Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình

I. Cơ sở lý thuyết
Cho hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D:
1/ Nếu tồn tại sao cho thì trên D phương trình có nghiệm duy nhất .
2/ Nếu .
3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có hướng giải sau:
a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm số.
18 trang | Chia sẻ: thuydung3ka2 | Ngày: 02/03/2022 | Lượt xem: 714 | Lượt tải: 1Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN
BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
	 Tác giả sáng kiến: Lê Văn Vượng
	 Mã sáng kiến: 31.52.02
Vĩnh Phúc, năm 2019
BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
	Trong các đề thi THPT Quốc gia năm học 2015 - 2016, năm học 2016 - 2018 cũng như đề thi Tuyển sinh Đại học năm học 2014 - 2015 trở về trước, đề thi học sỉnh giỏi Toán lớp 12 Tỉnh Vĩnh Phúc và các tỉnh trên toàn quốc những năm gần đây, đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc chúng ta hay gặp bài toán giải phương trình và hệ phương trình. Các bài toán này đều là bài toán ở mức độ vận dụng. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán hệ phương trình này ta không thể dùng các cách giải hệ phương trình học ở lớp 10 như: Biến đổi tương đương thông thường để đưa về hệ thức Viet, hệ phương trình đối xứng loại I, loại II,để giải. Trong đề thi THPT quốc gia 2017 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình 12, đề thi THPT quốc gia 2018 thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình lớp 11,12, đề thi thử Toán 12 THPT quốc gia 2019 theo hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo thi Toán bằng hình thức trắc nghiệm kiến thức thi trong chương trình Toán 11, 12 trọng tâm là kiến thức Toán 12. 
	Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán hệ phương trình sử dụng hàm số để học sinh hiểu bài và tìm tòi lời giải người thầy khuyến khích học sinh học tập theo hướng tích cực , tư duy, sáng tạo trong giải toán.
	Với mỗi người giáo viên việc đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. 
	Trong SKKN này tôi sẽ nêu hai vấn đề chính: 
	+ “ Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình ” Giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán.
	+ “ Cách ra hệ phương trình sử dụng hàm số ”. Giáo viên ra đề.
2. Tên sáng kiến: 
“Ứng dụng hàm số vào giải hệ phương trình”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Lê Văn Vượng.
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên trường THPT Bình Xuyên.
- Số điện thoại: 0988560979, E_mail: levuongc3bx@gmail.com .
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Văn Vượng GV THPT Bình Xuyên.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bài tập Đại số 12, bồi dưỡng học sinh giỏi, thi THPT quốc gia theo lộ trình.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 10/12/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 
7.1 Nội dung của sáng kiến:
7.1.1 Nội dung:
NỘI DUNG
ỨNG DỤNG HÀM SỐ VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
I. Cơ sở lý thuyết
	Cho hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D: 
1/ Nếu tồn tại sao cho thì trên D phương trình có nghiệm duy nhất .
2/ Nếu .
	3/ Khi cho hệ phương trình hai ẩn (x;y) sử dụng hàm số thường bài toán có hướng giải sau: 
	a/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
	b/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn bằng phương pháp hàm số.
II. Áp dụng
	A/ Từ một phương trình của hệ dùng hàm số lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn.
Cho hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại sao cho thì trên D phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài tập 1 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện (*). 
Ta thấy x =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét . Từ phương trình (1) chia hai vế cho ta được 
 (3) 
Xét hàm số với, Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
 hoặc 
+ Với 
+ Với 
 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình , 
Bài tập 2 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện (*). 
Phương trình (1) . 
Xét hàm số với, Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
	. 
Vậy nghiệm của hệ phương trình 
Bài tập 3 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: 
	Phương trình (1) 
Xét hàm số với, 
 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
Vậy nghiệm của hệ phương trình 
Bài tập 4 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện (*). Từ phương trình (1) 
Ta nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét 
Phương trình (1) 
Xét hàm số với, Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
 (4)
Đặt phương trình (4) (5)
Xét hàm số .
 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Ta thấy u=0 là nghiệm của phương trình (5) x=1 thỏa mãn (*).
Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 5 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện (*). 
Ta nhận thấy 
Phương trình (1) (3)
Xét hàm số với, 
 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
 thỏa mãn (*).
Vậy nghiệm của hệ phương trình hoặc 
Bài tập 6 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện . 
Phương trình (1) (3) 
Xét hàm số với, 
 Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên .
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
 Thỏa mãn (*)
Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 7 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Rút 3y từ (1) thay vào (2) ta được 
 (3)
Xét hàm số với, 
hàm số luôn đồng biến và liên tục trên 
Từ phương trình (3) thay vào (2) ta được: 
Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 8 Giải hệ phương trình 
	Hướng dẫn: 
Phương trình (1) (3) 
Xét hàm số với, 
 Hàm số luôn nghịch biến và liên tục trên R.
Từ (3) thay vào (2) ta được: 
Điều kiện . 
Đặt (*) Ta được 
Trừ vế với vế ta được 
+ Với x=y thay vào (4) ta được x =u =2 là nghiệm 
+ Với x+y+1=0 thay vào (4) ta được là nghiệm 
Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 9 Cho hệ phương trình:
Giả sử hệ phương trình có nghiệm bằng
 A. 10 B. 15 C. D. 
Hướng dẫn: Điều kiện .(*) 
 Phương trình(1) (3)
Xét hàm số , 
 Hàm số luôn đồng biến trên R. 
Từ (3) .
 Thay vào (2) ta được 
Đặt điều kiện (**). 
Phương trình (1) (2)
 , Hàm số g(k) luôn 
đồng biến trên . Từ (2) ta có 
 Chọn (D)
Bài tập 10 Hệ phương trình: 
Có bao nhiêu nghiệm? A.1 B.2 C.3 D.4
Hướng dẫn: Do . 
Bằng cách nhân hai vế phương trình (1) với ta được 
 (3)
Xét hàm số , . Ta có 
Hàm số luôn đồng biến trên 
Từ phương trình (3) ta có .
Thay vào (2) ta được phương trình có 2 nghiêm nên hệ phương trình có 2 nghiệm chọn (B)
Nhận xét: 
Trong 10 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: 
Từ một phương trình của hệ có chuyển về phương trình đơn giản ngay được không, có phân tích nhân tử được không  Tiếp theo ta thấy có 1 phương trình của hệ có thể dùng phương pháp hàm số để giải đưa về mối quan hệ x và y sau đó thế vào phương trình còn lại để được phương trình 1 ẩn để giải
Bài tập Giải các hệ phương trình sau
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
5/ 
B/ Từ một phương trình của hệ dùng biến đổi tương đương lập mối quan hệ x và y thế vào phương trình còn lại để giải phương trình một ẩn dùng phương pháp hàm số để giải.
Cho hàm số luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D nếu tồn tại sao cho thì trên D phương trình có nghiệm duy nhất .
Bài tập 11 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện . 
Phương trình (1) 
Thay vào (2) ta được 
 Điều kiện . Xét hàm số liên tục trên 
Ta có , 
Bảng biến thiên:
x
y’
y
2
4
3
0
+
-
2
Ta có x =3 là nghiệm của phương trình . Với x=3 y=3 thỏa mãn (*). Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 12 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn:Ta thấy y =0 không là nghiệm của hệ phương trình.
Xét chia hai vế của phương trình (1) cho ta được
	 thay vào (2) ta được
 (3)
Xét hàm số: liên tục trên R
 Hàm số luôn đồng biến và liên tục trên R. 
Ta có y =1. Vậy nghiệm của hệ phương trình .
Bài tập 13 Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn: Phương trình (1) 
Thay vào (2) ta được (3)
Xét hàm số 
 Hàm số đồng biến và liên tục trên .
Ta có . Từ (3)  
Vậy nghiệm của hệ phương trình 
Bài tập 14 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện 
Phương trình (1) (3)
Xét từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải 
Vậy x=y thay vào (2) (1)
Hướng dẫn: Điều kiện (*)
 Phương trình (1) (2)
Xét hàm số , Hàm số luôn đồng biến trên R.
Từ (2) y=2 là nghiệm của phương trình . Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(2;2)
Bài tập 15 Giải hệ phương trình: 
 	Hướng dẫn: Điều kiện (*) 
Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét chia hai vế của (1) cho ta được 
 thay vào (2) ta được (3)
Phương trình (3) (4)
 Xét , hàm số luôn đồng biến trên R. Từ phương trình (4) ta có 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là 
Bài tập 16 Cho hệ phương trình: 
Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm và 
MN bằng? 
 Hướng dẫn: Điều kiện (*)
Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được 
 Với x=y thay vào (2) ta được 
 (2)
 Xét , Hàm số luôn đồng biến trên R. 
Từ phương trình (2) ta có 
 là nghiệm cần tìm . Với 
Vậy Chọn (B)
Bài tập 17 Cho hệ phương trình: 
Giả sử hệ phương trình có hai nghiệm và 
trung điểm của MN có tọa độ là? A.(0;0) B.(1;2) C.(3;-1) D.(2;-3).
 Hướng dẫn: Điều kiện (*)
Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được 
Với x=y thay vào (2) ta được 
Điều kiện . Hàm số là hàm chẵn trên 
Xét hàm số luôn nghịch biến trên . Ta có x = 2 là nghiệm.
Xét hàm số luôn đồng biến trên . Ta có x = - 2 là nghiệm
Với Vậy 
 Tọa độ trung điểm của MN là (0;0) Chọn (A)
Bài tập 18 Hệ phương trình: có bao nhiêu nghiệm? A.0 B.1 C.2 D.3
	Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét chia hai vế của (1) cho ta được 
 thay vào (2) ta được 
Xét hàm số 
Xét , g(t) là hàm số đồng biến trên R. 
Ta có nên f(x) 
đồng biến trên R . Ta có x =1 y=1. 
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x;y) =(1;1) Chọn (B)
Bài tập 19 Cho hệ phương trình: 
Giả sử hệ phương trình có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau? 
Hướng dẫn: Điều kiện (*) 
Phương trình (1) coi x là ẩn, y là tham số ta được 
Với x=y thay vào (2) ta được (3)
Phương trình (3) (4)
Xét , 
 Hàm số luôn đồng biến trên 
Từ (4) .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là Chọn (C).
Bài tập 20 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Phương trình (1) 
Phương trình (2) (3)
Xét hàm số với ta có bảng biến thiên
x
f’(x)
f(x)
-1
1
-
6
26
Phương trình (3) có vậy phương trình (3) 
Vậy nghiệm của hệ phương trình (x;y)=(6;6)
Bài tập 21 Giải phương trình
Hướng dẫn: Điều kiện (*)
Phương trình (1) (3)
Xét từ phương trình (3) vế trái lớn hơn vế phải
Xét từ phương trình (3) vế trái nhỏ hơn vế phải
Xét x=y vế trái bằng vế phải 
Vậy x=y thay vào (2) (4)
Giải phương trình (4) Điều kiện 
Phương trình (4) (5) . 
Ta thấy vế phải . Xét hàm số với ta có bảng biến thiên
x
y’
y
-1
1
0
0
-
+
6
8
Phương trình là nghiệm cần tìm. 
Vậy (x;y)=(0;0)
Bài tập 22 Giải hệ phương trình: 
Hướng dẫn: Điều kiện 
Hướng dẫn: Ta thấy y=0 không là nghiệm hệ phương trình.
Xét chia hai vế của (1) cho ta được 
 thay vào (2) ta được 
Ta thấy x=0 không là nghiệm phương trình (3).
 Xét x>0 chia hai vế của phương trình (3) cho ta được: 
 Xét , 
 Hàm số luôn đồng biến trên R. 
 Từ phương trình (2) ta có 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y)=(1;1). 
Nhận xét: 
Trong 12 bài tập đã cho khi hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình trước tiên cần hướng cho học sinh nhìn nhận bài toán ở góc nhận biêt, thông hiểu như: 
Có biến đổi 1 phương trình của hệ phương trình tìm mối liên hệ x,y có phân tích nhân tử được không  khi đã có mối quan hệ x và y ta thay vào phương trình còn lại của hệ và dùng hàm số để giải.
Cách ra “Hệ phương trình sử dụng hàm số để giải”
Bước 1: Xây dựng một phương trình hai ẩn để tại mối quan hệ x và y sử dụng
	1/ Viét đảo 
	2/ Đẳng cấp ví dụ 
	3/ Đánh giá được mối quan hệ x và y
Bước 2: 
	Xây dựng một phương trình hai ẩn để thay mối quan hệ x và y sử dụng ở bước 1 thay vào được phương trình 1 ẩn sử dụng hàm số
1/ 
 2/ với luôn
4/ trong đó 
là hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên R.
5/ 
6/ với ac>0
Bước 3: 
	Với phương trình đã lập ở bước 2 ta giải bài toán này bằng cách biến đổi theo chiều xuôi kiểm tra tính chính xác, mức độ đề để điều chỉnh và kết thúc ra đề.
Bài tập Giải các hệ phương trình sau
1/ 
2/
3/ 
4/
5/ 
7.1.2 Danh mục tài liệu tham khảo:
[1]. Đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi THPT quốc gia môn Toán..
[2]. Đề thi HSG Toán 12 Tỉnh Vĩnh Phúc.
[3]. Sách giáo khoa Bài tập giải tích 12 nâng cao Nxb.Giáo dục.
[4]. Các đề thi thử ĐH của khối chuyên ĐHSP Hà Nội.
7.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến: 
	SKKN này đã được áp dụng cho học sinh 12, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12 . 
 SKKN này đã được áp dụng cho giáo viên: Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên cách ra bài tập hệ phương trình vô tỷ sử dụng hàm số. 
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có):
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
	Học sinh lớp 12 sau khi học tính đơn điệu hàm số, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, kiến thức áp dụng thi THPT quốc gia theo lộ trình. Tài liệu cho giáo viên bồi dưỡng thường xuyên.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
- So sánh lợi ích kinh tế, xã hội thu được khi áp dụng giải pháp trong đơn so 
với trường hợp không áp dụng giải pháp đó, hoặc so với những giải pháp tương tự đã biết ở cơ sở (cần nêu rõ giải pháp đem lại hiệu quả kinh tế, lợi ích xã hội cao hơn như thế nào hoặc khắc phục được đến mức độ nào những nhược điểm của giải pháp đã biết trước đó - nếu là giải pháp cải tiến giải pháp đã biết trước đó);
- Số tiền làm lợi (nếu có thể tính được) và nêu cách tính cụ thể.
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: 
Đề tài này đã được tác giả dạy cho học sinh lớp 12 lớp đầu cao, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia năm học trước. Giúp học sinh làm tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ sử dụng phương pháp hàm số. 
Sáng kiến kinh nghiệm này là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên và học sinh. Độc giả quan tâm có thể bổ sung thêm làm cho tài liệu thêm phong phú và hấp dẫn hơn
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
..................................................................................................................................... 
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
2
............., ngày...tháng......năm........
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
 Bình Xuyên, ngày 18.tháng 01 năm 2019
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
 Lê Văn Vượng
File đính kèm:
sang_kien_kinh_nghiem_ung_dung_ham_so_vao_giai_he_phuong_tri.doc