Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chọn điểm đặc biệt và phương pháp chọn phần tử lớn nhất

Phần 1: lời nói đầu
	Bản thân là một giáo viên trẻ, tự thấy mình cần phải thường xuyên và liên tục bồi dưỡng, tự bồi dưỡng về chuyên môn nghiệp vụ nói chung và kiến thức chuyên môn nói riêng nên tôi thường tìm đọc các cuốn sách chuyên nghành về Toán học, toán học THPT và ghi chép lại những nội dung đặc sắc, những bài toán và những lời giải hay... Qua đó tôi đã tích lũy thêm được rất nhiều điều hay và bổ ích cho bản thân. 
	Trong quá trình đọc tài liệu tôi cảm thấy rất hứng thú khi gặp những bài toán với lời giải đặc biệt, ngắn gọn hơn các phương pháp thông thường, đặc biệt trong đó là các bài toán giải bằng Phương pháp chọn điểm đặc biệt và Phương pháp chọn phần tử lớn nhất. Tuy nhiên số lượng các bài toán như thế chưa nhiều, chưa có hệ thống và với học sinh thì luôn có câu hỏi là " tại sao hay từ đâu lại có cách giải như thế ? ".
	Với mục đích gom các bài tập này thành một hệ thống nhằm giúp người đọc dễ nắm bắt được phương pháp và tích lũy kinh nghiệm giải các bài toán dạng này, tôi đã lựa chọn một bài và dạy thử nghiệm cho đội tuyển HSG trên cơ sở đó rút kinh nghiệm rồi viết thành hệ thống mà tôi sẽ trình bày sau đây. Bản SKKN của tôi lấy tên là:
Phương pháp chọn điểm đặc biệt
và Phương pháp chọn phần tử lớn nhất
trong giải toán
	Rất mong nhận được sự ủng hộ và góp ý của quí thầy cô !!!
	 Hải dương, ngày 10 tháng 4 năm 2008	
Phần 2: Phương pháp chọn điểm đặc biệt
I/ Giới thiệu về PHương pháp chọn điểm đặc biệt
	+ Phương pháp chọn điểm dặc biệt là một trong những phương pháp gây nhiều ngạc nhiên cho học sinh khi sử dụng vì tính đơn giản và ngắn gọn của nó. Kỹ thuật chọn điểm đòi hỏi phải có sự quan sát tinh tế và hiểu biết sâu sắc về đối tượng đang xét. Phương pháp chọn điểm thực tế là sự kết hợp giữa phương pháp cực hạn và phương pháp điều kiện cầc và đủ. Các điểm được chọn thường là điểm cực hạn.
	+ Cơ sở lí thuyết:
	Định lí: Nếu một khẳng định p(x) đúng với mọi giã trị thì khẳng định đó cũng đúng khi x nhận những giá trị cụ thể, thuộc X, được chọn một cách thích hợp.
	+ Lời giải của phương pháp chọn điểm đặc biệt thường được trình bày theo cách thức của phương pháp điều kiện cần và đủ: 
	Giả sử yêu cầu bài ra được thỏa mãn, từ đó kết hợp với suy luận ta thu được điều kiện cần. Sau đó ta chứng minh điều kiện cần đó cũng là điều kiện đủ và giải được bài toán đã cho.
	+ Phương pháp chọn điểm đặc biệt rất hiệu quả cho các bài toán về hệ số của biểu thức lượng giác và hệ số của đa thức luôn thỏa mãn một điều kiện nào đó đã cho trước.
ii/ Các bài toán về hệ số của biểu thức lượng giác
A- Các ví dụ
***
Bài 1: Cho 
P(x) = a0 +a1cosx +a2cos2x+...+ ancosnx
	Chứng minh rằng nếu P(x)> 0 với mọi x ẻ R thì a0 > 0.
Giải
Xét hàm số:
F(x) = a0 x+a1sinx +ansinnx
Dễ thấy hàm số F(x) xác định và liên tục trên R và theo giả thiết ta có: 
F'(x) = a0 +a1cosx +a2cos2x+....+ ancosnx
 = P(x) > 0, " xẻR
Từ đó suy ra F(x) là hàm số đồng biến. Do đó 
F(p) >F(0) ị a0p > 0 ị a0 > 0 (đpcm).
Bài 2: Cho a, b thoả mãn
a.cosx + b.cos3x Ê 1, "x ẻR
	CMR: 
Giải
Đặt P(x) = a.cosx + b.cos3x. Theo giả thiết ta có:
P(x) Ê 1 ; "x ẻR , suy ra
	Với x= 0 ta có P(0) Ê 1ị a +b Ê 1 (1)
 	 x= p ta có P(p) Ê 1ị -a - bÊ 1 ị a +b ³ -1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
-1 Ê a +b Ê 1 (A)
	Với x= ta có 
 ị -a +2b Ê 2 (3)
 x= ta có 
 ị -a +2b 2 (4)
Từ (3) và (4) suy ra
-2 Ê -a + 2b Ê 2 (B)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (A) và (B) được
- 3 Ê 3b Ê 3
ị - 1 Ê b Ê1. Hay (đpcm)
Bài 3: Cho a, b thoả mãn
1+acos2x +bcosx ³ 0, "x ẻR
	Chứng minh rằng:
Giải
Đặt f(x)= 1+ acos2x +bcosx
Theogiả thiếtt ta có f(x) ³ 0, "x ẻR, suy ra
	Với x= 0 ta có f(0) ³ 0 ị 1 +a +b ³ 0 (1)
 x=ta có f() ³ 0 ị 1-a ³ 0 ị a Ê1 (2)
 x= p ta có f(p)³ 0 ị a-b+1³ 0 ịb Ê a+1 (3)
Từ (1) và (3) 
 ị 0 Ê 1+a+b Ê 2a+2ị a ³ -1 (4)
Kết hợp với (2) ta được 
 (5)
Do đó:
	0Ê 1+a+b Ê 2+b ị b ³ -2
 ị (6)
	b Ê a+1 Ê 2 ị b Ê 2
Từ (5) và (6) suy ra (đpcm).
Bài 4: Cho a, b. c thoả mãn
acosx +bcos2x +ccos3x +1 ³ 0, "x ẻR
	Chứng minh rằng: a +b +c Ê 3.
Giải
Đặt f(x) = acosx +bcos2x +ccos3x +1
Theo giả thiết f(x) ³ 0, "x ẻR
Do đó với: 
	x= ta có : f() ³ 0 ị - b +1 ³ 0
	 	 ị b Ê 1 (1)
	x= p ta có: f(p) ³ 0 ị 1 +b -a -c ³ 0
	 ị a +c Ê 1 +b (2)
Từ (1) và(2) suy ra
	a +b +c Ê 2 +b Ê 3 (đpcm).
Bài 5: Tìm a, b để phương trình sau nghiệm đúng với "x ẻR
a(cosx -1) +b2 = cos(ax +b2) -1 (*)
Giải
Giả sử (*) nghiệm đúng với "x ẻR, khi đó 
	với x = 0 ta có:
 a(cos0 -1) + b2 = cosb2 -1 Û b2 + 1= cosb2
	 Û b =0
Với b =0 thì (*) trở thành
a(cosx -1) = cosax -1
	 Û a(cosx -1) +1 = cosax
 Lấy đạo hàm hai vế được [ a(cosx -1) +1]’ = [cosax]’
 ị asinx = asinax ị a =0 hoặc a =1
Ngược lại:
	+ Với a =0; b =0 thì VT* =VP* =0 ị (*) luôn đúng
	+ Với a =1; b =0 thì (*) Û cosx = cosx ị (*) luôn đúng
	KL: để (*) đúng với "x ẻR thì điều kiện cần và đủ là:
	 a =0, b =0
	 hoặc a =1, b =0
Bài 6: Tìm a, b để bất phương trình
ùcos2x +acosx +b -1ù Ê 1
	Nghiệm đúng với "x ẻR 
Giải
Đặt f(x) = ùcos2x +acosx +b -1ù 
Giả sử 
 f(x) Ê 1, "x ẻR 
Khi đó: 
	Với x =0 ta có f(0) Ê 1 ị ùa +bù Ê 1
	 	ị -1 Ê a +b Ê 1 (a)
	Với x= ta có   f() Ê 1 ị ùb -2ù Ê 1
	 ị 1 Ê b Ê 3 (b)
	Với x = p ta có f(p) Ê 1 ị ùb -aù Ê 1 
	 ị -1 Ê b -a Ê 1 (c)
Cộng vế với vế của (a) và (c) được:
	-2 Ê 2b Ê 2 ị -1 Ê b Ê 1 (d)
Từ (b) và (d) suy ra b =1
	Thay b =1 vào (a) được a Ê 0
	Thay b =1 vào (c) được a ³ 0 Từ đó suy ra a =0
Ngược lại: Với a =0; b =1 thì
f(x) = ùcos2xù Ê 1; "x ẻR
	KL: a =0; b =1 là giá trị cần tìm.
Bài 7 : Cho hàm số
f(x) = cos3x + acos2x + bcosx
	Chứng minh rằng: f(x) nhận cả giá trị dương và giá trị âm 
Giải
+ Giả sử f(x) ³ 0, "x ẻR. Khi đó:
	f(x) ³ 0
	 ị f(x) + f(x +p) ³ 0, "x ẻR
 f(x +p) ³ 0	 ị acos2x ³ 0, "x ẻR
Suy ra 
Mặt khác: 
	Ngược lại với a =0; b =-1 thì 
f(x) = cos 3x - cosx
Dễ thấy (trái với giả thiết)
	Vậy f(x) có nhận giá trị âm (1)
+ Giả sử f(x) Ê 0, "x ẻR. Khi đó
	f(x) 0
	ị f(x) + f(x +p) 0, "x ẻR
 f(x +p) 0	ị a.cos2x Ê 0, "x ẻR
Suy ra 
Mặt khác: 
Ngược lại với a =0; b =-1 thì 
f(x)= cos3x - cosx
Dễ thấy (trái với giả thiết)
	Vậy f(x) có nhận giá trị dương (2)
Từ (1) và (2) có (đpcm).
B- Các Bài tập tham khảo
**************
Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với "x ẻR
m(4- sinx)4 - 3 + cos2x + m > 0
Bài 2: Tìm x để bất đẳng thức 
sinx + sin2x + sin3x + ....+ sinnx đúng với "n ẻN
Bài 3: Tìm a, b để bất phương trình 
f(x) = cos3x + acos2x + bcosx + 1 ³ 0 nghiệm đúng với "x ẻR
Bài 4: Tìm a, b, c, d để với "x ẻR ta luôn có
acos2x + bsin2x + ccosx + dsinx ³ 0
Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, a’, b’ c’ phương trình sau luôn có nghiệm
acosx + bcos2x + ccos3x + a’sinx + b’sin2x + c’sin3x =x
IIi/ các bài toán về đa thức đại số 
A- Các ví dụ
***
Bài 1: Tìm m để bất phương trình 
	x2- 2mx + 2ùx- mù + 2 ³ 0 (1)
	nghiệm đúng với "x ẻR
Giải
Giả sử (1) nghiệm đúng với "x ẻR. Khi đó (1) cũng nghiệm đúng với x =m. Hay là
 m2 - 2m2 + 2ùm- mù+ 2 ³ 0
 ị 2 - m2 ³ 0
 ị ùmù
Ngược lại, với m thoả mãn ùmù hay 2 - m2 ³ 0, thì ta có: 
 VT(1) = (x-m)2+ 2 ùx-mù+ 2- m2 ³ 0 với "x ẻR
Vậy với ùmù thì (1) nghiệm đúng với "x ẻR.
Bai 2: Tìm đa thức P(x) = x2 + ax + b thoả mãn
  ; "x ẻ [-1, 1]
Giải
Đặt f(a,b) =Max ùP(x)ù. Từ giả thiết suy ra
 [-1, 1]
	f(a; b) (2)
Mặt khác ta có: 
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được
	4f(a,b) ³ ù1+b-aù+ù1+a+bù+ù-2bù ³ ù1-a+b+1+a+b-2bù=2
 ị f(a,b) (3)
Từ (2) và (3) ta thấy ở các đánh giá trên đều phải cùng xảy ra dầu bằng, hay là:
 Khi đó P(x)= x2 -.Dễ thấy đa thức P(x) = x2 - thoả mãn đầu bài.
Vậy a= 0; b= - là giá trị cần tìm.
Bài 3 : Cho a, b,c thoả mãn
ẵax2 + bx + cẵÊ 1 ; "x ẻ 
	Chứng minh rằng
ẵcx2 + bx + aẵÊ 2 ; "x ẻ 
Giải
Đặt f(x) = ax2 + bx + c. Theo giả thiết ta có:
 (4)
Phân tích 
 ẵcx2 + bx + aẵ= ẵc(x2 - 1)+ (bx + a+ c)ẵ
	 Ê ẵcẵ. ẵx2-1ẵ+ ẵbx + a+ cẵ
Đặt g(x) = bx + a + c. Vì g(x) bậc không lớn hơn 1 nên:
 đ Max ẵg(x)ẵ= Max 
	 [-1, 1]
Mà theo (4) ta có:
Nên (5)
Mặt khác, với xẻ[-1,1] có 0 Ê ẵ1- x2ẵÊ 1 và theo (4) có ẵcẵÊ 1
Từ đó suy ra: ẵcẵ.ẵ1- x2ẵÊ 1 	 (6)
Từ (5) và(6) suy ra
ẵcẵ.ẵ1- x2ẵ+ ẵbx + a + cẵÊ 2, "x ẻ 
Hay ẵcx2 + bx + aẵÊ 2, "x ẻ (đpcm).
Bài 4: Cho f(x) = ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để 
ẵf(x)ẵÊ 1; "x ẻ 
Và k = đạt GTLN. Tìm GTLN đó 
Giải
Giả sử ta có 
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Thử lại, dễ thấy với hai bộ số a, b, c vừa tìm được ta có 
"x ẻ ta có thể đặt x= cost 
ị 2x2 -1 = 2cos2t -1 = cos2t
Khi đó : luôn đúng. 
Vậy có hai bộ số cần tìm là: và 
	Khi đó Max k= 
Bài 5 : Cho f(x) = 3x2 - 6x + 2a -1. Xác định a để GTLN của hàm số
y= ẵf(x)ẵ
	Trên đoạn [-2,3] là nhỏ nhất:
Giải
Đặt g(a) = . Ta có:
 2g(a) ³ ẵf(-2)ẵ+ẵf(1)ẵ³ ẵf(-2) - f(1)ẵ= ẵ(12 + 12 + 2a - 1) - ( 3 - 6 + 2a - 1)ẵ= 27
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
(Vô nghiệm)
Ngược lại : Với ta có :
f(x) = 3x2 - 6x - ị f’(x) = 6x - 6
f’(x) = 0 Û x = 1 ẻ [-2, 3]
Suy ra g(a) = Maxớẵf(-2) ẵ; ẵf(1)ẵ; ẵf(3)ẵý = max = 
	Vậy đáp số là a= 
Bài 6: Cho f(x) = 4x3 + ax2 + bx + c. Tìm a, b,c để 
ẵf(x)ẵÊ 1 ; "x ẻ [-1,1]
Giải
Giải sử: ẵf(x)ẵÊ 1; "x ẻ [-1,1]. Khi đó 
Với x= ± 1; ẻ [-1,1] ta có:
	ẵf(1)ẵ= ẵ4+ a+ b+ cẵÊ 1 	 (a)
	ẵf(-1)ẵ= ẵ- 4+ a- b+ cẵÊ 1	 (b)
	 (c)
	 (d)
	Từ (a) và (b) suy ra b Ê -3
	Từ (c) và(d) suy ra b ³ -3 
	Suy ra b= -3
Thay b= -3 vào (a); (b); (c); (d) được hệ
Ngược lại, với ta có f(x) = 4x3 - 3x
Do x ẻ [-1,1] nên có thể đặt x= cost. Khi đó
f(x) = 4cos3t - 3cost = cos3t ị ẵf(x)ẵ=ẵcos3tẵÊ 1; "x ẻ [-1,1]
	KL: Vậy a= 0; b= -3; c= 0 là các giá trị cần tìm.
Bài 7 : Tìm m để bất phương trình
	 (1)
	Nghiệm đúng với mọi x ẻ [-4; 6]
Giải
	Giả sử (1) nghiệm đúng với mọi x ẻ [-4; 6], thế thì (1) cũng nghiệm đúng với x= 1 ẻ [-4; 6]. Tức là:
Ngược lại, với m ³ 6 ta có:
	Với mọi x ẻ [-4, 6]; ( Côsi)
 VP(1) = (x-1)2+ m-1 ³ (x-1)2 + 6 - 1 ³ 5.
Từ đó đuy ra (1) nghiệm đúng với "x ẻ [-4, 6] 
	KL: Vậy m³ 6 thì (1) nghiệm đúng với "x ẻ [-4, 6] 
Bài 8: Tìm p để bất phương trình
	f(x) = (p- x2)(x+ p - 2) ³ 0 	 (*)	
	nghiệm đúng với "x ẻ [-1, 1] 
Giải
Giả sử (*) nghiệm đúng với "x ẻ [-1, 1] . Khi đó (*) cũng nghiệm đúng với x= -1; 0. 
	Suy ra 
Ngược lại: 
	+ Nếu p Ê 0 thì p- x2 Ê 0 với "xẻ R
 và với "x ẻ [-1, 1] thì p + x - 2 Ê p-1 Ê -1
Như vậy với p Ê 0 ta có:
(p- x2) (x + p -2) ³ 0; "x ẻ [-1; 1]
	+ Nếu p ³ 3 thì p- x2 ³ 2 ; "x ẻ [-1, 1] 
 p + x - 2 ³ 3 -1 -2 =0 ; "x ẻ [-1; 1] 
Như vậy,với p ³ 3 ta có:
(p- x2)(x+ p- 2) ³ 0 ; "x ẻ [-1; 1]
	KL: với p ẻ(-Ơ; 0] ẩ [3; +Ơ ) thì f(x) ³ 0 ; "x ẻ [-1; 1] .
B- các Bài tập tham khảo
**************
Bài 1: Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn
ẵf(-1)ẵÊ 1; ẵf(0)ẵÊ 1; ẵf(1)ẵÊ 1
	CMR:, "x ẻ [-1, 1] 
Bài 2: Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn
ẵf(x)ẵÊ 1, "x ẻ [-1, 1]
	CMR: ẵ2ax + bẵÊ 4 ; "x ẻ [-1; 1] 
Bài 3: Tìm p, q để GTLN của hàm số
f(x) = ẵx2 + px + qẵ
	Trên [-1, 1] là nhỏ nhất và tìm giá trị đó.
Bài 4: Tìm a, b để bất phương trình sau không có nghiệm x ẻ[1; 3]:
ẵ2x2 + ax + bẵ> 1
Bài 5: Tìm a sao cho
ẵ8x4 + ax2 + bẵÊ 1 ; "x ẻ[-1; 1]
Bài 6: Tìm các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn
(x+ 2)(x2 + x + 1) P(x- 1) = (x- 2)(x2 - x + 1) P(x); "x ẻ R
Phần 3: Phương pháp chọn phần tử lớn nhất
	Trong phần này tôi chỉ giới thiệu một vài bài toán, mà chúng ta đã quen mặt và đã giải được bằng phương pháp thông thường, tuy nhiên khi giản bằng phương pháp chọn phần thử lớn nhất lại cho ta một lời giải thật đơn giản, gọn gàng đầy bất ngờ.
	Nội dung phương pháp: Nếu trong bài toán mà các đại lượng thay đổi a1, a2, .., an có vai trò như nhau thì ta có thể giả thiết ai nào đó với i = 1; 2; 3; ...; n là đại lượng lớn nhất trong các đại lượng trên và dựa vào giá trị này giải bài toán.
A -Các ví dụ:
***
Bài 1: Cho 0 Ê a; b; c Ê 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong số các bất đẳng thức sau đây la sai:
a(1- b) > ; b(1- c) > ; c(1- a)> 
Giải
Vai trò a, b, c như nhau nên ta có thể:
	Giả sử: a= max ớa, b, cý, suy ra 0 Ê c Ê a 
Từ đó ta có: 0 Ê 1- a Ê 1- c
 ị c(1- a) Ê c(1- c) = 
Suy ra bất đẳng thức c(1- a) > là sai
	Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài 2: Cho a, b, c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [1; 3] và thoả mãn a+ b+ c = 6
	Chứng minh rằng: 
a2 + b2 + c2 Ê 14
Giải 
Vai trò của a, b, c như nhau nên ta có thể giả sử rằng
	a = max ớa, b, cý
	Khi đó ta có: 6 = a + b+ c Ê 3a suy ra 2 Ê a Ê 3
Do đó ta có:
 	a2 + b2 + c2 Ê a2 + b2 + c2 + 2(b-1) (c- 1) =
	= a2 + (b + c)2 + 2[ 1- (b + c)]
	= a2 + (6- a)2 + 2[ 1- (6 - a)]
	= 2a2 - 10a + 26
	= 14 + 2(a- 2) (a-3) Ê 14
	Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc ( vì a lớn nhất)
Bài 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 Ê a, b, c; c Ê 2 và a + b+ c = 3. 
	Chứng minh rằng: 
a3 + b3 + c3 Ê 9
Giải
Vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có thể giả sử 
	a= max ớa, b, cý
	Khi đó 3 = a+ b+ c Ê 3a; suy ra 1 Ê a Ê2
Do đó ta có:
	a3 + b3 + c3 Ê a3+ [b3 + c3 + 3bc(b+ c)] = 
	= a3 + (b + c)3
	= a3 + (3- a)3
	= 9a2 - 27a + 27
	= 9 + 9(a- 1) (a- 2) Ê 9
Từ đó suy ra điều phải chứng minh:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc ( vì a lớn nhất)
Bài 4: Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện 0 Ê a; b; c Ê 1 và a+ b+ c =2.
	Chứng minh rằng:
ab+ bc + ca ³ 2abc + 
Giải
Vai trò của a, b,c như nhau nên ta có thể giả sử 
 a= max ớa, b, cý
	Khi đó : 2 = a+ b+ c Ê 3a suy ra Ê a Ê 1
Do đó, ta có:
ab + bc + ca - 2abc =a(b+ c)+ bc(1- 2a) ³
	 ³ a(2- a) + 
	Hay ab + bc + ca - 2abc ³ a(2- a) + =
	ị(đpcm).
Bài 5: Cho x, y là hai số thực dương. 
	Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 số: x; y; có giá trị không nhỏ hơn 2.
Giải
Gọi M là giá trị lớn nhất trong 3 số x; y; 
	Giả sử: M <2, thì 0 < x Ê M < 2
	 0 < y Ê M < 2
Từ đó suy ra
Tức M > 2 (mẫu thuẫn)
	Vậy M ³ 2, vậy ta có điều phải chứng minh.
B- Các bài tập tham khảo
**************
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai: 
 ; ; 
Bài 2: Cho a, b, c là ba số thỏa mãn điều kiện 
 và 
	CMR: 
a3 + b3 + c3 Ê 36.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b luôn tồn tại số thực sao cho:
Phần 4: Lời kết và đề xuất
	 Trên đây là một số bài toán giải được bằng Phương pháp chọn điểm đặc biệt và Phương pháp chọn phần tử lớn nhất mà tôi đã thu thập và tổng hợp được từ: Báo Toán học và tuổi trẻ, từ các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh, từ các đề thi olimpic quốc gia, và cả các bài trong bộ đề thi đại học môn toán (cũ). Các bài tập tuy chưa thật nhiều, chưa đầy đủ và hệ thống, nhưng khi dạy cho các em học sinh đội tuyển học sinh giỏi phần này tôi nhận thấy sự hứng thú đặc biệt ở các em, qua đó kích thích các em tìm tòi khám phá. Tôi cũng nhận thấy các em ý thức rằng "sự hiểu biết sâu sắc về đối tượng đang xét và óc quan sát tinh tế " là chìa khóa tốt nhất để tìm ra con đường ngắn nhất đi đến đáp án. Để cho bản SKKN được hoàn thiện hơn, rất mong nhận được sự góp ý bổ xung từ các thầy các cô.
	Sau đây tôi xin nêu một vài kiến nghị xuất phát từ suy nghĩ bản thân:
	 Trong xu thế thi trắc nghiệm như hiện nay, vẫn biết trắc nghiệm có rất nhiều ưu điểm của nó, để thi trắc nghiệm tốt học sinh phải có kiến thức cơ bản, rộng; phải có tư duy nhanh nhạy; thi trắc nghiệm tránh được gian lận trong thi cử.... Tuy nhiên thi trắc nghiệm sẽ làm giảm đi tính trừu tượng, lôgic chặt chẽ vốn là cái hay, cái đẹp, cái cội rễ của môn toán. Nên:
	+ Thứ nhất tôi kiến nghị: dù thi Tốt nghiệp hay thi Đại học có chuyển sang thi bằng hình thức thi trắc nghiệm thì ta vẫn nên giữ nguyên hình thức thi tự luận đối với các kì thi học sinh giỏi, không nên đưa trắc nghiệm vào thi học sinh giỏi dễ trở thành thiếu nghiêm túc (như trong một đề thi của Hải Phòng năm vừa qua) vì câu hỏi dễ quá.
	+ Thứ hai tôi kiến nghị: Cần có một sân chơi Toán học bổ ích và vừa sức hơn với học trò ở nông thôn, bên cạnh Báo Toán học và tuổi trẻ là sân chơi dường như quá sức đối với hầu hết đa số học trò ở nông thôn.
	+ Thứ ba tôi đề nghị cần có hình thức phổ biến rộng rãi hơn nữa các bản SKKN đã đạt giải cũng như đã phát huy tác dụng trong thực tiễn giảng dạy, để kinh nghiệm, tâm huyết của các tác giả trở nên có ý nghĩa hơn, cũng là giúp cho chúng tôi qua đó góp phần tự bồi dưỡng nâng cao nghiệp vụ chuyên môn.
Mục lục
Phần 1: Lời nói đầu......................................................................................................... 1
Phần 2: Phương pháp chọn điểm đặc biệt .................................................................... 2
	I/ Giới thiệu về phương pháp chọn điểm đặc biệt .............................................. 2
	II/ Các bài toán về hệ số của biểu thức lượng giác............................................. 3
	A- Các ví dụ....................................................................................3	B- Các Bài tập tham khảo ..........................................................................7
	II/ Các bài toán về đa thức đại số ........................................................................8
	A- Các ví dụ....................................................................................8	B- Các Bài tập tham khảo ........................................................................14
Phần 3: Phương pháp chọn phần tử lớn nhất............................................................15
	A- Các ví dụ..................................................................................15
	B- Các Bài tập tham khảo ........................................................................17
Phần 3: Lời kết và đề xuất.................................................................................................18