Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán

Khái niệm tương quan hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông . Học sinh được bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ thuận ở lớp 7 , hàm số bậc nhất và hàm số y= ax2 ở lớp 9 , và còn được tiếp tục ở trường THPT .

 Theo mục tiêu của chương trình Toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tương quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ thuận, quan hệ bậc nhất. Tuy nhiên thực tế quan điểm hàm số được hàm ẩn trong nhiều vấn đề khác. Các biểu thức chứa biến nhận những giá trị khác nhau khi các giá trị của biến thay đổi . Giải phương trình là tìm các giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế bằng nhau. Giải bất phương trình là tìm những giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế thỏa mãn bất đẳng thức đã cho .

 Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp những bài toán khi giải bằng phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn ,nhưng khi sử dụng tương quan hàm số thì việc giải bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong giải toán .

 

doc11 trang | Chia sẻ: sangkien | Ngày: 06/08/2015 | Lượt xem: 1232 | Lượt tải: 6Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Sáng kiến
 “Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số để giải toán” 
I . Đặt vấn đề 
 Khái niệm tương quan hàm số là một vấn đề quan trọng ở bậc học phổ thông . Học sinh được bắt đầu làm quen với khái niệm này từ quan hệ tỉ lệ thuận ở lớp 7 , hàm số bậc nhất và hàm số y= ax2 ở lớp 9 , và còn được tiếp tục ở trường THPT .
 Theo mục tiêu của chương trình Toán THCS thì việc dạy học khái niệm hàm số chỉ yêu cầu hình thành khái niệm tương quan hàm số thông qua quan hệ tỉ lệ thuận, quan hệ bậc nhất. Tuy nhiên thực tế quan điểm hàm số được hàm ẩn trong nhiều vấn đề khác. Các biểu thức chứa biến nhận những giá trị khác nhau khi các giá trị của biến thay đổi . Giải phương trình là tìm các giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế bằng nhau. Giải bất phương trình là tìm những giá trị của biến để các giá trị tương ứng của hai biểu thức ở hai vế thỏa mãn bất đẳng thức đã cho ...
 Trong quá trình giải toán, chúng ta gặp những bài toán khi giải bằng phương pháp thông thường gặp nhiều khó khăn ,nhưng khi sử dụng tương quan hàm số thì việc giải bài toán đó dễ dàng hơn . Sau đây tôi xin trình bầy một vài ứng dụng của đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong giải toán .
 II. Giải quyết vấn đề 
 A . Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm 
 1) Khái niệm hàm số 
 Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ,ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số .
 2) Đồ thị hàm số 
 Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá tri tương ứng (x ; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x) .
 3) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 
 Với x1 , x2 bất kì thuộc R ( hoặc thuộc tập D ) 
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R ( hoặc trên D )
Nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R(hoặc trên D)
Hàm số y = ax + b (a0 )
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R
Hàm số y = ax2 ( a0 ) 
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0
Nếu a 0 và đồng biến khi x < 0
B .Những ứng dụng của hàm số trong giải toán
 Sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số trong việc giải các bài toán về phương trình , bất phương trình , chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN , GTNN của biểu thức ...
 Sau đây là một số ví dụ 
Dạng 1 : Giải phương trình , bất phương trình
Ví dụ 1 : a) Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ đồ thị các hàm số :
 y = ( P ) và y = x + ( d)
 b) Dùng đồ thị cho biết ( có giải thích ) nghiệm của phương trình
 ( Đề thi tuyển sinh vào THPT tỉnh Thái Bình năm học 1998 – 1999 )
Giải :
Vẽ đồ thị hai hàm số 
b) Điều kiện x 0
Bình phương cả hai vế của phương trình ta được :
 2x + 3 = x2 
 x + = 
Đặt y = ( P) và y = x + (d)
Nghiệm của phương trình đã cho là hoành độ giao điểm của (P) và (d) với
 x 0, (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm (3; ) và ( -1; ) .
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3 .
Ví dụ 2 : Giải bằng đồ thị hàm số các phương trình và bất phương trình
x2 – x + 1 = 0 
x2 – 2x + 1 = 0 
x2 + 2x - 3 = 0 
x2 + 2x - 3 < 0 
Giải 
x2 – x + 1 = 0 x2 = x – 1
Đặt y = x2 và y = x – 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị không có điểm chung .Vậy phương trình vô nghiệm .
x2 – 2x + 1 = 0 x2 = 2x – 1
Đặt y = x2 và y = 2x – 1 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm ( 1; 1 ) .Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
x2 + 2x – 3 = 0 x2 = -2x + 3
Đặt y = x2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm ( 1; 1) và ( -3; 9). Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = -3 .
x2 + 2x – 3 x2 < -2x + 3
Đặt y = x2 và y = -2x + 3 .Vẽ đồ thị hai hàm số y = x2 và y = -2x + 3 trên cùng một hệ trục tọa độ . Ta thấy ứng với -3 < x < 1 đồ thị hàm số y = x2 nằm phía dưới đồ thị hàm số y = -2x + 3 hay x2 < -2x +3 . Vậy nghiệm của bất phương trình là -3 < x < 1 .
Dạng 2 : Biện luận số nghiệm của phương trình 
Ví dụ 3 : Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình
 = m ( m là tham số )
Giải 
Đặt y = và y = m
Vẽ đồ thị hai hàm số y = và y = m trên cùng một hệ trục tọa độ rồi tìm số giao điểm của chúng .
 - 2x nếu x 1
* Ta có y = = 2 nếu -1 x 1
 2x nếu x 1
Đồ thị hàm số y = gồm đoạn thẳng AB , tia AC và tia BD .
*Đồ thị của hàm số y = m là một đường thẳng song hoặc trùng với trục hoành.
Nhìn trên hình vẽ ta thấy :
Nếu m < 2 thì hai đồ thị không cắt nhau , do đó phương trình vô nghiệm 
Nếu m = 2 thì hai đồ thị có chung đoạn thẳng AB , do đó phương trình có vô số nghiệm -1 x 1.
Nếu m > 2 thì hai đồ thị có hai giao điểm , do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt .
Ví dụ 4 : Với giá trị nào của tham số a , phương trình sau có nghiệm duy nhất 
 = (1)
Giải
 Phương trình (1) = - 1
Đặt y = và y =- 1.Vẽ đồ thị hai hàm số y = và y = - 1 trên cùng một hệ trục tọa độ.
 2x – a nếu x 
Ta có y = = -2x + a nếu x 
 x + 2 nếu x - 3 
 y = - 1 = 
 - x – 4 nếu x -3
* Nếu -2 a - 4 thì hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt => phương trình có hai nghiệm phân biệt .
* Nếu -4 -8 phương trình vô nghiệm .
 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hai đồ thị trên có điểm chung duy nhất . Điều này xảy ra khi và chỉ khi = - 4 hoặc = - 2 a = -8 hoặc a = -4 
Vậy với a = -8 hoặc a = -4 thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài tập tương tự 
1 . Dùng đồ thị để :
 a) Giải phương trình : 2 = - x + 3
 b) Chứng minh phương trình = x - 2 vô nghiệm .
2 . Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 
 a) = m ( m là tham số ) 
 b) x2 -4 + 1 = k ( k là tham số ) 
3 . Dùng đồ thị để giải phương trình và bất phương trình 
 a) x2 – x – 2 = 0
 b) x2 – x – 2 < 0
Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức 
Ví dụ 5 : Cho hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (0 ; 1) , biết f() = 0 . Chứng minh rằng và f () < 0.
Giải 
Ta có (0 ;1) ; (0 ;1) ; (0 ;1)
 = , = , = 
 Hàm số f(x) nghịch biến trong khoảng (0 ;1)
Vì > nên < hay < 
 suy ra f() > f() hay f() > 0 
Vì > => > hay > suy ra f() < f() hay f() < 0 .
Ví dụ 6 : Cho hàm số y = f(x) = ( m2 + m + 1)x2 . Chứng minh rằng với mọi m thì f() < f()
Giải :
Ta có m2 + m + 1 = m2 + m + + = ( m +)2 + > 0 m 
 Suy ra hàm số y = f(x) = ( m2 + m + 1)x2 đồng biến khi x > 0
 ()() = 1 => = 
 ()() = 1 => = 
Vì > nên < hay <
Do 0 0 nên f() < f() .
Bài tập tương tự 
 1) Cho hàm số y= f(x) = (- m2 - m - 1)x2 . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì f( ) > f() . 
Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 7 : Cho phương trình bậc hai x2 + 2(m – 2)x – 2m + 7 = 0. Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phương trình , tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức x12 + x22. 
Giải : ’ = ( m -2)2 + 2m – 7 = (m – 3)(m + 1)
 Để phương trình có nghiệm thì ’ 0 hay (m – 3)(m + 1) 0 m -1 hoặc m 3 .
 Theo định lí Vi-ét ta có : x1 + x2 = -2( m – 2)
 x1. x2 = -2m + 7 
Do đó x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2 x1. x2 = [- 2(m – 2)]2- 2(- 2m + 7) = 4m2 – 12m + 2 
Ta cần tìm min(4m2 – 12m + 2) với m -1 hoặc m 3 .
Đặt f(m) = 4m2 – 12m + 2
Ta có f(m) = 4m2 – 12m + 2 = (2m – 3)2 – 7 -7 
Dấu “ = ” xảy ra khi 2m – 3 = 0 m = 1,5 ( không thỏa mãn điều kiện trên )
Vẽ đồ thị hàm số f(m) = 4m2 – 12m + 2 . Nhìn trên hình vẽ ta thấy 
Với m = 3 ta có f(3) = 2
Với m = - 1 ta có f(-1) = 18
Do đó hàm số f(m) = 4m2 – 12m + 2 với m -1 hoặc m 3 có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 3 
Vậy min (x12 + x22) = 2 khi m = 3.
Ví dụ 8 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phương trình 
 x + y = 2a – 1 ( I )
 x2 + y2 = a2 + 2a - 3 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x.y
Giải : Ta có x2 + y2 = a2 + 2a – 3
 (x+y)2 – 2xy = a2 + 2a – 3
 ( 2a – 1)2 – 2xy = a2 + 2a – 3
 xy = a2 – 3a + 2
 x + y = 2a – 1 
 Hệ phương trình (I) 
 xy = a2 – 3a + 2
Suy ra x , y là hai nghiệm của phương trình :
 X2 – ( 2a – 1)X + a2 – 3a + 2 = 0 (1)
 Phương trình (1) có nghiệm khi 0 hay -2a2 + 8a – 7 0 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(a) = a2 – 3a + 2 với (2)
Ta có f(a) = (a- 1)2 + 
Xét hàm số g(a) = (a- 1)2 đồng biến khi a – 1 > 0
Từ (2) => a- 1 > 0 . Do đó g(a) = (a- 1)2 ()2 
 Suy ra f(a) ()2 + = 
Dấu “ = ” xảy ra khi a – 1 = a = 
Vậy min ( xy ) = khi a = 
 Bài tập tương tự 
Bài 1 : Giả sử ( x;y) là nghiệm của hệ phương trình 
 x + y = a + 1 
 x2 + y2 = 2a2- 2 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x.y
Bài 2 : Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình x2 + 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0 
 Tìm m để x12 + x22 có giá trị nhỏ nhất .
Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 
III. Kết luận 
 Việc sử dụng đồ thị hàm số và tính biến thiên của hàm số vào việc giải các bài toán đại số gặp rất nhiều thuận lợi và nó có thể giải quyết được nhiều bài toán khó . Trong quá trình giảng dạy, tôi đã áp dụng với nhiều đối tượng học sinh , đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi và thấy đa số học sinh vận dụng tốt vào giải toán . 
 Do trong khuôn khổ của một chuyên đề , tôi không thể trình bày hết được các dạng toán sử dụng hàm số để giải .Trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót ,kính mong được sự đóng góp ý kiến , chỉ bảo của quý thày cô và các bạn đồng nghiệp để bản thân ngày càng có nhiều kinh nghiệm hơn nữa trong công tác giảng dạy môn Toán .
 Canh Tân, ngày 10 tháng 5 năm 2008
 Người viết 
 Vũ Doãn Chinh

File đính kèm:

  • docsang_kien_Su_dung_tinh_bien_thien_cua_ham_so.doc