Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải các dạng toán tìm cực trị đại số

-Hai yếu tố đã góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung và phương pháp giảng dạy môn toán cấp THCS nói riêng, muốn thực hiện được điều đó thì vai trò của người thầy hết sức quan trọng. Để góp phần vào công cuộc đổi mới phương pháp giảng dạy thì bản thân tôi đã trăn trở rất nhiều về việc truyền thụ kiến thức cho học sinh, không chỉ những kiến thức trong SGK mà còn phải làm sao đó từ những kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp HS lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống.

 - Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS nhiều mảng kiến thức trong SGK đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều, ngay những em HS nắm rất vững kiến thức SGK nhưng khi gặp dạng toán này cũng lúng túng vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là dạng toán “ Tìm cực trị “ nói chung và “Tìm cực tri đại số” nói riêng. Thật vậy trong chương trình toán phổ thông dạng kiến thức về ‘’cực trị’’là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lai khá rộng rãi nó không những có mặt trong phân môn đại số mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn hình học, nó không chỉ dừng ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trình THPT. Vì vậy dạng toán’’cực trị’’là phần gây cho HS ngay cả HS giỏi nhiều bối rối tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ HS say mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi sáng tạo.

 - Để giải được một bài toán cực trị cấp THCS yêu cầu phải nắm vững được các kiến thức cơ bản phổ thông phải biến đổi thành thạo các biểu thức đại số và sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp và điều đặc biệt là thông qua các bài tập cực trị HS có thể vận dụng linh hoạt vào các loại toán khác như giải phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, chứng minh một yếu tố hình học .

Tóm lại: Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức , đọc nhiều tài liệu và qua những năm dạy toán ở trường THCS , tôi đã rút ra được vài kinh nghiệm . tôi mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu tựa đề là: “ Một số phương pháp giải và các dạng toán tìm cực trị đại số ” Nếu có thể chúng ta cùng nghiên cứu và bổ sung cho hoàn chỉnh hơn.

 

doc30 trang | Chia sẻ: sangkien | Ngày: 04/08/2015 | Lượt xem: 1035 | Lượt tải: 13Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải các dạng toán tìm cực trị đại số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 của biểu thức
A = 
	Giải: 
Ta có A = 
Suy ra maxA =1 khi x = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
Giải:
Ta có B = 
Suy ra minB = 3 khi 2x2 - x – 1 =0 (2x + 1)(x – 1) = 0
	 x =1 hoặc x = 
	Vậy minB =3 khi x =1 hoặc x = 
B/ Phương pháp 2:
Áp dụng tính chất : | x| + | y | ≥ | x + y | . Để tìm GTNN của biểu thức Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x.y ≥ 0
Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
A = | 2x – 5 | + | 2x + 1 |
B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |
D = 
 e) E = 
Giải:
a) Ta có A = | 2x – 5 | + | 2x - 1 | = | 2x – 5 | + | 1- 2x | ≥ | 2x – 5 + 1- 2x |
	= | -4 | = 4	
Suy ra minA = 4 khi (2x – 5)(1 – 2x) ≥ 0 
	b) B = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
	Ta có | x – 1| + | x – 3 | = | x – 1| + | 3 – x | ≥ | x – 1 + 3 – x | = 2
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(3 – x) ≥ 0 1
	| x – 2| nhỏ nhất khi x =2
	Vậy min B = 2 khi x =2
 c) C = | x - 1| + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 | = | x - 1| + | x – 4 | + | x – 2 | + | x – 3 | 
	Ta có: | x - 1| + | x – 4 | ≥ | x -1 +4 – x | ≥ 3
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 1)(4 – x) ≥ 0 1
	Ta có: | x – 2 | + | x – 3 | ≥ | x -2 +3 – x | ≥ 1
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (x – 2)(3 – x) ≥ 0 2
Vậy minC = 3 + 1 = 4 khi 2
d)Ta có D = 
	 = | 5x – 2 | + |5x | ≥ |2 - 5x +5 x | = 2
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (2- 5x)5x ≥ 0 0
Vậy minD = 2 khi 0
	e) Ta có E = 
 	 = | x – 1| + | x – 2 | + | x – 3 |
Vậy minE = 2 khi x =2 ( làm như câu b )
Bài tập: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
A = | x – 1 | + | x – 2 | +  + | x – 2006 |
B = 
Giải:
	 Chú ý 1: 	y = | x – a | + | x – b |	( a < b )
	Min y = b – a khi 
a) Ta có A = ( | x – 1 | + | x – 2006 | ) + ( | x – 2 | + |x – 2005 | ) +  + ( | x – 1002| + | x -1003 | )
Suy ra minA = 2005 + 2003 +  + 1 khi 
Vậy minA = 10032 khi 
b) Ta có B = 
	 = | 3x – 1 | + | 3x – 2 | = | 3x – 1 | + | 2 - 3x | ≥ | 3x – 1 + 2 – 3x | = 1
Vậy minB = 1 khi (3x – 1)(2 – 3x) ≥ 0 
Chú ý 2 : y = | ax – b | + | ax – c |	( b < c )
	Min y = c – b khi 
Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức
	C = | 2x -5 | + | 2x – 7 |
	Suy ra min C = 7 -5 = 2 khi 
Chú ý 3 : y = | ax + b | + | ax + c |	( b < c )
	Min y = c – b khi 
Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức
	D = | 3x + 5 | + | 3x + 7 |
	Suy ra min D = 7 - 5 =2 khi 
Bài tập:
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) A = 
	b) B = 
2) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
 a) C = 
	 b) D = 
	 c) E = 
3) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
	 a) F = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | +  + | 2x – 2006 |
	 b) G = | 2x - 1 | + | 2x – 2 | +  + | 2x – 2007 |
	 c) H = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | +  + | 2x + 2006 |
	 d) I = | 2x + 1 | + | 2x + 2 | +  + | 2x + 2007 |
	 e) K = 
	 f) L = 
	 g) M = 
	 h) N = 
	 i) O = 
	 k) P = 
	 l) Q = 
	 m) X = 
C/ Phương pháp3:
 Áp dụng tính chất : | x | - | y | ≤ | x – y | để tìm GTLN
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x ≥ y ≥ 0 hoặc x ≤ y ≤ 0
Thí dụ: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
	a) A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 |	b) B = | 5x + 7| - | 5x – 2 |
	c) C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 |
Giải:
	a) Ta có A = | 3x + 5 | - | 3x + 7 | | (3x + 5) - (3x + 7) | = 2
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra 
	Vậy maxA = 2 
	b) Ta có B = | 5x + 7| - | 5x – 2 | | (5x + 7) - (5x – 2) | = 9
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra 
	Vậy maxB = 9 
	c) Ta có C = | 4x2 - 1975 | - | -4x2 + 2025 | = | 4x2 - 1975 | - | 4x2 - 2025| 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra 	
	Vậy maxC = 50 
Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
	a) D = 	b) E = 
D/ Phương pháp4:
Áp dụng bất đẳng thức: (a ≥ b ≥0 ) để tìm GTLN.
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi b(a-b) = 0 b = 0 hoặc a = b
Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức
	A = 
Giải:
Ta có A = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x - 8 = 0 x = 8
	Suy ra maxA = 3 khi x = 8
Bài tập:
 Tìm GTLN của các biểu thức sau:
B = 
C = 
E/ Phương pháp5:
 Áp dụng bất đẳng thức: (a , b ≥0 ) để tìm GTNN
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a.b = 0 a = 0 hoặc b = 0
Thí dụ: Tìm GTNN của biểu thức A = 
Giải: 
 ĐKXĐ: 
 Ta có A = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x =3 hoặc x =5
	Suy ra minA = khi x =3 hoặc x =5
Bài tập:
1)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
	a) B = 
	b) C = 
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTNN của biểu thức D = 
F/ Phương pháp6:
Áp dụng bất đẳng thức CôSi: Để tìm GTLN, GTNN
+ Với a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 (1)
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
 + Với a1, a2, a3, ., an ≥ 0 thì a1+ a2 + a3 + .+ an ≥ n ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ..= an 
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
Nếu a.b =k ( không đổi) thì min (a +b) = 2 a = b
Nếu a +b = k (không đổi ) thì max( a.b) = a = b
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
- Nếu a1.a2.a3 . an = k (không đổi ) thì min(a1+ a2 + a3 + .+ an ) = n
	 a1 = a2 = a3 = ..= an 
- Nếu a1+ a2 + a3 + .+ an = k (không đổi ) thì max(a1.a2.a3 . an ) =
 	 a1 = a2 = a3 = ..= an 
Dạng 1: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = bậc f(x) bằng bậc g(x)
	Phương pháp giải: Ta tìm GTLN bình phương biêu thức đó. Sau đó áp dụng BĐT Côsi 
Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = 
Giải:
 	ĐKXĐ: 	
Ta có A2 = 
 A2 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Vậy maxA2 = 4 khi x = 2
Do đó maxA = 2 khi x = 2
Bài tập:
1)Tìm GTLN của các biểu thức sau:
	a) B = 
	b) C = 
2) Cho x + y = 15 . Tìm GTLN của biểu thức D = 
Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức M = 	(b < c )
	Max A2 = 2(c ± b) khi xn = 
	Suy ra maxA = khi xn = 
	Dạng 2: Tìm GTLN của biểu thức có dạng A = bậc f(x) bằng bậc g(x).
	Phương pháp giải: Nhân và chia f(x) với cùng một số khác 0 , sau đó áp dụng BĐT Côsi 
Thí dụ: Tìm GTLN của biểu thức A = 
	Giải:
	ĐKXĐ: 
	Ta có A = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy maxA = khi x = 18
Bài tập:
Tìm GTLN của các biểu thức sau:
	a) B = 	b) C = 	e) F = 
	c) D = 	d) E = 
Hướng dẫn: a) Nhân và chia biểu thức x – 16 cho cùng một số 4 ( )
	b) Nhân và chia biểu thức 3x – 25 cho cùng một số 5 ( )
	c) Nhân và chia biểu thức 10x – 49 cho cùng một số 7 ( )
	d) Nhân và chia biểu thức2x2 – 25 cho cùng một số 5 ( )
	e) Nhân và chia biểu thức 2x – 5 cho cùng một số 
Chú ý: Tìm GTLN của biểu thức N = 
	Suy ra MaxN = khi xn = 
	Dạng 3: Tìm GTNN của biểu thức có dạng A = bậc của f(x) lớn hơn bậc của g(x).
	Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số ( Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau) , rồi áp dụng BĐT Côsi
	Thí dụ : Cho x > 0 , tìm GTNN của biểu thức M = 
	Giải:
Ta có M = 
	 = 4.1994
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minM = 4.1994 khi x = 1994
Bài tập:
	1) Cho x > 0 , tìm GTNN của các biểu thức 
a) A = 	b) B = 	c) C = 
	Giải:
	a) Ta có A = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minA = 8 khi x = 2
	b)Ta có B = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minB = 16 khi x = 2
	c) Ta có C = 
	 Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minC = 
	2) Cho a, b, x > 0 . Tìm GTNN của biểu thức D = 
	Giải:
 Ta có D = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Vậy minD = khi 
	3) Cho , tìm GTNN của biểu thức 
a) E = 	b) F = 
	Giải:
	a) Ta có E = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	x = - 5 < 0 (loại)
	Vậy minE = 4 khi x =3
 b)Ta có F = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	 (loại ) . Do đó x =4
	vậy minF = 10 khi x = 4
	4) Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức G = 
	Giải:
	Ta có G = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minG = 300 khi x = 10
Cho x > y . Tìm GTNN của các biểu thức sau
a) H = 	biết x.y = 5 	b) I = biết x.y = 2
	Giải:
	a) Ta có H = 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi .
Kết hợp với điều kiện x.y =5 ta suy ra được x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5
Vậy minH = 8 x =5, y =1 hoặc x =-1 , y = -5
b) Ta có I = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Kết hợp với điều kiện x.y =2 ta suy ra được hoặc 
Vậy minI = 4 hoặc 
Cho x >0 .Tìm GTNN của các biểu thức sau
a) K = 	b) P = 	
	Giải:
	a) Ta có K = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minK = 1 khi x = 1
b)Ta có 
 P = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minQ = 4 khi x = 4
7) Cho x > 9 .Tìm GTNN của các biểu thức sau Q = 
Giải:
Ta có Q = 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Kết hợp ĐK x > 9 nên x = 0 ( loại )
	Vậy minQ =48 khi x =36
7) Tìm GTLN của biểu thức L = 
 Giải:
 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy Min
	Do đó maxL =1 khi x = 1
	8) Tìm giá GTLN của biểu thức y 
Giải:
 Ta qui về tìm GTNN của biểu thức 
	Ta có 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy min khi x = 1982
	Do đó max y = khi x = 1982
	Dạng 4: Tìm GTLN của biểu thức có dạng : A = f(x).g(x) , bậc f(x) bằng bậc g(x)
	Phương pháp giải: - Biến đổi f(x) + g(x) = k ( k là hằng số )
	 - Áp dụng BĐT Côsi: a.b 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi a = b
Thí dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức A = x3(16 – x3)
Giải:
	Ta có A =x3(16 – x3) 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x3 = 16 – x3 x3 = 8 x = 2
	Vậy maxA = 64 khi x = 2
Thí dụ 2 : Tìm GTLN của biểu thức B = (1 –x )(2x – 1) với 
	Giải:
	Ta có B = (1 –x )(2x – 1) = (2 – 2x )(2x – 1) 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 2 – 2x = 2x – 1 x = 
	Vậy maxB = khi x = 
Bài tập: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
	a) C = (2x2 – 1)(2 – x2)	b) D = (3x + 5)(2 – x)
Dạng 5: Tìm GTNN của biểu thức có dạng: A = f(x) + g(x)
Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số
( tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tử này là nghịch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho , có thể sai khác một hằng số )
Thí dụ: Cho 0 < x < 12 . Tìm GTNN của biểu thức A = 
	Giải:
Ta có A = 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy minA = 7 khi 
Bài tập:
1) Cho x > 1 , tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) B = 	b) C = 
	Giải:
a) Ta có B = 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Vì x > 1 nên x =0 (loại)
	Vậy minB = 3 khi x =2
b) Ta có C = 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
Vì x > 1 nên (loại)
	Vậy minC = 24 khi 
2) Cho x, y > 0 và x + y > 6. Tìm GTNN của biểu thức D = 
	Giải:
Ta có D = 
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và x = 2 và y = 4
	Vậy minD = 32 x = 2 và y = 4
3) Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 2007
	a) Tìm GTLN của biểu thức E = xy + yz + zx.
	b) Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + y2 + z2
Giải:
	Áp dụng BĐT Côsi : a2 + b2 2ab
	a) Ta có 
	Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi 
	Vậy maxE = 447561 khi x = y = z = 669
b)Ta có F = 
	F min max (theo câu a )
	Khi đó minF = khi 
4) Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = a ( a là hằng số dương)
	a) Tìm GTLN của biểu thức E = xy + yz + zx.
	b) Tìm GTNN của biểu thức F = x2 + y2 + z2
G/ Phương pháp7:
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai là ∆ ≥ 0 (∆’ ≥ 0)
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi phương trình có nghiệm kép (). Để tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Thí dụ : Tìm GTNN của biểu thức A = 5x2 – 4x + 1
	Giải:
Gọi a là một giá trị của biểu thức A . Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình 5x2 – 4x + 1 = a có nghiệm
	5x2 – 4x + 1 – a = 0 (*) có nghiệm
Vậy minA = phương trình (*) có nghiệm kép x = 
Bài tập:
1) Tìm GTNN của biểu thức B = 
	Giải:
ĐKXĐ: x 1
Gọi a là một giá trị của B , phương trình (1) phải có nghiệm
PT (1) 	(2)
Nếu a = 1 thì x =0
Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai
PT (2) có nghiệm 
Vậy minB = khi PT (2) có nghiệm kép x = -1
2) Tìm GTNN của biểu thức P = 
Giải:
ĐKXĐ: x R
Gọi a là một giá trị của P , phương trình (1) phải có nghiệm
PT (1) 	(2)
Nếu a = 1 thì x =0
Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai
PT (2) có nghiệm 
Vậy minP = khi PT (2) có nghiệm kép x = 1
3)Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a) Q = 	b) K = 
Giải:
a) ĐKXĐ: x R
Gọi a là một giá trị của Q , phương trình (1) phải có nghiệm
PT (1) 	(2)
Nếu a = 0 thì PT (2) là -4x = -3 có nghiệm x = 
Nếu a 0 thì (2) là phương trình bậc hai
PT (2) có nghiệm 
Vậy: minQ = -4 khi PT (2) có nghiệm kép x = 
 maxQ = -1 khi PT (2) có nghiệm kép x = 2
b) ĐKXĐ: x R
Gọi a là một giá trị của K , phương trình (1) phải có nghiệm
PT (1) 	(2)
Nếu a = 1 thì PT (2) là -4x = -4 có nghiệm x = 1
Nếu a 1 thì (2) là phương trình bậc hai
PT (2) có nghiệm 
Vậy: minK = khi PT (2) có nghiệm kép x = 
maxK = khi PT (2) có nghiệm kép x =
4) Tìm cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình : 3x2 – 6x +y – 2 = 0 (1)
sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
 Xét phương trình bậc hai , ẩn x tham số y.
Nếu tồn tại cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình (1) thì PT (1) phải có nghiệm.
Do đó 
Vậy max y = 5 khi PT(1) có nghiệm kép x =1
 Nên cặp số cần tìm là (1;5)
5) Tìm GTNN của các biểu thức sau:
	a) E = 	b) F = 
6) Tìm GTLN của biểu thức G = 
IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: Biểu thức chứa dấu GTTĐ
Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải:
Cách 1: Xét x 4+3=7
 Xét ta có M= -x+5+x+2=7
 Xét x>5 ta có M = x-5+x+2=2x-3>10-3=7
Vậy GTNN của M là 7 
Cách 2:
Áp dụng bài toán phụ: Chứng minh rằng 
Dấu “=” xảy ra 
Chứng minh : Ta có 
(Bất đẳng thức đúng)
Do đó ta có : 
 Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bài toán phụ ta có 
M= 
Dấu “=” xảy ra 
Cách 3: Áp dụng Dấu “=” xảy ra 
M= 
Dấu “=” xảy ra 
Bài tập 2: Tìm GTNN của biểu théc 
A= 
Lời giải
 1000 số hạng
Dấu “=” xảy ra 
Từ ví dụ 1 và ví dụ 2 ta có thể xây dựng bài toán tổng quát như sau
Bài tập 3 : Tìm GTNN của biểu thức 
Trong đó cho trước và <<<
Lời giải
 Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của B là 
Bài tập 4: Tìm GTNN của các biểu thức 
a. 
b. 
Lời giải: 
a. =
 Dấu “=” xảy ra b. 
b. =
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của B là 39 x=1
Từ ví dụ 4 ta có thể xây dựng bài toán tổng quát sau
Bài tập 5:
Tìm GTNN của biểu thức 
Trong đó cho trước và <<<
Lời giải 
=
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của C là 
Từ ví dụ 3 và ví dụ 5 ta lại tiếp tục xây dựng được bài toán tổng quát sau
Bài tập 6: Cho n số 
Tìm các số x để: 
 nhận giá trị nhỏ nhất 
Lời giải ví dụ này la sự kết hợp của lời giải bài toán ở ví dụ 3 và bài toán ở ví dụ 5
Bài tập 7: 
Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. 
b. 
Lời giải 
Áp dụng bài toán phụ :
 Dấu “=” xảy ra ta có 
a. 
b. 
DẠNG 2 : Đa thức 
Bài tập 1:
Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 
b. ( Với a>0 ; a,b,c là hằng số )
Lời giải
a. = 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 
b. 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của B là 
Bài tập 2: 
Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. 
b. (Với a<0 ; a,b,c là hằng số )
Lời giải :
a.=
Dấu “=” xảy ra x-3=0x=3
Vậy GTLN của A là 4x=3
b.
Vậy GTLN của B là 
Chú ý ; Từ bài toán ví dụ 1b và bài toán ví dụ 2b ta có kết luận như sau
Đa thức (a>0) có giá trị nhỏ nhất là 
Đa thức (a<0) có giá trị lớn nhất là 
Bài tập 3:Tìm GTNH của các biểu thức sau
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a. 
Dấu “=” xảy ra x=1
Vậy GTNN của A là 8 x=1
b. . 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của B là 
c.= =
=
Từ ví dụ 3 ta có thể xây dựng bài toán tổng quát như sau
Bài tập 4 Tìm GTNN của biểu thức 
(Trong đó là hằng số )
Bài tập 5: Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. A=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)-17
b. B=(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2001
c. C=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+e với a,b,c,d,e là các hằng số và a+b=c+d
Lời giải:
 a.-17=
 =
Đẳng thức xảy ra 
Vậy GTNN của A là -53 
b. Giải tương tự câu a
c. C=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+e =e 
=
=
=
Vậy GTNN của C là -
Chú ý : Bài toán ở ví dụ 5c là bài toán tổng quát của bài toán ở ví dụ 5a,5b
Bài tập 6: Tìm GTNN của các biểu thức 
a. 
b. 
c. (a,b là hằng số )
Lời giải
Đặt ta có 
=
=
Dấu “=” xảy ra y=0x+3=0x=-3
Vậy GTNN của A lâ 32 x=-3
Giải tương tự câu a đặt y=x+2
Đặt ta có 
Dấu “=” xảy ra y=0
 Vậy GTNN của C là 
Chú ý : Bài toán ở ví dụ 6c là bài toán tổng quát của bài toán ở ví dụ 6a,6b
2. Đa thức nhiều biến 
Bài tập 7 
Tìm GTNN của các biểu thức 
a. 
b. ( với a,b,c,d,e là các hằng số và a,b>0)
Lời giải:
a. 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của là 4x=3 và y=-2
b. 
Dấu “=” xảy ra 
Bài tập 8: Tìm GTLN của các biểu thức sau
a. 
b.( với a,b,c,d,e là các hằng số và a,b<0)
Lời giải
a.
Vậy GTLN của A là 36 x-2=0 và y+5=0 x=2 và y=-5
b. 
Trong đó ; Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của B là 
Chủ ý : Các bài toán ở ví dụ 7b,8b là các bài toán tổng quát của các bài toán ở ví dụ 7a,8a
Bài tập 9: TìmGTNN của biểu thức sau 
Lời giải
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của M là 7 khi x=2 và y=3
Chú ý : Từ bài toán ở ví dụ 9 ta có thể xây dựng được bài toán tổng quát sau
Ví dụ 10
a. Tìm GTNN của ( với a,b,c,d,e ,f là các hằng số và a,b>0)
b. Tìm GTLN của ( với a,b,c,d,e ,f là các hằng số và a,b<0)
Đề nghị các bạn tự tìm lời giải
DẠNG 3: Phân thức
Phân thức một biến
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức 
a. 
b. 
Hướng dẫn giải câu a
Ta có 
Dấu "=" xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 7 
b. Giải tương tự câu a
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a. 
b. 
Hướng dẫn:
a. 
Dấu "=" xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
b. Giải tương tự câu a
Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
Cách 1: 
Dẫu "=" xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 4 khi 
Dấu "=" xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1 khi và chỉ khi x=-2
Cách 2
Ta có với mọi x
(*)
Nếu A=0 thì -4x-3 =0
Nếu A phương trình (*) với ẩn x có nghiệm
* 
Dấu "=" xảy ra 
*
Dấu "=" xảy ra 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 4 Và giá trị nhỏ nhất của A là -1 khi x= -2
Phân thức nhiều biến
Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 (Với x )
Hướng dẫn
y = 0 thì A = 0
 ta có 
 (Xem ví dụ 1a phần phân thức một biến)
DẠNG 4: Căn thức 
Bài tập 1:
Tìm GTNN của các biểu thức sau
a. 
b. 
c. 
Lời giải:
a.
Dấu “=” xảy ra 
Câu b,c giải hoàn toàn tương tự
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau
Hướng dẫn
Điều kiện (x-2)(6-x)
Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm ta được
Dấu '=' xảy ra 
 dấu "=" xảy ra (x-2)(6-x)=0 x = 2 hoặc x = 6
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2 khi x = 4
Giá trị nhỏ nhất của A là 0 khi x = 2 hoặc x = 6
Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Hướng dẫn
Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có 
Dấu "=" xảy ra 
DẠNG 5: Các bài toán mà các biến có các diều kiện ràng buộc
Bài tập 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 với 0<x<1 
(Đề thi giáo viên giỏi huyện Thanh Chương năm 2007)
Hướng dẫn
Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm ta có
Dấu "=" xảy ra 
Bài tập 2 : Cho phương trình ẩn x
Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho 
A= đạt giá trị nhỏ nhất
Hưỡng dẫn: 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 ; 
Ta xét hai trường hợp 
 1,
Ta có A= (m+2)(m-1+5) = (m+2)(m+4) = 
Đẳng thức xảy ra khi m+3 = 0 hay m = -3
 2 
Ta có A= (m-1)(m+2+5) = 
Dấu "=" xảy ra khi m = -3
Vậy giá trị nhỏ nhất cua A là -16 khi m = -3
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tìm m để phương trình ẩn x sau
Có nghiệm là lớn nhất, nhỏ nhất
Bài tập 4: Cho là hai nghiệm của phương trình
 (m)
Tìm giá trị nhỏ nhất của và nêu rõ khi đó m lấy giá trị nào
( Đề thi vào lớp 10 trường PTTH Hoàn Kiếm , Hà Nội 1992 - 1993)
PHẦN III
 KẾT LUẬN
Trên đây là những phương pháp, những dạng bài tập mà qua quá trình giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy học tự chọn mà bản thân tôi đã tổng hợp được. Thật ra đây là những bài toán mà ta có thể bắt gặp ở các sách, đề thi, .
Việc phân chia các dạng bài tập trong tài liệu này chỉ có tính tương đối để cho dễ tìm. Trong mỗi bài toán , tuỳ theo cách nhìn mà ta sẽ có hướng giải tương ứng. Để học sinh có được cách giải tương ứng của mỗi bài toán thì phải dạy cho học sinh nắm thật chắc các kiến thức cơ bản, nắm được các phương pháp giải các dạng bài tập và thường xuyên rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho học sinh.
Với suy nghĩ như vậy. Tôi tin tưởng mỗi chúng ta có thể làm cho học sinh không còn bỡ ngỡ và lúng túng khi gặp dạng toán như thế này.Vì khả năng và thời gian có hạn nên sáng kiến này xin tạm dừng tại đây.
Rất mong sự góp ý của các đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến này được phát huy và được mở rộng hơn nữa.
	 Hạnh Lâm , tháng 10 năm 2011
	 Người viết
	 Lê Đình Chung
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Toán nâng cao Đại số 8 của Nguyễn Vũ Thanh – NXB Giáo dục -1997
2. Toán nâng cao Đại số 9 của Nguyễn Vũ Thanh – NXB Đà Nẵng -1996
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9 của Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục – 2005
 4. Một số đề thi HSG các cấp và thi tuyển sinh vào lớp 10, 
 5. Chuyªn ®Ò BÊt ®¼ng thøc vµ øng dông trong ®¹i sè do NguyÕn §øc TÊn chñ biªn
 6. N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n 8,9 do Vò H÷u B×nh chñ biªn
 7. 23 chuyªn ®Ò gi¶I 1001 bµi to¸n s¬ cÊp do NguyÔn V¨n VÜnh Chñ biªn
 MỤC LỤC
Phần 1
Đặt vấn đề
Trang 1
Phần 2
Nội dung đề tài
Trang 2
Phần 3
Kết luận 
Trang 29
Tài liệu tham khảo 
Trang 29

File đính kèm:

  • docSKKN_bac_ba.doc
Sáng Kiến Liên Quan