Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS

Trong chương trình Toán THCS, phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức cơ bản quan trọng, nó là cơ sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức và phương pháp giải nhiều dạng toán trong chương trình môn Toán THCS và THPT như: Quy đồng mẫu thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chia hết, giải phương trình và bất phương trình, tìm nghiệm nguyên,tìm cực trị, . Do vậy kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề quan trọng, nếu nắm vững và thành thạo kĩ năng này thì học sinh mới có khả năng giải quyết được những dạng toán khác trong chương trình Đại số THCS và ở lớp trên, đặc biệt là đối tượng học sinh khá giỏi. Qua đó các em có thể tìm được nhiều lời giải khác nhau và lời giải hay cho một bài toán. Tuy nhiên trong chương trình Đại số 8 mới chỉ giới thiệu một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản, do đó chưa đáp ứng được việc học kiến thức nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán.

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất đa dạng nhưng việc vận dụng các phương pháp vào giải bài tập thì lại không theo một khuôn mẫu và trình tự nhất định mà phụ thuộc chủ yếu vào sự linh hoạt sáng tạo của học sinh. Nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững đặc điểm, yêu cầu của từng phương pháp kết hợp với khả năng quan sát, phán đoán và tư duy linh hoạt để tìm ra phương pháp giải hợp lí nhất. Vì vậy trong đề tài này tôi cố gắng trình bày cụ thể từng phương pháp với các nội dung: Đặc điểm, yêu cầu, phương pháp, các ví dụ và các vấn đề cần chú ý đối với từng phương pháp.

 

doc29 trang | Chia sẻ: sangkien | Ngày: 25/12/2015 | Lượt xem: 893 | Lượt tải: 35Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán ở THCS", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ớc 2: Phân tích a.c thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách
Bước 3: Chọn hai thừa số b1, b2 sao cho b = b1+ b2 và b1b2= ac .
Khi đó ax2+bx+c = ax2+b1x+b2x+ c
Tiếp theo ta sử dụng phương nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để phân tích.
d) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: x2+5x+6
= x2 + (3+2)x + 3.2
= (x2+3x)+(2x+3.2)
=x(x+3)+2(x+3)
=(x+3)(x+2)
Ví dụ 2: x3+ 6x2+11x+ 6
= x3+(1+2+3)x2+ (1.2+2.3+1.3)x+ 1.2.3
= (x+1)(x+2)(x+3)
Hoặc tách x3+ 6x2+11x+ 6
= x3+ x2+ 5x2+ 5x+ 6x+ 6
= x2(x+1)+ 5x(x+1)+ 6(x+1)
= (x+1)(x2+5x+6)
= (x+1)(x+2)(x+3) (Sử dụng kết quả ví dụ 1)
Ví dụ 3: 3x2- 8x+ 4 (a=3; b=-8; c=4 )
 Ta có a.c = 3.4=12= (1)(12)= (2)( 6)= (3)( 4)
 Nhận thấy chỉ có (-6)+(-2)= -8 (b1=-6, b2=-2)
Vậy ta có: 3x2- 8x+ 4
= 3x2- 6x- 2x+ 4
= 3x(x-2)- 2(x-2) = (x-2)(3x-2)
e) Chú ý: Với các đa thức bậc ba trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0. Vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x= a thì dạng phân tích của nó có chứa (x- a).
Ta còn chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức, nếu có phải là ước của hệ số tự do.
Ví dụ 4: x3 - x2- 4
Ta có Ư(4) = {1; 2; 4}
Ta thấy f(2) = 23- 22- 4= 0
Vậy đa thức có nghiệm x= 2 do đó dạng phân tích có chứa (x- 2)
Ta tách các hạng tử như sau:
 x3 - x2- 4 = x3- 2x2+ x2- 2x+ 2x- 4 
 = x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2)
* Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta nên nhớ hai định lí sau:
ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì x=1 là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa x-1.
Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+8x-4 có 1+(-5)+8+(-4) = 0 nên dạng phân tích của đa thức có chứa x-1.
ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì x=-1 là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa x+1.
Chẳng hạn: Đa thức x3-5x+3x+9 có: 1+3 = -5+9 nên nên dạng phân tích của đa thức có chứa x+1.
* Nếu đa thức không có nghiệm nguyên thì có thể có nghiệm hữu tỉ. Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức phải có dạng: trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
Ví dụ 5: Xét đa thức 3x3-7x2+17x-5
	Ta có Ư(5) = {±1; ±5} không là nghiệm của đa thức, như vậy đa thức không có nghiệm nguyên. Tuy vậy đa thức có thể có thể có nghiệm Hữu tỉ.
	Vì Ư(5) = {±1; ±5} và Ư(3) = {1; 3}
	Xét các số ta thấy là một nghiệm của đa thức, do đó dạng phân tích của đa thức có chứa thừa số 3x-1. Vậy ta tách các hạng tử của đa thức như sau:
	3x3-7x2+17x-5 
= 3x3- x2- 6x2+ 2x + 15x – 5
	= x2(3x-1) – 2x(3x-1) + 5(3x-1) 
	= (3x-1)(x2-2x+5)
5. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng cho những đa thức bậc cao mà sau khi sắp xếp, có khuyết nhiều bậc trung gian và không áp dụng được các phương pháp đã nêu trên.
b) Phương pháp:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện dạng đủ của hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu và làm xuất hiện hiệu hai bình phương.
- Thêm bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện thừa số chung.
c) Ví dụ: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: a4+a2b2+b4
= a4+2 a2b2+b4- a2b2 (Thêm bớt a2b2)
= (a2+b2)2- a2b2
=(a2+b2+ab)( a2+b2-ab)
Ví dụ 2: x5+ x4+1
= x5+ x4+ x3- x3+1 (Thêm bớt x3)
= x3(x2+x+1) – (x-1)(x2+x+1)
= (x2+x+1)(x3-x+1)
Ví dụ 3: 4x4+ 81
= 4x4+ 36x2+ 81 – 36x2
= (2x2+ 9)2- (6x)2
= (2x2+ 9 +6x)(2x2+ 9- 6x)= (2x2+ 6x+ 9)(2x2- 6x+ 9)
d) Chú ý: Các đa thức có dạng như: x7+x2+1; x5+x+1; x7+x5+1; x+x8+1;... Đều chứa thừa số x2+x+1.
	Chứng minh: 
Ta có: x3m+1+x3n+2+1 = x3m+1- x + x3n+2-x2+x2+x+1
	 = x(x3m-1)+x2(x3n-1)+(x2+x+1)
Vì x3m-1 và x3n-1 đều chia hết cho x3-1, do đó chia hết cho x2+x+1
6. Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ):
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng khi phân tích các đa thức có dạng phức tạp (đa thức bậc cao chẵn, đa thức nhiều biến,) để việc biến đổi được đơn giản hơn.
b) Phương pháp: 
- Tìm sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức đã cho để chọn và đặt ẩn phụ thích hợp, đưa đa thức về dạng đã học rồi sử dụng các phương pháp phân tích cơ bản khác để biến đổi đa thức mới thành nhân tử. Cuối cùng thay trở lại biến ban đầu.
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10)+128
	 = [x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128 
	 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128
	Đặt x2+10x+12 = y, đa thức đã cho trở thành:
	 (y-12)(y+12)+128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y-4)(y+4)
	Thay trở lại ta được:
	 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)( x2+10x+8)
	 = (x+2)(x+8)( x2+10x+8)
* Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với biến x về đa thức bậc hai đối với biến y.
Ví dụ 2: 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+y2z2
	 = 4(x2+xy+xz)(x2+xy+xz+yz)+ y2z2
	Đặt x2+xy+xz = a, đa thức đã cho trở thành:
	 4a(a+yz)+y2z2 = 4a2 + 4ayz + y2z2 = (2a+yz)2
Thay trở lại ta được:
 4x(x+y+z)(x+y)(x+z)+ y2z2=(2x2+2xy+2xz+yz)2
d) Chú ý: Khi gặp các đa thức bậc chẵn có các hệ số đối xứng nhau qua hạng tử ở giữa ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 3: x4+6x3+7x2-6x+1
	Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của đa thức nên ta có:
	 x4+6x3+7x2-6x+1 = x2(x2+6x+7-)
	 = x2[(x2+)+6(x-)+7]
	Ta đặt ta được đa thức:
	 x2(y2+2+6y+7) = x2(y+3)2 = (xy+3x)2 = [()+3x]2 = (x2+3x-1)2
7. Phương pháp hệ số bất định:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng khi phân tích đa thức không có nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ.
b) Phương pháp:
- Cơ sở của phương pháp hệ số bất định là: Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức A(x) và B(x) đồng nhất với nhau. Tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà A(x) và B(x) luôn có giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.
	Cho A(x) = anxn+an-1xn-1+  +a1x+a0
	 B(x) = bnxn+bn-1xn-1+  +b1x+b0
	A(x) = B(X) Þ an=bn; an-1=bn-1; ; a1=b1; a0=b0
	Trên cơ sở bậc của đa thức đã cho ta xác định dạng phân tích của đa thức rồi viết 2 vế của đẳng thức dưới dạng hai đa thức đã sắp xếp, sau đó đồng nhất hệ số ở hai vế và giải các đẳng thức để xác định các hệ số chưa biết.
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
Ví dụ 1: x4- 6x3+12x2- 14x+3
	Ta có Ư(3) = {±1; ±3} không có số nào là nghiệm của đa thức và đa thức có bậc 4, do vậy nếu phân tích được thành nhân tử phải có dạng.
	 (x2+ax+b)(x2+cx+d) với a,b,c,d ÎZ
	Vậy ta có: x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2+ax+b)(x2+cx+d)
	Û x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(bc+ad)x+bd
	Đồng nhất hệ số ở hai vế ta có:
	Vì b,d ÎZ và bd = 3 suy ra b Î{±1; ±3}
	- Với b = 3 thì d = 1 thay vào (2) ta được a.c = 8
	Mà a + c = -6 (1) Þ a = -2; c = -4 thoả mãn hệ trên.
	Do đó đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
	 x4- 6x3+12x2- 14x+3 = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
Ta có thể trình bày lời giải ví dụ trên như sau:
	x4- 6x3+12x2- 14x+3 = x4-4x3+x2-2x3+8x2-2x+3x2-12x+3
= x2(x2-4x+1) - 2x(x2-4x+1) + 3(x2-4x+1) = (x2-2x+3)(x2-4x+1)
d) Chú ý:
+ Vì đa thức trên không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên dạng phân tích thành nhân tử phải là các đa thức có bậc chẵn.
+ Cần nhớ rằng không phải mọi đa thức đều có thể phân tích được thành nhân tử trên tập số thực. Những đa thức mà ta chỉ ra rằng nó luôn nhận các giá trị khác 0 với mọi giá trị của biến lấy trong tập R thì không thể phân tích được thành nhân tử trong tập hợp R.
+ Phương pháp hệ số bất định có thể áp dụng đối với mọi đa thức bậc 2 trở lên, tuy nhiên do phải biến đổi dài và phức tạp nên ta thường sử dụng các phương pháp khác.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x3-19x-30 thành nhân tử:
	Ta thấy đa thức trên có bậc 3 đối với biến x, nên nếu phân tích được thành nhân tử phải có dạng (x+a)(x2+bx+c).
	 Vậy ta có : x3-19x-30 = (x+a)( x2+bx+c)
	Û x3-19x-30 = x3+(a+b)x2+(ab+c)x+ac
	Đồng nhất hệ số ở hai vế ta có:
	Vì a;cÎZ và a.c = -30 Þ a; c Î {±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15’ ±30}
	Với a = 2 thì c = -15 Þ b = -2 thoả mãn hệ phương trình trên. Do vậy đa thức trên có dạng phân tích thành nhân tử như sau:
x3-19x-30 = (x+2)(x2-2x-15)
8. Phương pháp dùng phép chia đa thức:
a) Đặc điểm: Thường được áp dụng để phân tích các đa thức mà ta có thể nhẩm được nghiệm của nó.
b) Phương pháp: Là cách sử dụng đinh lí về phép chia hết của đa thức.
	Nếu A(x) B(x) thì A(x) = B(x).Q(x)
Trong đó Q(x) là thường của phép chia A(x) cho B(x)
	Đặc biệt A(x) x – a Û A(a) = 0
c) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: x4-2x3+x2-4
 Ta có Ư(4) = {±1; ±2; ±4}, nhẩm thấy x = -1 và x = 2 là nghiệm của đa thức
	Do đó trong dạng phân tích của đa thức có chứa các nhân tử là: (x+1) và (x-2).
	Chia đa thức x4-2x3+x2-4 cho x+1 ta được thương là : x3-3x2+4x-4
	Chia tiếp đa thức x3-3x2+4x-4 cho x-2 ta được thương là: x2-x+2
Đa thức x2-x+2 không có nghiệm trên R nên đa thức này không phân tích được tiếp. Vậy đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
 x4-2x3+x2-4 = (x+1)(x-2)( x2-x+2)
Ví dụ 2: 5x2+6xy+y2
	Ta thấy x = -y là một nghiệm của đa thức vì 5(-y)2+6(-y)y+y2=0
	Vậy dạng phân tích của đa thức có chứa nhân tử là x+y hay đa thức chia hết cho x+y.
	Chia đa thức 5x2+6xy+y2 cho x+y ta được thương là (5x+y)
	Vậy đa thức đã cho phân tích được thành nhân tử như sau:
	 5x2+6xy+y2 = (x+y)(5x+y)
9. Phương pháp xét giá trị riêng:
a) Đặc điểm: Được áp dụng cho những đa thức nhiều biến có tính chất: Nếu thay biến này bằng biến khác theo vòng tròn thì đa thức có giá trị không đổi (hay đa thức có thể hoán vị vòng quanh).
b) Phương pháp:
- Trước tiên ta xác định dạng của các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
c) Ví dụ: Phân tích các da thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y)
	Thử thay x = y vào đa thức A ta được: A = y2(y-z) + y2(z-y) = 0
	Như vậy dạng phân tích của đa thức A có chứa thừa số (x-y)
	Tương tự thay y = z và x = y vào đa thức A ta thấy A = 0 (không đổi)
	Ta nói đa thức A có thể hoán vị vòng quanh x®y®z®x
	Vậy vai trò của x, y, z như nhau. Cho nên A có chứa (x-y) thì cũng chứa (y-z) và (z-x).
	Do vậy đa thức A có dạng phân tích là : k(x-y)(y-z)(z-x)
	Dễ thấy k là hằng số vì đa thức A có bậc 3 đối với tập hợp các biến, mà tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến.
	Vậy ta có đẳng thức: 
 x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = k(x-y)(y-z)(z-x)	(*)
Đẳng thức trên đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị tuỳ ý. Chẳng hạn chọn x = 2, y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*) ta được:
	 4.1 +1.(-2)+ 0 = k.1.1.(-2) Þ k = -1
	Vậy đa thức A phân tích được thành nhân tử như sau:
	 A = x2(y-z) + y2(z-x) + z2(z-y) = - (x-y)(y-z)(z-x)
d) Chú ý: Các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý sao cho x ≠ y; y ≠ z; z ≠ x
để (x-y)(y-z)(z-x) ≠ 0
C. BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. BÀI TẬP
Bài 1: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp đặt nhân tử chung
	a) 3x2(y-2z) – 15x(y-2z)2
	b) y2(x2+y) – zx2 – zy
	c) 3x(x-2y) + 6y(2y-x)
	d) (a-b)2- (b-a)(a+b)
Bài 2: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
	a) 25x2+10x+1
	b) 9x2-24xy+16y2
	c) x4 – y4
	d) (a+b)3 – (a-b)3
Bài 3: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	a) 2xy+z+2x+yz
	b) x3+y3+2x2-2xy+2y2
	c) 12y – 9x2+36-3x2y
	d) x2-10x+25 – y2 – 4yz – 4z2
Bài 4: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp tách hạng tử
	a) x3-7x-6
	b) x2-x-12
	c) x2-10xy+9y2
	d) x3-x2-4
Bài 5: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	a) 4x4+81
	b) x3-x2-4
	c) 64x4+y4
	d) x3-7x-6
Bài 6: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp đổi biến
	a) (x2+x+1)(x2+x+2) – 12
	b) (x2+x)2- 2(x2+x) – 15
	c) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24
	d) (4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1) – 4
Bài 7: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp hệ số bất định
	a) x4+6x3+7x2+6x+1
	b) x3+4x2+5x+2
	c) 2x4+3x3-7x2+6x+8
	d) x3+2x2-2x-12
Bài 8: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp dùng phép chia đa thức
	a) x3-5x2+8x-4
	b) 5x4+9x3-2x2-4x-8
	c) x3-x2-4
	d) 3x3-7x2+17x-5
Bài 9: Phân tích các đa thức sau TNT bằng phương pháp xét giá trị riêng
	a) yz(y-z)+zx(z-x)+xy(x-y)
	b) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
	c) (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
	d) x2y+y2z+z2x+xy2+yz2+zx2+2xyz
I. HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
Bài 1:	a) = 3x(y-2z)(x-5y+2z)
	b) = (x2+y)(y2-z)
	c) = 3(x-2y)2 	(áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức)
	d) = 2a(a-b)	(áp dụng quy tắc đổi dấu đa thức)
Bài 2:a) = (5x-1)2
	b) = (3x-4y)2
	c) = (x2-y2)(x2+y2)
	d) = 2b(3a2+b)
Bài 3:a) = (y-1)(2x+z)
	b) = (x2-xy+y2)(x+y-2)
	c) = 3(y+3)(2-x)(2+x)
	d) = (x-5+y+2z)(x-5-y-2z)
Bài 4:a) Tách -7x = -x – 6x 	ta có đa thức:	(x+1)(x2-x-6)
	b) Tách –x = -4x+3x 	ta có đa thức:	(x-4)(x+3)
	c) Tách -10xy = -xy-9xy ta có đa thức:	(x-y)(x-9y)
	d) x3-x2-4 = x3-2x2+x2-2x+2x-4 =  = (x-2)(x2+x+2)
Bài 5:a) Thêm, bớt 36x2 ta có đa thức: (2x2+9+6x)(2x2+9-6x)
	b) Tách –x2 = -2x2+x2 và thêm, bớt 2x ta có đa thức: (x-2)(x2+x+2)
	c) Thêm, bớt 16x2y2 	ta có đa thức: 	(8x2+y2+4xy)(8x2+y2-4xy)
	d) Thêm, bớt x2 và tách -7x = -x – 6x ta có đa thức: (x-1)(x2-x-6)
Bài 6:a) Đặt x2+x+1 = y ta có đa thức:	y(y-1)-12 =  = (y-3)(y+4)
	b) Đặt x2+x = y 	 ta có đa thức: 	y2-2y-15 =  = (y+3)(y-5)
	c) Đặt x2+7x+11 = y ta có đa thức: (y-1)(y+1) – 24 =  = (y-5)(y+5)
	d) Đặt 12x2+11x – 1 = y ta có đa thức: y(y+3) -4 =  = (y-1)(y+4)
Bài 7:a) = (x2+x+1)(x2+5x+1)
	b) = (x+1)2(x+2)
	c) = (x+2)(x-1)(2x2-x-4)
	d) = (x-2)(x2+4x+6)
Bài 8:a) = (x-1)(x-2)2
	b) = (x-1)(x+2)(5x2+4x+4)
	c) = (x-2)(x2+x+2)
	d) Đa thức không có nghiệm nguyên nhưng có nghiệm hữu tỉ là 1/3, do đó dạng phân tích có chứa 3x-1
	 = (3x-1)(x2+x+2)
Bài 9:a) = -(x-y)(y-z)(z-x)
	b) = 3(x-y)(y-z)(z-x)
	c) = 3(x+y)(y+z)(z+x)
	d) = (x+y)(y+z)(z+x)
D. BÀI SOẠN THỂ NGHIỆM
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
 Tiết 12
I. MỤC TIÊU 	
- HS biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học vào việc phân tích các đa thức thành nhân tử.
- Rèn luyện kỹ năng quan sát, phân tích, tư duy của HS qua giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS
- GV: Máy chiếu, Máy vi tính 
- HS : Bảng nhóm, bút dạ. Ôn lại các phương pháp PTĐTTNT đã học
III. CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC 
Hoạt động của thầy
Hoạt động của trò
HĐ 1: Kiểm tra bài cũ (8 ph)
- GV gọi 2 HS lên bảng
1. Nêu các phương pháp PTĐTTNT đã học
 áp dụng chữa bài 50b SGK
2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 a) x2-xy+x-y
 b) x2+4x-y2+4
- GV gọi HS nhận xét bài làm của các bạn
- GV đánh giá cho điểm HS
- HS1: Nêu 3 PPPTĐTTNT: Đặt nhân tử chung, dùng HĐT, nhóm nhiều hạng tử.
 - Chữa bài 50b SGK
Đáp số: x = 1; x = 
- HS2: Lên bảng làm bài, HS dướ lớp cùng làm vào vở nháp.
a) = (x2-xy)+(x-y) = x(x-y)+(x-y)
 = (x-y)(x+1)
b) = (x2+4x+4)-y2 = (x+2)2-y2
 = (x+2+y)(x+2-y)
- HS nhận xét bài làm của bạn
HĐ 2: Ví dụ (15 ph)
- Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
+ Ví dụ 1: 5x3+10x2+5xy
? Các em có nhận xét gì về các hạng tử của đa thức trên?. Ta có thể sử dụng phương pháp nào đã học để phân tích đa thức trên thành nhân tử?
? Ta dừng lời giải tại đây có được không? Vì sao?
- HS: Vì cả 3 hạng tử đều chứa 5x nên ta có thể dùng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích
= 5x(x2+2xy+y2) (đặt nhân tử chung)
- HS: Đa thức trong ngoặc còn phân tích tiếp được vì có dạng HĐT bình phương của một tổng
? Vậy để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử ta đã sử dụng các phương pháp nào đã học?
+ Ví dụ 2: x2-2xy+y2-9
? Hãy nêu nhận xét về đa thức và cách phân tích đa thức trên?
- GV nêu chú ý: Khi phân tích một đa thức thành nhân tử ta nên theo một trình tự sau:
 + Đặt nhân tử chung nếu các hạng tử có nhân tử chung
 + Dùng P2 hằng đẳng thức nếu có thể.
 + Nhóm các hạng tử một cách thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
+ Làm ?1: Phân tích đa thức: 
 2x3y-2xy3-4xy2-2xy thành nhân tử.
- GV gọi 1 HS lên bảng trình bày lời giải (nêu rõ sử dụng P2 nào)
= 5x(x+y)2 (Hằng đẳng thức)
- HS: Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung và dùng HĐT
- HS: Nhận xét về đa thức và nêu lời giải
= (x2-2xy+y2)-9 (Nhóm các hạng tử)
= (x-y)2-33 
= (x-y+3)(x-y-3) (Hằng đẳng thức)
- HS nghe hiểu và ghi bài
- Một HS lên bảng làm ?1. HS dưới lớp cùng làm vào vở
= 2xy(x2-y2-2y-1)(đặt nhân tử chung)
= 2xy[x2-(y2+2y+1)] (Nhóm hạng tử)
= 2xy(x+y+1)(x+y-1) (Dùng HĐT)
HĐ 3: Áp dụng (10 ph)
- GV cho HS hoạt động nhóm (4HS) làm ?2 SGK ra bảng nhóm (gv đưa đề bài lên màn hình cho HS làm bài)
- GV yêu cầu các nhóm treo bảng của nhóm mình theo vị trí quy định
- GV gọi HS nhận xét bài làm của các nhóm
- GV nhận xét bài làm của các nhóm, chữa lỗi sai của các nhóm, tuyên dương nhóm làm tốt.
- HS hoạt động nhóm trình bày lời giải ?2 ra bảng nhóm trong 3 phút.
a) x2+2x+1-y2 = (x+1)2-y2
 = (x+1+y)(x+1-y)
 Thay x = 94,5; y = 4,5 ta được:
 (94,5+1+4,5)(94,5+1-4,5)
 = 100.91=9100
b) Bạn Việt đã sử dụng các P2: 
- Nhóm các hạng tử
- Dùng hằng đẳng thức
- Đặt nhân tử chung
HĐ 4: Luyện tập (15 ph)
+ Làm bài 51a,b SGK
- GV gọi HS lên bảng làm bài
- 2 HS lên bảng làm bài, HS dưới lớp cùng làm vào vở
ĐS a) = x(x-1)2
+ Làm bài 53 SGK
a) Phân tích đa thức x2-3x+2 thành nhân tử
? Có thể áp dụng P2 phân tích nào ? Vì sao?
- GV gợi ý cách tách một hạng tử để có thể phân tích đa thức đã cho thành nhân tử
 Cách1: Tách -3x = -x - 2x
 Cách2: Tách 2 = -4 + 6
 b) = 2(x+1+y)(x-1+9)
- HS đọc đề bài
- HS: Không thể áp dụng ngay một trong các phương pháp đã học.
- HS sử dụng phương pháp tách một số mà GV hướng dẫn để làm bài
Cách1 = (x2-x) – (2x-2)
 = x(x-1) – 2(x-1)
 = (x-1)(x-2)
Cách2 = (x2-4) – (3x-6)
 = (x+2)(x-2) – 3(x-2)
 = (x-2)(x+2-3)
 = (x-2)(x-1)
HĐ 5: Hướng dẫn về nhà (2 ph)
- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học
- Nghiên cứu kỹ lời giải bài 53 SGK (phương pháp tách một hạng tử)
- Làm bài 51c; 52; 54 SGK
PHẦN III : KẾT LUẬN
	Qua việc nghiên cứu và thực tiễn giảng dạy. Khi viết đề tài này tôi nhận thấy việc giảng dạy cho HS biết các kiến thức cơ bản và nâng cao về đa thức, đặc biệt là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có một ý nghĩa rất quan trọng đối với HS. Bởi vì nhờ đó mà HS tìm được lời giải cho nhiều dạng toán trong chương trình Toán THCS và cả ở THPT.
	Trong quá trình giảng dạy tôi đã kết hợp truyền đạt cho các em HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã trình bày trong đề tài. Tuy các em có thể chưa hiểu rõ được bản chất của một số phương pháp, nhưng với cách trình bày cụ thể đối với từng phương pháp đã giúp các em có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử mới mức độ tốt hơn. Các em đã biết vận dụng các phương pháp PTĐTTNT vào việc giải các dạng toán thường gặp như: Quy đồng mẫu thức các phân thức, chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức, rút gọn biểu thức, chứng minh chia hết, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, các bài toán tìm cự trị, tìm nghiệm nguyên, 
	Vấn đề đặt ra là cần truyền đạt cho HS đại trà các kiến thức trên ở mức độ nào, điều này còn phụ thuộc vào điều kiện và trình độ nhận thức của HS. Do đó GV cần biết kết hợp giới thiệu các phương pháp PTĐTTNT đặc biệt trong các giờ học cho hợp lý để có thể nâng cao được kiến thức cho HS vừa làm cho HS có hứng thú tìm tòi phương pháp giải mới. Tuy nhiên đối với đối tượng HS giỏi môn Toán hoặc với lớp chất lượng cao thì GV nên truyền đạt được cho các em các phương pháp PTĐTTNT nêu trên. Như vậy chắc chắn sẽ giúp các em có vốn kiến thức quan trọng để giải được nhiều dạng toán trong chương trình phổ thông.
Eapô, ngày 15 tháng 11 năm 2007
 Người viết
Lương Quốc Phương
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Đại số 8 - Sách giáo viên Đại số 
2. Ôn tập và kiểm tra Đại số 8 (Vũ Hữu Bình - Tôn Thân)
3. Toán nâng cao và chuyên đề Đại số 8 (Nguyễn Ngọc Đạm - 
 Nguyễn Việt Hải - Vũ Dương Thuỵ).
4. Một số vấn đề phát triển Đại số 8 ( Vũ Hữu Bình)
5. 23 chuyên đề về bài toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng - 
 Nguyễn Văn Vĩnh).
6. Giáo trình thực hành &giải toán (Đặng Đình Lăng - 
 Nguyễn Hữu Túc).
PHẦN ĐÁNH GIÁ
BAN XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TRƯỜNG THCS PHẠM HỒNG THÁI
BAN XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
PHÒNG GD&ĐT HUYÊN CƯ JUT

File đính kèm:

  • dockinh_nghiem_pp_phan_tich_da_thuc_thanh_nhan_tu.doc