1
v m u
u u
m
u
  

  


 (Do 
1
4
u   nên 2 1 0)u   
Hệ (1) có nghiệm  (2) có nghiệm 
1
4
u   
Xét hàm số  
2
2 1
u u
f u
u
 


 trên 
1
;
4
 
 
 
. 
  
 
2
2
2 2 1 1
' , ;
42 1
u u
f u u
u
   
      
 
; 
  
1 3 1 3
' 0 ;
2 2
f u u u
   
    (loại) 
Ta có bảng biến thiên: 
u 
1
4
 
1 3
2
 
 +∞ 
f’(u) + 0  
f(u) 
2 3
2

5
8

 -∞ 
Dựa vào BBT, (1) có nghiệm 
2 3
2
m

  
Đáp số: 
2 3
2
m

 
Nhận xét: 
www.dayhoctoan.vn 
24 
+) Đối với bài toán này, ta cần quan sát và khéo léo biến đổi để phát hiện ra ẩn 
phụ hợp lý 
+) Bài toán có thể thay đổi yêu cầu như sau: Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) với x 
không âm; hoặc là có nghiệm (x, y) với x a,.. (a cho trước). 
Bài 3. (HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An 2011-2012) 
 Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm 
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0 (1)
4 2 4 5 4 0 (2)
x x y y
x x y y m
     

     
 Phân tích bài toán: Ở PT (1) x, y đứng độc lập với nhau và đều có số mũ cao 
nhất là 3, điều đó gợi cho chúng ta suy nghĩ: có thể chuyển PT (1) về dạng f(ax+b) = 
f(y) hoặc f(ay+b) = f(x) với f(x) là hàm số bậc 3 nào đó. 
Lời giải: 
 Điều kiện: 
2 2
0 4
x
y
  

 
 Ta có    
33(1) 12 2 12 2x x y y      
 Xét hàm số  3( ) 12 , 2;2f t t t t    ; 
    ' 2 2( ) 3 12 3 4 0 , 2;2f t t t t         
 f(t) là hàm liên tục trên  2;2 
Suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên  2;2 
Ta có: x và y – 2 cùng thuộc đoạn  2;2 
 ( ) ( 2)f x f y  2 2x y y x      (3) 
Thay (3) vào (2) ta được phương trình 2 23 4 4x x m   (4) 
Hệ phương trình đã cho có nghiệm  phương trình (4) có nghiệm x  2;2 
Xét hàm số: 2 2( ) 3 4 4g x x x   ,  2;2x  
2
3
'( ) 8 ; '( ) 0 0
4
g x x g x x
x
 
      
 
 ( 2) 16; (2) 16; (0) 6     g g g 
Ta có: 
   2;2 2;2
min g(x) 16; max g(x) 0
 
   
 (4) có nghiệm x  2;2  16 6m   
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi: 16 6m   
Đáp số: 16 6m   
Nhận xét: 
+)Đối với bài này, việc phân tích để xử lý PT (1) từ đó rút ra mối quan hệ giữa x 
và y là rất quan trọng, sau đó giải quyết PT (2) tương tự như các bài toán ở dạng1. 
+)Ta cũng có thể thay đổi yêu cầu của bài toán như sau: Tìm m để hệ có 2 
nghiệm, 3 nghiệm, nghiệm duy nhất, hay có nghiệm (x; y) thỏa mãn x>1, 
www.dayhoctoan.vn 
25 
Bài 4. Cho hệ phương trình: 
1 1
1 1
x y m
y x m
    

   
Tìm m để hệ phương trình trên: a) Có nghiệm; 
 b) Có nghiệm duy nhất. 
Lời giải: 
 Điều kiện: 
0 1
0 1
x
y
 

 
 Từ hệ ta suy ra: 1 1    x y x x 
 1 1x x y y      (1) 
 Xét hàm số  ( ) 1 , 0;1f t t t t    
  '
1 1
( ) 0 , 0;1
2 2 1
f t t
t t
    

 Suy ra hàm số ( )y f t đồng biến trên  0;1 
 Ta có: (1) ( ) ( )f x f y x y    
 Thay vào hệ ta được : 1 1x x m    (2) 
 Xét hàm số ( ) 1f x x x   trên  0;1 
 Ta có : 
1
'( )
2 (1 )
x x
f x
x x
 


; 
1
'( ) 0
2
f x x   
 Bảng biến thiên : 
x 0 
1
2
 1 
f’(x) + 0  
f(x) 2 
 1 1 
 Ta có: 
a) HPT đã cho có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm 
  1 1 2 0 2 1      m m 
b) HPT đã cho có nghiệm duy nhất  phương trình (2) có nghiệm duy nhất. 
  1 2 2 1m m     
 Nhận xét: 
 +) Hệ đã cho là một hệ đối xứng loại 2, cách xử lý thông thường là trừ vế cho 
vế ở hai phương trình để xuất hiện thừa số (x-y). Đối với bài toán trên còn có một sự 
đặc biệt là ta có thể biến đổi để đưa về được dạng f(x) = f(y). Cách giải trên có thể áp 
dụng cho những hệ đối xứng loại 2 mà các ẩn x, y trong hệ có thể tách riêng ra hai vế. 
 +) Đối với câu b) ta có thể giải quyết bằng cách dùng điều kiện cần và đủ. Giả 
sử  ;o ox y là một nghiệm của hệ thì  1 ;1o ox y  cũng là một nghiệm của hệ. Khi đó hệ 
www.dayhoctoan.vn 
26 
có nghiệm duy nhất cần 
1
2
o ox y  .Từ đó tìm m và thử lại. Cách giải này học sinh hay 
gặp sai lầm là không thử lại. 
Bài 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm (x; y) thỏa mãn x 0; y 0: 
 
 2 2
4 12 1 3 1
16 9 2
xy x x y
x y m
     

   
Lời giải: Do x  0; y  0 nên ta có: 
 Điều kiện: 
0 4
0 3
 

 
x
y
 (*) 
   21 4 12 1 3 4 12 1 (3 )           xy x x y xy x x y (Do: 3 x y 0   ) 
2 2x 2x(y 3) y 6y 8 0       (3) 
Xem (3) là phương trình bậc hai biến x. 
Ta có:  
4
3
2
 
  
x y
x y
+) Với 4 x y thì từ (*) ta suy ra: 
4
0



x
y
 Thay vào (2) ta có m = 3 
 Như vậy m = 3 hệ có nghiệm (4; 0) 
+) Với 2 x y , kết hợp điều kiện (*) ta có: 0 y 2  (**) 
 thay vào 2 x y vào (2) ta được: 2 24 12 9     y y y m (4) 
 Hệ có nghiệm thỏa mãn x 0; y 0  (4) có nghiệm  0;2y . 
 Xét hàm số   2 24 12 9     f y y y y trên  0;2 . 
   
2 2
2
' 0, 0;2
4 12 9
y y
f y y
y y y
 
    
   
; 
 Suy ra f(y) nghịch biến trên  0;2 . 
 Do đó ta có: 
 
 
 
   
0;2 0;2
min (2) 5 ; max 0 3 2 3f y f f y f     
 Ta có (4) có nghiệm  0;2y 5 m 3 2 3    
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x 0; y 0 khi và chỉ khi 
5 m 3 2 3   
Nhận xét: Việc biến đổi PT (1) để rút x theo y là điểm mấu chốt của bài toán. Và 
một điều cần lưu ý sau khi biểu diễn x theo y ta cần đặt lại điều kiện (**) cho y . Bước 
tiếp theo là chuyển từ bài toán tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x 0; y 0 về 
tìm m để PT có nghiệm y thỏa mãn điều kiện (**). 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
www.dayhoctoan.vn 
27 
 1. 





m2x1y
m2y1x
 2. 





m1y1xxy
8yxyx 22
))((
 3. 
2
3
1 2 2 1
3 3 2
    

   
x y xy x
x x xy a
 4. 





10512m4m4my5xy4x2
8y3xy2x
23422
22
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
 5. 





1xyx
0myx2
 6. 





myy7xy
mxx7yx
223
223
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có nhiều hơn hai nghiệm: 
 7. 





)()( 2ymxyy1x
myx
2 
III. THỰC NGHIỆM 
1. Mục đích thực nghiệm 
 Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 
2. Nội dung thực nghiệm 
 - Triển khai đề tài: Phương pháp đạo hàm trong bài toán tìm điều kiện có 
nghiệm của phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số. 
 - Đối tượng áp dụng: Học sinh khá, giỏi về môn toán. 
 - Thời gian thực hiện: 3 buổi (khoảng 12 tiết). 
3. Kết quả thực nghiệm 
 Tôi được phân công dạy các lớp khối A, khối B trong nhiều năm nay, do đó có 
điều kiện để thể nghiệm chuyên đề này trong nhiều lần. 
 Tùy theo mức độ kiến thức của từng khối lớp, tôi đưa ra hệ thống bài tập phù 
hợp, nên đã làm các em rất hứng thú và say mê khi tiếp cận chuyên đề. 
 Kết quả thật khả quan, hầu hết các em đều tiếp cận nhanh vấn đề và giải quyết 
tốt các bài tập tương tự. 
 Kết quả cụ thể: (Kiểm tra ở một lớp 12 sau khi dạy xong chuyên đề này). 
 +) 50% học sinh làm tốt tất cả các bài tập vận dụng. 
 +) 25% học sinh làm được 80% số bài. 
 +) 20% học sinh làm được 60% số bài. 
 +) 5% học sinh làm được 50% số bài. 
www.dayhoctoan.vn 
28 
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
I. KẾT LUẬN 
Thông qua hệ thống các bài tập trên chúng ta thấy được việc sử dụng phương 
pháp đạo hàm để giải những bài toán về điều kiện của tham số để phương trình, bất 
phương trình, hệ phương trình có nghiệm giúp cho bài toán được giải quyết một cách 
tự nhiên, ngắn gọn và đơn giản. Trong hệ thống bài tập trên một số bài tập được tác giả 
được trích từ các đề thi tuyển sinh đại học và thi chọn học sinh giỏi tỉnh các tỉnh. 
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 trong một số giờ tự chọn ôn thi, 
chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng đạo hàm và ẩn phụ để 
tìm điều kiện tham số trong bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 
đã giúp cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa số nghiệm của một phương 
trình với số giao điểm của các đồ thị của hai hàm số ở hai vế, học sinh biết cách sử 
dụng đạo hàm trong nhiều bài toán tìm tham số, làm bài có những lập luận chặt chẽ 
hơn trong những tình huống giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình . 
 II. KIẾN NGHỊ 
 Trong bài viết tôi mới chỉ trình bày được phần bài tập ở dạng PT, BPT và HPT 
đại số. Trong thời gian tới để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở dạng bài tập 
này có hiệu quả hơn nữa, tôi sẽ tiếp tục khai thác các bài tập có PT, BPT và HPT ở đầy 
đủ các dạng hơn như lượng giác, mũ và lôgarit. 
 Qua việc nghiên cứu đề tài chúng ta thấy đây là một đề tài mở có thể khai thác 
tiếp theo nhiều hướng khác nhau. Do đó rất mong các bạn đồng nghiệp cũng như 
www.dayhoctoan.vn 
29 
những người yêu thích môn toán tiếp tục khai thác để đề tài ngày càng được phát triển 
về chiều rộng lẫn chiều sâu 
Mặc dù đã tham khảo nhiều tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên 
lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian còn hạn chế, rất mong được 
sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà 
trường, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông, 
giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến 
hàm số trong các kỳ thi cuối cấp. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1. Sách giáo khoa và sách bài tài tập giải tích nâng cao lớp 12. Nhà xuất bản 
Giáo dục. Năm 2008 
 2. Sách giáo khoa và sách bài tài tập giải tích nâng cao lớp 12. Nhà xuất bản 
Giáo dục. Năm 2008 
 3. Trần Tuấn Điệp - Ngô Long Hậu - Nguyễn Phú Trường. Giới thiệu đề thi 
tuyển sinh vào Đại học - Cao Đẳng. Nhà xuất bản Hà Nội. Năm 2006 
 4. Lê Hồng Đức. Phương pháp giải toán Đạo hàm và ứng dụng. Nhà xuất bản 
Hà Nội. Năm 2008 
 5. Các đề thi HSG của tỉnh Hà Tĩnh 
 6. Các đề thi HSG của tỉnh Nghệ An 
 7. Các đề thi HSG của tỉnh Vĩnh Phúc 
 8. Các tài liệu về PT, BPT, HPT trên mạng Internet.