Sáng kiến kinh nghiệm Rèn tư duy cho học sinh giải tốt các bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

 nô xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km cũng mất 7 h . Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
- Phân tích : Trong chuyển động trên dòng nước cần lưu ý : 
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước 
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước
 - Giải : Gọi vận tốc riêng của ca nô là x ( km/h )
 	 Vận tốc dòng nước là y ( km/h ) ( x > y > 0 )
 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là : x + y ( km/h )
 Vận tốc ca nô khi ngược dòng là : x – y ( km/h )
Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km mất : 
 Ca nô ngược dòng 63 km mất : 
Ta có phương trình : (1)
Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km mất : 
	Ca nô ngược dòng 84 km mất : 
 Ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Đặt . Ta có:
(I)	 108a + 63b = 7	(II)
	 81a + 84b = 7
Giải hệ phương trình (II) ta được:
(t/m)
Vậy, vận tốc thực của ca nô là: 24 km/h
 	 Vận tốc dòng nước là 3 km/h.
Tóm lại: Với các bài toán minh họa trên giáo viên phần nào đã hình thành cho học sinh làm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình. Ở đây mới chỉ nêu cách giải đại diện cho các dạng phương trình bậc nhất, phương trình bậc 2; hệ phương trình.
Trong các bài toán chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệ giữa các đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian. Thông thường một trong ba đại lượng đó sẽ được chọn là ẩn số (với điều kiện tương ứng); Một đại lượng đã được xác định; ta phải biểu thị đại lượng còn lại theo ẩn và dựa vào mối liên hệ trong bài toán để lập phương trình (hệ phương trình).
Cần lưu ý trong toán chuyển động cũng có thể chia làm nhiều dạng nhỏ.
Nếu 2 chuyển động ngược chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu.
Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển động cùng nhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1).
Nếu chuyển động cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.
Nếu chuyển động trên đoạn đường không đổi từ A đến B rồi từ B về A biết tổng thời gian thực tế của chuyển động thì:
Tổng thời gian = thời gian đi + thời gian về.
Nếu là chuyển động trên dòng nước thì:
 Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
 Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng = 2 vận tốc dòng.
Thời gian dự định đi ban đầu + thời gian đến chậm =
Thời gian của chuyển động sau khi tăng tốc độ + thời gian đi với vận tốc ban đầu
 + thời gian nghỉ (nếu có).
II. DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HỌC.
Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng bình phương của hai số đó là 157.
- Phân tích: Bài toán có thể giải bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình theo bảng sau:
Cách
Quá trình
Số thứ nhất
Số thứ hai
PT (hệ pt)
1
Chưa bình phương
 Bình phương
x
x2
17 – x
(17 – x)2
x2 + (17 – x)2 
= 157
2
Chưa bình phương
 Bình phương
x
x2
y
y2
x + y = 17
x2 + y2 = 157
- Giải: Gọi số thứ nhất là x.
=> số thứ 2 là 17 – x.
Tổng bình phương của hai số là 157. Ta có phương trình:
	x2 + (17 – x)2 = 157.
 ó x2 – 17x + 66 = 0 
t/m
	x1 = 11
	x2 = 6 
Số thứ nhất là 11 thì số thứ 2 là 17 – 11 = 6
Số thứ hai là 6 thì số thứ 2 là 17 – 6 = 11.
Vậy, Hai số phải tìm là 6 và 11.
Bài toán 2: Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng 2 chữ số của nó là 9 và nếu viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì được số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị.
- Phân tích: Với số có hai chữ số: 	
 	Với số có ba chữ số: 
Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số có hai chữ số thì số đó trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục của số ban đầu là chữ số hàng trăm của số mới, chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là chữ số hàng đơn vị của số mới.
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x Î N, 0<x9).
=> Chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là 9 – x.
Số ban đầu là 10x + (9 – x) = 9x + 9.
Khi viết thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số thì số mới là:
100x + 90 + (9 – x) = 99x + 9
Số mới lớn hơn số ban đầu 360 đơn vị. Ta có phương trình:
(99x + 99) – (9x + 9) = 360
90x = 270.
x = 3 (t/m đk).
Chữ số hàng chục là 3
Chữ số hàng đơn vị là 9 – 3 = 6
Vậy số cần tìm là 36.
Bài toán 3: Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích 2 chữ số đó sẽ được một chữ số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
- Phân tích: Chú ý sử dụng 
Ngoài ra cần chú ý khi viết số đó theo thứ tự ngược lại thì vai trò của chữ số hàng chục và hàng đơn vị sẽ được hoán đổi cho nhau:
- Giải: Gọi chữ số hàng chục của số ban đầu là x ( x Î N, 0<x9).
	Gọi chữ số hàng đơn vị của số ban đầu là y ( y Î N, 0<y9).
Theo đầu bài ra ta có:
Từ (1) => . Thế vào (2).
+ Với y = 4 => (thỏa mãn)
+ Với y = 5 => (loại).
Vậy, số cần tìm là: 54.
Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ giữa các số đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dưới dạng chính tắc của nó:
Khi đổi chỗ các vị trí các chữ số thay đổi thì giá trị của mỗi chữ số cũng có sự thay đổi tương ứng với vị trí mới. Ngoài ra cần chú ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.
III . DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG
( Tỷ số phần trăm )
Bài toán 1 : Trong 2 tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ 1 đạt vượt mức 10%, tổ 2 đạt vượt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất được 448 chi tiết máy . Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
 - Phân tích : 
+ Đã biết năng suất chung cả 2 tổ trong tháng đầu được 400 chi tiết máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính được tổ kia ( chọn ẩn )
+ Gỉa sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính được tổng chi tiết máy sản xuất trong tháng sau.
+ Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phương trình.
 - Giải : 
Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu 
 (x Î Z, 0 < x < 400 )
 Như vậy tổ 2 sản xuất được 400 – x ( chi tiết máy )
 Tháng sau tổ 1 đã làm vượt mức 10%x ( chi tiết máy )
 tổ 2 đã làm vượt mức (400 – x ).15% ( chi tiết máy )
 Do đó cả 2 tổ đã vượt được : 448 – 400 = 48 ( chi tiết máy )
Theo bài ra ta có phương trình : 10%.x + ( 400 – x ).15% = 48
	 x = 240 ( t/m điều kiện )
Vậy : Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 
 400 – 240 = 160 chi tiết máy
Cách 2 : Gọi số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là x 
 số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là y 
 (x Î Z , 0 < x < 400 , y Î Z , 0 < y < 400 ) 
Ta có : x + y = 400 (1)
Trong tháng sau tổ 1 làm vượt mức 10%.x chi tiết máy 
 tổ 2 làm vượt mức 15%.y chi tiết máy 
Ta có phương trình : 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 400 (1)
 10%.x + 15%.y = 48 (2)
Giải hệ phương trình ta có x = 240 ; y = 160 ( t/m điều kiện )
 Vậy, số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất được trong tháng đầu là: 240 chi tiết 
 số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là : 160 chi tiết 
Bài toán 2 : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trước kia là 2% với số dân đầu năm 2002 là 2 triệu dân. Do tỷ lệ tăng dân số ở đây đã giảm đi chỉ còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm đi 1000 người so với số đạt được với tỷ lệ 2% ở vùng nông thôn , nên số dân đầu năm 2003 của tỉnh đó là 2038400 người. Tính số dân ở vùng thành thị của tỉnh đó vào đầu năm 2003.
 - Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn của tỉnh đó đầu năm 2002 lần lượt là x ; y ( triệu dân ) ( x > 0 ; y > 0 )
Ta có : x + y = 2 (1)
Số dân tăng ở vùng thành thị là : 1,8%.x ( triệu dân )
Số dân tăng ở vùng nông thôn là : 2%.y – 0,001 ( triệu dân )
Số dân tăng của tỉnh là : 2,0384 – 2 = 0,0384 ( triệu dân )
Ta có phương trình : 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 2 (1)
 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2) 
Giải hệ ta được x= 0,3 ; y = 1,7 ( t/m diều kiện )
Số dân đầu năm 2002 của tỉnh đó ở vùng thành thị là 300000 người
Số dân tăng là : 1,8%.300000 = 5400 ( người )
Vậy: số dân tỉnh đó ở vùng thành thị đầu năm 2003 là :
 300000 +5400 = 305400 (người)
Tóm lại : Với loại toán này học sinh phải xác định tỷ lệ tăng năng suất lao động 
( tăng dân số ,  )so với mốc ban đầu từ đố lập phương trình.
 IV . DẠNG TOÁN VỀ CÔNG VIỆC LÀM CHUNG , LÀM RIÊNG
( Toán quy về đơn vị )
Bài toán 1 : Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước thì sau h bể đầy. Mỗi giờ lượng nước vòi 1 chảy được bằng lượng nước vòi 2 chảy được . Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
 - Phân tích : Trong loại toán này cần lưu ý thời gian để vòi chảy đầy bể và phần bể mà vòi chảy trong 1 giờ là hai đại lượng nghịch đảo nhau.
- Giải : 
Cách 1 : Gọi thời gian để vòi 2 chảy một mình đầy bể là x (h) ( x > )
 Trong một giờ vòi 2 chảy được ( bể )
 Trong 1 giờ vòi 2 chảy được (bể )
Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được ( bể ) .
Do cả hai vòi cùng chảy thì sau h bể đầy ; ta có phương trình : 
 x = 12 (t/m điều kiện )
Vậy : Vòi 2 chảy một mình thì sau 12 h đầy bể.
 Một giờ vòi 1 chảy được : ( bể )
Vòi 1 chảy 1 mình thì sau 8 h sẽ đầy bể.
Cách 2 : Gọi thời gian để vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h)
 Gọi thời gian để vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (h) ( x;y > )
 Một giờ vòi 1 chảy được ( bể )
 Một giờ vòi 2 chảy được ( bể ) 
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 
Giải hệ trên ta được x = 8 ; y = 12 ( t/m điều kiện )
Vậy, Thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là : 8 h
 Thời gian để vòi 2 chảy một mình đầy bể là : 12 h 
Bài toán 2 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày và đội thứ 2 làm 6 ngày thì được 25% công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
- Giải : Gọi thời gian để đội 1 làm một mình xong công việc là x ( ngày )
 Gọi thời gian để đội 2 làm một mình xong công việc là y ( ngày )
	( x > 16 ; y > 16 )
Một ngày đội 1 làm được ( công việc )
Một ngày đội 2 làm được ( công việc )
Do 2 đội cùng làm trong 16 ngày xong công việc nên ta có phương trình :
( + ).16 = 1 (1)
Đội 1 làm 1 mình trong 3 ngày được : ( công việc )
Đội 2 làm 1 mình trong 6 ngày được : ( công việc )
Khi đó 2 đội làm được 25% ( = )công việc; ta có phương trình : (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : ( + ).16 = 1 (1)
	 (2)
Giải hệ phương trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m điều kiện )
Vậy đội 1 làm một mình thì sau 24 ngày sẽ hoàn thành công việc 
Vậy đội 2 làm một mình thì sau 48 ngày sẽ hoàn thành công việc.
Tóm lại : Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ được quan hệ giữa thời gian và năng suất làm việc : Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ ) thì trong 1 ngày ( giờ ) làm được công việc .
V . DẠNG TOÁN VỀ TỶ LỆ CHIA PHẦN
( Thêm , bớt , tăng , giảm , tổng , hiệu , tỷ số của chúng )
Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 tấn hàng. Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe.
- Phân tích : Có thể minh họa bài toán bằng bảng sau :
Số xe
Số hàng ( tấn )
Số hàng 1 xe chở ( tấn )
Dự định
x
12
Thực tế
x – 2
12
 - Giải : Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe ) ( x Î N ; x > 2 )
 Theo dự định mỗi xe phải chở : ( tấn hàng )
Số xe trên thực tế là : x – 2 ( xe ) 
Khi đó mỗi xe phải chở : ( tấn hàng )
 Theo bài ra ta có phương trình : - =16
 x2 – 2x – 15 = 0 x1 = - 3 ( loại )
	x2 = 5 ( t/m điều kiện )
Vậy đội xe lúc đầu có 5 xe.
VI . DẠNG TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC
Bài toán 1 : Cho một tam giác vuông , nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm ; 3 cm ; thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 50 cm2 . Nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 2cm
thì diện tích tam giác giảm 32 cm2. Tính các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
 - Phân tích : Cần lưu ý rằng dù các cạnh thay đổi thì diện tích của tam giác vuông luôn bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.
 - Giải : Gọi 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là x ; y (cm) ( x > 2 ; y > 2 )
 Diện tích của tam giác lúc đầu là ( cm2 )
Khi tăng các cạnh góc vuông của tam giác vuông lên 2 cm; 3cm thì diện tích tam giác là (cm2)
Ta có phương trình : - =50 (1)
Khi giảm các cạnh góc vuông của tam giác vuông đi 2 cm thì diện tích tam giác là (cm2)
Ta có phương trình : - = 32 (2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
 	 - =50 (1)
 	- = 32 (2)
 3x + 2y = 94
 x + y = 34
 Giải hệ ta được x = 26 ; y = 8 ( t/m điều kiện )
 Vậy : các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 26 cm và 8 cm.
Bài toán 2 : Cho tam giác vuông ABC ( = 900 )có các cạnh AB = 8 cm ; AC = 6 cm. M là một điểm trên AB . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC , BC chúng lần lượt cắt BC , AC ở P và Q . Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD bằng diện tích tam giác ABC.
 - Phân tích : 
 Chú ý : SABC = AB.AC	 
	 SMNCP = AM.NC
 - Giải : 
 Gọi độ dài AM là x (cm) ( 0 < x < 8 ) 
 Áp dụng định lý Ta lét trong tam giác ABC 
với MN // BC ta có :
NC = AC – AN = 6 - (cm)
SMNCP =AM.NC = x.(6 - ) (cm2)
SABC = AB.AC = .6.8 = 24 (cm2)
Theo bài ra ta có phương trình : x.(6 - ) = .24 x2 – 8x + 12 = 0
 x1 = 2 ; x2 = 6 ( t/m điều kiện )
Vậy : Điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.
 Tóm lại : ở loại toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ được các tính chất của các hình vào bài toán. Nếu có thể tốt nhất nên cho học sinh vẽ hình minh họa rồi dựa trên hình vẽ để phân tích các dữ kiện mà đầu bài cho.
VII . DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VẬT LÍ ; HÓA HỌC
Bài toán 1 : Dùng 2 nhiệt lượng , mỗi nhiệt lượng bằng 168 KJ để đun nóng 2 khối nước kém nhau 1 kg , thì khối nước nhỏ có nhiệt độ lớn hơn khối nước lớn 20C. Tính xem khối nước nhỏ được đun nóng thêm mấy độ.
 - Phân tích : Cần cho học sinh hiểu kĩ về kiến thức vật lí đã học. Ở đây cần sử dụng công thức tính nhiệt lượng Q = Cm.( t2 – t1 ) ; trong đó t2 – t1 là nhiệt độ được tăng thêm.
 => m = 
Cần nhớ : nhiệt dung riêng của nước là C = 4,2 KJ / kg.độ
 - Giải : Gỉa sử khối nước nhỏ được đun nóng thêm x độ ( x > 0 ) 
Như vậy khối lượng của khối nước nhỏ là : m = = 
Vì khối nước lớn được đun nóng kém hơn khối nước nhỏ là 20C nên khối lượng của khối nước lớn là : 
Vì hai khối nước kém nhau 1 kg nên ta có phương trình : + 1 = 
Giải phương trình ta được x1 = 10 ( t/m điều kiện )
 	x2 = - 8 ( loại )
Vậy :khối nước nhỏ được đun nóng thêm 100C.
 Bài toán 2 :Có 2 loại dung dịch cùng chứa một loại a xít : loại 1 chứa 30% a xít, loại 2 chứa 5% a xít . Muốn có 50 g dung dịch a xít 10% cần pha trộn lẫn bao nhiêu g mỗi loại.
 - Phân tích : Cần chú ý công thức C% = 
 - Giải : Gọi lượng dung dịch axit 30% cần đổ là x (g)
 lượng dung dịch axit 5% cần đổ là y(g) ( 0 < x < 50 ; 0 < y < 50 )
Ta có phương trình : x + y = 50 (1)
 Số g a xít nguyên chất có trong x g dung dịch a xít 30% là x.30% (g)
 Số g a xít nguyên chất có trong y g dung dịch a xít 5% là y.5% (g)
 Số g a xít nguyên chất có trong50 g dung dịch a xít 10% là 50.10% (g)
 Ta có phương trình : x.30% + y.5% = 50.10%
 30x +5y = 500 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : x + y = 50 (1)
 30x +5y = 500 (2) 
 Giải hệ phương trình ta được x = 10 ; y = 40 ( t/m điều kiện )
 Vậy : cần đổ 10 g dung dịch a xít 30% và 40 g dung dịch a xít 5%.
 Tóm lại : Trong loại toán có nội dung liên quan đến vật lí ; hóa học học sinh cần nắm vững các kiến thức vật lí ; hóa học có liên quan từ đó áp dụng để thiết lập các phương trình theo yêu cầu của bài.
VII . DẠNG TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ
Bài toán 1 : Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R2 với R là bán kính.
a, Khi R tăng 2 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
 Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm bao nhiêu lần.
b, Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.
 Khi S giảm 16 lần thì R tăng hay giảm bao nhiêu lần.
 - Phân tích : Trong bài toán học sinh phải xác định được mối tương quan tỷ lệ giữa độ dài bán kính và đường kính. Độ tăng của diện tích bằng bình phương độ tăng của bán kính và ngược lại.
 - Giải : Gọi R = a thì S = 3,14. a2
a, Nếu R tăng 2 lần thì R1 = 2R = 2a
 => S1 = 3,14. (2a)2 = 4.3,14.a2 = 4.S => Diện tích tăng 4 lần
 Tương tự : nếu R giảm 3 lần thì diện tích giảm 9 lần.
b, Nếu S giảm 16 lần thì 	S1 = S => 3,14.R12 =.3.14.R2 =>R12 =.R2
 => R1 = .R
 Vậy, bán kính giảm 4 lần.
 Tương tự : nếu S tăng 4 lần thì R tăng 2 lần.
Bài toán 2 : Một ô tô đi từ A đến B . Cùng lúc đó ô tô thứ 2 đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc của ô tô thứ nhất. Sau 5 h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu.
 - Phân tích : Khi 2 ô tô gặp nhau thì tổng quãng đường mà chúng đi được = quãng đường AB.
 Trong bài toán quãng đường AB chưa biết; ta có thể coi AB là tham số và tìm cách biểu diễn các đại lượng còn lại trong bài theo AB.
 - Giải : Gọi thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là x (h) ( x > 5 )
 Ta có : vận tốc ô tô thứ nhất là 
 vận tốc ô tô thứ hai là (km/h)
 Mỗi giờ ô tô đi được 
Sau 5 h hai ô tô gặp nhau , ta có phương trình : 5. = AB 
 5. = 1 x = (t/m điều kiện )
Vậy thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là h
 Vận tốc ô tô thứ 2 là 
Thời gian ô tô thứ 2 đi hết quãng đường AB là AB : 
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 
Kiểm tra 20 bài làm của học sinh nhận được theo cách cũ kết quả như sau:
Điểm 0 – 1 – 2
Điểm 3 – 4
Điểm 5 – 6
Điểm 7 – 8
Điểm 9 - 10
1
6
8
5
0
5%
30%
40%
25%
0%
Kiểm tra 20 bài làm của học sinh nhận được theo cách mới kết quả như sau:
Điểm 0 – 1 – 2
Điểm 3 – 4
Điểm 5 – 6
Điểm 7 – 8
Điểm 9 - 10
0
3
7
7
3
0%
15%
35%
35%
15%
Như vậy, ta thấy dẫn dắt học sinh theo các giai đoạn của việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, học sinh nắm bài chắc hơn và biết cách phân tích bài toán để lập phương trình theo các điều kiện của bài toán đã cho. Vậy, việc áp dụng đề tài này là hoàn toàn khả thi.
PhÇn III: kÕt luËn 
 Trên đây là một số dạng toán thường gặp ở chương trình THCS lớp 9. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia thành các dạng nhỏ cho mỗi dạng . Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại , nhưng đều chung cơ sở là các bước giải cơ bản của “ Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình “.
 Mỗi dạng , tôi đều chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu và hướng dẫn các em việc xây dựng phương trình theo 3 loại :
Bài toán đưa về phương trình bậc nhất một ẩn.
Bài toán đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
Bài toán đưa về hệ phương trình 
 Đó là các loại phương trình ( hệ phương trình ) đã được học và làm quen với cách giải ở THCS.
 Với những ví dụ ở trên tôi không có ý thiên về hướng dẫn các em cách giải các phương trình ; hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý cho các em xây dựng được phương trình ; hệ phương trình từ các bài toán thực tế để từ đó giúp các em dễ dàng hơn trong việc nhận dạng và rèn tư duy cho học sinh để các em giải tốt các bài toán thực tế bằng cách lập phương trình; hệ phương trình.
Qua thực nghiệm tôi thấy đề tài này đã có tác dụng tốt và hiệu quả cao trong việc giảng dạy và học tập của học sinh trong trường THCS.
 Dựa vào hệ thống các bài tập đại diện cho mỗi dạng toán, kết hợp với tài liệu tham khảo và sự nỗ lực phấn đấu học hỏi của mỗi người chắc chắn sẽ giúp ích cho người dạy phần giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 9 THCS để phát huy tính sáng tạo, độc lập suy nghĩ và tư duy của học sinh nhất là các em khá giỏi.
 	Trong quá trình viết đề tài ,do điều kiện về thời gian và năng lực còn hạn chế rất mong được sự đóng góp chỉ bảo của các thầy cô giáo, các cấp quản lý giáo dục và các bạn đồng nghiệp để làm kinh nghiệm quý báu cho bản thân trong công tác giảng dạy, để đề tài này ngày càng hoàn thiện hơn, được áp dụng rộng rãi và có hiệu quả cao hơn nữa.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 Tên tài liệu 
 Chủ biên 
SGK Toán 9
Phan Đức Chính – Tôn Thân
SBT Toán 9
Phan Đức Chính – Tôn Thân
SGV Toán 9
Phan Đức Chính – Tôn Thân
Nâng cao và phát triển Toán 9
Vũ Hữu Bình
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9
Vũ Dương Thụy
Rèn luyện kỹ năng giải toán THCS
Lê Thống Nhất
Ôn luyện toán THCS
Hàn Liên Hải - Đào Ngọc Nam