Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc ở lớp 7

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

 - Bộ môn hình học không chỉ cung cấp những kiến thức về quan hệ hình học vốn có xung quanh ta mà nó còn dạy ta cách suy nghĩ sáng tạo và hợp lô gíc.

- Có một thực tế, sau khi học xong chương trình hình học, nhiều học sinh chưa tự hệ thống hoặc hệ thống được rất ít các phương pháp chứng minh các quan hệ hình học. Do đó trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần giúp các em hệ thống được các phương pháp chứng minh các quan hệ hình học ngay từ lớp 7 và có thói quen tự hệ thống được phương pháp chứng minh quan hệ hình học sau một bài lý thuyết.

 

doc14 trang | Chia sẻ: binhthang88 | Ngày: 20/11/2017 | Lượt xem: 500 | Lượt tải: 27Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc ở lớp 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
 Phửụng phaựp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
 - Bộ môn hình học không chỉ cung cấp những kiến thức về quan hệ hình học vốn có xung quanh ta mà nó còn dạy ta cách suy nghĩ sáng tạo và hợp lô gíc.
- Có một thực tế, sau khi học xong chương trình hình học, nhiều học sinh chưa tự hệ thống hoặc hệ thống được rất ít các phương pháp chứng minh các quan hệ hình học. Do đó trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần giúp các em hệ thống được các phương pháp chứng minh các quan hệ hình học ngay từ lớp 7 và có thói quen tự hệ thống được phương pháp chứng minh quan hệ hình học sau một bài lý thuyết.
- Việc nắm vững các phương pháp chứng minh quan hệ hình học không chỉ giúp các em có kỹ năng giải toán hình tốt mà còn giúp các em có kinh nghiệm vận dụng một cách linh hoạt,sáng tạo các kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống, đồng thời nâng cao dần khả năng tư duy của mình.
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc là một mảng kiến thức và những kỹ năng cơ bản trong chương trình Toán phổ thông. Học sinh cần phải có kỹ năng thành thạo trong việc dự đoán, phân tích ,chứng minh các đường thẳng vuông góc trong hình học phẳng.Tạo tiền đề vững chắc cho học sinh hiểu và nắm vững đường thẳng vuông góc trong không gian.
- Nắm vững các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc góp phần phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh khi giải quyết các tình huống đặt ra ,biết lựa chọn cách giải quyết tình huống phù hợp và biết lựa chọn phương án tối ưu cho từng tình huống.
Xuất phát từ những lý do và mục đích trên tôi đã chọn làm sáng kiến “Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc ở lớp 7” và thời gian thực hiện trong năm học 2007 – 2008.
B: Nội dung
I – Phần chung
1)Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc
Hai ủửụứng thaỳng xx’ vaứ yy’ caột nhau và trong các goực tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc và được kí hiệu là xx’ yy’
2)Caực daỏu hieọu nhaọn bieỏt hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực:
- Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc vuông.
- Hai tia phaõn giaực cuỷa hai goực keà bù tạo thành một góc vuông.
- Đửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi moọt trong hai ủửụứng thaỳng song song thỡ vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng kia.
- Sử dụng định nghĩa đường cao của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng.
- Sử dụng định lí Pi – Ta – Go đảo
I – Phần cụ thể
1.Phửụng phaựp 1:Lụùi duùng 2 goực keà buứ baống nhau.
 Vớ duù 1: Cho tam giaực ABC coự AB=AC.Goùi M trung ủieồm cuỷa BC .Chửựng minh AM BC.
 Phaõn tớch: ẹeồ chửựng minh AM BC thỡ phaỷi coự ==900.
 Do vaứ laứ hai goực keà buứ neõn neỏu chuựng baống nhau thỡ moói goực baống 900.
-Ta deó daứng c/m ủửụùc = baống caựch c/mứ AMB= AMC.
Caực bửụực chửựng minh:
 * AMB= AM(c.c.c)
 * 	=(hai goực tửụng ửựng)
 * +=180 0 neõn ==900.
Hạn chế của phương pháp: Phương pháp 1 chỉ sử dụng chủ yếu trong học kỳ I của lớp 7, vì sau khi được cung cấp thêm các kiến thức mới, các em có thể sử dụng các phương pháp khác để giải quyết bài toán nhanh hơn.
Bài tập vận dụng: Cho góc xoy, gọi oz là tia phân giác của góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB với tia Oz. Chứng minh OK AB.
 2- Phửụng phaựp 2:Vaọn duùng hai goực keà phuù nhau
Vớ duù 2:Cho tam giaực ủeàuABC. Treõn tia ủoỏi cuỷa tia CB laỏy ủieồm M sao cho CM = CB. Chửựng minh AM vuoõng goực vụựi AB.
Caựch 1:
 Phaõn tớch:- Neỏu =900 thỡ AB AM
 - Do ABC ủeàu neõn=600, neỏu =300 thỡ +=900.
 - Coự theồ tớnh theo soỏ ủo cuỷa ủửụùc khoõng? Sosaựnhvụựi baống caựch naứo?
- Hửụựng daón chửựng minh
*Tam giaực CAM caõn taùi C neõn: ==:2(vỡ laứ goực ngoaứi cuỷa tam giaực ACM)
 suy ra: ===300
* Hai goực vaứ keà nhau vaứ coự toồng baống 900 =900
 AB AM
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho ABC đều. Trên cạnh AB lấy điểm B sao cho AD = 1/3 AB. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC ở E. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC ở F. Chứng minh DF vuông góc với BC.
Bài 2: Cho ABC. Kẻ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB. Trên tia đối của tia BD lấy điểm M sao cho BM = AC. Trên tia đối cuả tia CE lấy điểm N sao cho CN = AB. Chứng minh AM vuông góc với AN.
Bài 3: Cho ABC có góc A bằng 750, góc B bằng 600. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho góc CBx bằng 150. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt Bx tại D. Chứng minh DC vuông góc với BC.
3.Phửụng phaựp 3:Vaọn duùng toồng 2 goực nhoùn cuỷa tam giaực vuoõng.
Vớ duù 3: (Đề bài ở vớ dụ 2)
Caựch 2:Phaõn tớch
 -Neỏu =900 thỡ AB AM
 -Neỏu=300 thỡ +=900 maứ AMB coự toồng 3 goực baống 1800 thỡ =900
CM:
*ACM caõn taùi M coự ==300,
* BAM coự += 300+600=900 neõn =900 AB AM
Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có CD là phân giác. Kẻ BH vuông góc với CD, gọi E là điểm trên tia đối của tia HC sao cho HE = HD. Chứng minh EB vuông gócvới BC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC, gọi I là trung điểm của BC. Gọi K và L là các hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC theo thứ tự đó. Chứng minh AI vuông gócvới KL.
Bài 3: Cho tam giác ABC, vẽ tam giác ABD vuông cân tại D( Avà D khác phía đối với BC). Vẽ tam giác CBG vuông cân tại B( G và A cùng phía đối với BC). Chứng minh GA vuông góc với DC. 
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC, gọi I là trung điểm của BC. Gọi K và L là các hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC theo thứ tự đó. Chứng minh AI vuông góc với KL.
4.Phửụng phaựp 4: Vaọn duùng quan heọ giửừa vuoõng goực vaứ song song
Vớ duù 4 : Cho tam giaực ABC, veà phớa ngoaứi cuỷa tam giaực dửùng caực tam giaực vuoõng caõn ABD vaứ ACE. Goùi H, I, K thửự tửù laứ trung ủieồm cuỷaBD, BC, CE. Chửựng minh HI IK.
 Phaõn tớch: Duứng hai phửụng phaựp trửụực khoõng chửựng minh ủửụùc HI IK, neõn tỡm trong hỡnh veừ nhửừng ủửụứng thaỳng coự lieõn quan ủeỏn hai ủoaùn thaỳng naứy. Vỡ H, I, K ủeàu laứ trung ủieồm cuỷa caực ủoaùn thaỳng, neõn neỏu ta noỏi BE, CD thỡ HI, IK seừ laứ caực ủoaùn thaỳng noỏi lieàn trung ủieồm hai caùnh cuỷa moọt tam giaực, vaứ HI //CD, IK//BE. Cho neõn chổ caàn chửựng minh CDBE thỡ giaỷi quyeỏt ủửụùc baứi naứy.
Muoỏn chửựng minh CDBE ta sửỷ duùng phửụng phaựp 2.
 HD chửựng minh:
- Noỏi BE, CD
- Coự AD=AB, AC=AE (gt)
-=900+=
-ADC=ABE (cgc)
-=
- Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa AB vaứ DC, goùi N laứ giao ủieồm cuỷa DC vaứ BE.
- GoựcM1=goực M2
- Suy ra ==900
- Suy ra CDBE.
- Do HI //CD, IK//BE
- Neõn HI IK
5. Phửụng phaựp 5: Vaọn duùng tớnh chaỏt hai tia phaõn giaực cuỷa hai goực keà buứ:” Hai tia phaõn giaực cuỷa hai goực keà buứ taùo thaứnh moọt goực vuoõng”.
Vớ duù 5: Cho tam giaực ABC coự goực A =1200, coự AD, BE, CF laứ caực ủửụứng phaõn giaực trong cuỷa caực goực cuỷa tam giaực. Chửựng minh DFDE
 Phaõn tớch:
- Baứi toaựn naứy khoõng giaỷi ủửụùc theo caực phửụng phaựp treõn. Vaọy coự caựch naứo ủeồ chửựng minh DFDE? Theo giaỷ thieỏt caực dửừ kieọn cuỷa baứi toaựn lieõn quan ủeỏn tia phaõn giaực vaứ caực tia DE, DF naốm trong caực goực ADB, ADC maứ chuựng laùi laứ caực goực keà buứ, vỡ vaọy coự theồ chửựng minh DE, DF laứ hai tia phaõn giaực cuỷa hai goực ADB,ADC.
 HD chửựng minh:
- ABD coự AC laứ tia phaõn giaực goực ngoaứi taùi ủổnh A, BE laứ tia phaõn giaực cuỷa goực B. Chuựng caột nhau taùi E neõn DE laứ tia phaõn giaực cuỷa goực ngoaứi taùi ủổnh D hay DE laứ tia phaõn giaực cuỷa 
- Tửụng tửù DF laứ tia phaõn giaực cuỷa 
- Do vaứ laứ hai goực keà buứ neõn DFDE
Bài tập vận dụng (Phương pháp 4 + 5):
Bài 1: Cho tam giác ABC có BD là tia phân giác của góc B, D thuộc AC. Vẽ đường thẳng xy qua A và song song với BD. Gọi M là giao điểm của xy với BC. Kẻ BN là tia phân giác của góc ABM, N thuộc AM. Chứng minh BN vuông góc với AM tại N.
Bài 2: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AI tại D. Trên tia đối của tia ID lấy điểm E sao cho IE bằng ID. Gọi H là giao điểm của CE và AB. Chứng minh CH vuông góc AB.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ tia Cx vuông góc với AC. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc AC. Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = CM. Gọi I là trung điểm của BM, gọi K là trung điểm của AC. Chứng minh IK vuông góc với AN. ( HD: Kẻ BH vuông góc với AN, H thuộc AC)
Bài 4: Cho tam giác ABC góc B bằng 90o, đường cao BH. Gọi M là trung điểm của BH, K là điểm đối xứng với C qua B. Chứng minh KH vuông góc với AM. (HD: Gọi N là trung điểm của HC)
6.Phửụng phaựp 6: Vaọn duùng tớnh chaỏt cuỷa tam giaực caõn
Vớ duù 6: Cho tam giaực ABC coự BD, CE laứ hai ủửụứng cao. Goùi F, G theo thứ
tửù laứ trung ủieồm cuỷa BC, DE.Chửựng minh: FG DE.
 Phaõn tớch: 
- Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn coự vaọn duùng ủửụùc caực phửụng phaựp treõn khoõng?
Coự theồ chửựng minh DF =EF ủửụùc khoõng?Dửùa vaứo kieỏn thửực naứo?
Khi ủoự tam giaực DEF laứ tam giaực gỡ? FG ủửụùc goùi laứ ủửụứng gỡ cuỷa tam giaực? Coự suy ra ủửụùc FG DE hay khoõng?
- Coự EF laứ trung tuyeỏn ửựng vụựi caùnh huyeàn cuỷa tam giaực vuoõng BEC neõn EF =BC/2.
- Tửụng tửù DF=BC/2.
- Suy ra DF=EF, do ủoự DEF caõn taùi F.
- Maứ FG laứ ủửụứng trung tuyeỏn, neõn FG laứ ủửụứng cao, suy ra FG DE.
 Bài tập vận dụng: 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc B bằng 60o, đường cao AH. Kẻ AD là tia phân giác của góc HAC. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh:
a) DE vuông góc với AC. 
b) HE vuông góc với AD
Bài 2: Trên cạnh đáy của tam giác cân ABC lấy các điểm D và E sao cho góc BAD = góc DAE = góc EAC. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh AM vuông góc với DE.
7.Phửụng phaựp 7 :Sửỷ duùng tớnh chaỏt ba ủửụứng cao cuỷa tam giaực .
 Vớ duù 7: Cho tam giaực ABC vuoõng caõn taùi A.Treõn caùnh AB laỏy ủieồm M , treõn tia ủoỏi cuỷa tia AC laỏy ủieồm N sao cho AN=AM.Chửựng minh. CM BN
 Phân tích.
 Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn coự chửựng minh ủửụùc M laứ trực taõm cuỷa tam giaực CBN khoõng? Muoỏn vaọy phaỷi chửựng minh NM vuoõng goực vụựi BC. Haừy vaọn duùng phửụng phaựp 2 vaứ caực dửừ kieọn cuỷa baứi toaựn chửựng minh NM BC.Tửứ ủoự suy ra CM BN.
 Hướng dẫn chứng minh
Goùi K laứ giao ủieồm cuỷa NM vaứ BC. Ta chửựng minh ủửụùc goực KNC baống450,
goực KCN=goựcBCA=450 neõn suy ra ủửụùc =900.Do ủoự NM BC
- Tam giaực CBN coự NK, CM laứ hai ủửụứng cao caột nhau taùi M neõn M laứ trửùc taõm.
- Suy ra CM BN.
Bài tập vận dụng;
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường cao AH, kẻ HE vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của EH, I là trung điểm của EC. Chứng minh:
a) IO vuông góc với AH. 
b) AO vuông góc với BE.
Bài 2: Cho tam giac ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E là trung điểm của BH, F là trung điểm của AH. Chứng minh CF vuông góc với AE.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, phân giác AD. Gọi I, K lần lượt là các điểm cách đều 3 cạnh của tam giác ABH và ACH. Gọi E là giao điểm của BI với AK. Chứng minh:
a) BE vuông góc với AK.
b) IK vuông góc với AD.
8.Phửụng phaựp 8: Sửỷ duùng ủửụứng trung trửùc cuỷa moọt ủoaùn thaỳng.
Vớ duù 8: Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A, treõn caùnh BC laỏy ủieồm D sao cho BD =BA. Tửứ D keỷ ủửụứng thaỳng vuoõng goực vụựi BC, caột AC taùi M. Chửựng minh BM AD. 
Phaõn tớch: Baứi toaựn naứy coự theồ laứm theo caựch naứo? 
- Ngoaứi caựch sửỷ duùng tớnh chaỏt tam giaực caõn coứn caựch naứo khaực, coự theồ chửựng minh BM laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng AD khoõng? Sửỷ duùng tớnh chaỏt naứo ủeồ chửựng minh BM laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng AD? Chửựng minh ABM = DBM theo trửụứng hụùp baống nhau naứo cuỷa hai tam giaực?
Hửụựng daón chứng minh: 
- Chửựng minh ABM = DBM theo trửụứng hụùp caùnh huyeàn, caùnh goực vuoõng.
- Suy ra MA = MD, (hai caùnh tửụng ửựng), suy ra M naốm treõn ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng AD.
- BA = BD (giaỷ thieỏt), suy ra B naốm treõn ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng AD.
- Suy ra BM laứ ủửụứng trung trửùc cuỷa ủoaùn thaỳng AD BM AD. 
9.Phương pháp 9: Vận dụng định lý Pitago đảo: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có BC = 10cm, các đường trung tuyến BD, CE có độ dài theo thứ tự bằng 9cm và 12cm. Chứng minh BD vuông góc với CE.
Phân tích:
* Gọi G là giao điểm của BD và CE.
* Theo giả thiết của bài toán, chứng minh BD vuông góc với CE thì có thể chứng minh tam giác BGC là tam giác vuông bằng cách so sánh bình phương của cạnh BC với tổng các bình phương 2 cạnh BG, GC. 
* Muốn vậy phải tính các độ dài BG, GC. 
* Vận dụng tính chất trọng tâm của tam giác tính độ dài BG, GC.
Hướng dẫn chứng minh: 
Tam giác ABC có BD, CE là các đường trung tuyến, BD cắt CE tại G. Suy ra G là trực tâm. Suy ra BG = 2/3BD = 9cm, CG = 2/3CE = 8cm
Tam giác BGC có BG 2 + GC2=62+82= 36+64 =100, BC2 =102 = 100
Suy ra BG 2 + GC2 = BC2
Suy ra tam giác BGC vuông tại G( Định lý Pitago đảo)
Vậy BG vuông góc với GC.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên đường thẳng xy lấy ba điểm B, H, C theo thứ tự đó sao cho BH = 4cm,
HC = 9cm . Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với xy, trên đó lấy điểm A sao cho 
HA = 6cm. Chứng minh AB vuông góc với AC.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AH lấy điểm D. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = AD. Đường thẳng vuông góc AH tại D cắt AC tại F. Chứng minh EB vuông góc với EF.
Bài 3: Cho hình vẽ, trong đó AB = 3cm, BC= 6cm, CD= 7cm, AD= 8cm. Chứng minh AD vuông góc với BC.
HD : Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD ở E. Chứng minh BC vuông góc với BE. Từ đó suy ra AD vuông góc với BC
C – Phương Pháp Giảng dạy
- Tớch cửùc ủoồi mụựi phửụng phaựp giaỷng daùy ủeồ phaựt huy tớnh tớch cửùc chuỷ ủoọng saựng taùo cuỷa hoùc sinh.
- Giaựo vieõn ủoùc kyừ noọi dung chửụng trỡnh giaỷng daùy Toaựn lụựp 7.
- Heọ thoỏng laùi kieỏn thửực cụ baỷn vaứ caực phửụng phaựp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực ụỷ lụựp 7.
Trửụực khi cho hoùc sinh luyeọn taọp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực, sau nhửừng baứi hoùc coự lieõn quan cho hoùc sinh ghi nhụự laùi veà hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực, daỏu hieọu nhaọn bieỏt hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực. Sau tieỏt luyeọn taọp daùng baứi taọp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực yeõu caàu hoùc sinh ghi laùi phửụng phaựp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực tửụng ửựng trong tieỏt hoùc ủoự.
- Keỏt thuực chửụng trỡnh hỡnh hoùc 7, yeõu caàu hoùc sinh tửù toồng keỏt caực phửụng phaựp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực. 
D – KEÁT QUAÛ
- Hoùc sinh naộm vửừng vaứ khaự thaứnh thaùo caực baứi taọp chửựng minh hai ủửụứng thaỳng vuoõng goực. 
- Sau khi thửùc hieọn saựng kieỏn, keỏt quaỷ kieồm tra cuù theồ nhử sau : 
Soỏ HS
dửù KT
ẹieồm
0 -1.5
ẹieồm
2-4.5
ẹieồm
5-6.5
ẹieồm
7-8.5
ẹieồm
9-10
33
0
3
9
11
11
E – Bài học kinh nghiệm.
- Trong quựa trỡnh giaỷng daùy caàn phaỷi nghieõn cửựu kyừ noọi dung chửụng trỡnh, noọi dung kieỏn thửực, nhửừng tử duy caàn reứn ủửụùc cho hoùc sinh qua noọi dung kieỏn thửực maứ saựch giaựo khoa cung caỏp, nhửừng ửựng duùng cuỷa kieỏn thửực cho caực moõn hoùc vaứ thửùc tieón cuoọc soỏng. 
- Caàn phaỷi ủoùc saựch tham khaỷo, heọ thoỏng caực daùng baứi taọp vaứ phửụng phaựp giaỷi cho tửứng daùng, nghieõn cửựu caực taứi lieọu lieõn quan ủeỏn moõn hoùc, ủeỏn caực maỷng kieỏn thửực caàn giaỷng daùy.
- Chuự yự phaựt trieồn tử duy vaứ naờng lửùc saựng taùo cuứng caực kyừ naờng thửùc haứnh cho hoùc sinh. 
- Taùo cho hoùc sinh sửù say meõ, hửựng thuự khi hoùc moõn toaựn, ủaởc bieọt laứ moõn hỡnh hoùc.
- Reứn luyeọn cho caực em yự chớ khoõng chũu luứi bửụực trửụực nhửừng khoự khaờn, chaựn naỷn khi gaởp baứi toaựn khoự cuừng nhử khi gaởp nhửừng tỡnh huoỏng khoự trong cuoọc soỏng.
Việt Thuận, ngày 10 tháng 5 năm 2014
 Người viết
 Trần Thị Huyền Trang 

File đính kèm:

  • docsang_kien_kinh_nghiem_ky_ba_thai_binh.doc
Sáng Kiến Liên Quan