Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm soạn đề và giải một số dạng bài tập về số phức

 . 2 (1 2 ) 8
2 . 2 1 2 8
8 . 1 28 2 3 .
2 1 5
Vaäy coù phaàn thöïc baèng 2, phaàn aûo baèng -3.
i i z i i z
i i i z i
i i i z i
i iiz i
i
z
 ( ) ( ) 21/ Cho soá phöùc thoûa ñieàu kieän: 2 3 4 (1 3 )
 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phö (C
Ñ-A,B,D-2010)
ùc . 
2/ Tìm ph
− + + = − +z i z i z i
z
( ) ( )2
aàn aûo cuûa soá phöùc bieát:
 2 1 2 . 
3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá p
= + −
z
z i i (ÑH-A-2010)
höùc bieát:
5 5 20 . 
3 4 4 3
+= +− +
z
iz
i i
(KT giöõa HKI 2010-2011-chuyeân BT)
( )= +31- 3Cho soá phöùc thoûa: âñun cuûa soá phöùc 
i
z − .Tìm mo1
 (ÑH -A- 0201 )
z z iz
i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông T Trang 8hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre 
Trong m
= 2Tìm soá phöùc thoûa maõn ø laø soá thuaàn aûo.
 ( ÑH -D- 2010)
z z z2 va
ột số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện các phép 
tính tr
ên tập số phức. Chẳng hạn 
( ) + − +− = =− −
− = −
⎧ − =⎪ −⎨ − =+
∗
2 1 3 1) 2-i 4 0. 2) .
1 2
 3) (KT giöõa HKI 2010-2011-ch BT
sau:
 Tìm soá phöùc 
2 3 4 . 
 thoûa:
12
8 3
4 1
8
)
i iz z
i i
z z
z
z i
z
z
z
i
∗ Giaûi caùc phöông trình 
5
( ) ( ) ( ) ( )
⎪
⎪⎪⎩
= + − − −
∗
−2 3 2009
 Tính toån
(Giöõa HKI 2010-201
1 1 3 + 1 3 + 1
1-ch
3 +...
 BT)
g
+ 1 3 
:
S i i i i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông T Beán Tre Trang 9hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân 
Dạng 2: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC 
êu cầu bài toán thường cho
Y dưới dạng: 
t phẳng Oxy (mặt phẳng phức) 
ước. 
1) Biểu diễn hình học các số phức trong mặ
2) Tìm điểm (tập hợp điểm) biểu diễn số phức z thỏa một hoặc vài điều kiện cho tr
ột số bài toán minh họa M
( ) ( ) +− +− −
 Xeùt caùc ñieåm , , trong maët phaúng phöùc theo thöù töï bieåu dieãn caùc 
4 2 6 soá phöùc ; 1 . 1 2 ; .
1 3
 1) Chöùng minh tam giaùc vuoâng caân.
 2) Tìm soá phöùc coù ñieåm bieåu
A B C
i ii i
i i
ABC
z dieãn sao cho laø hình vuoâng.D ABCD
( ) ( )
= − ⇒ −−
− + = + ⇒
+ = ⇒−
= =
=⎧⇒ ⎨ ⊥⎩
JJJG JJJG
1
 1 . 1 2 3 (3;1)
2 6 2 (0;2)
3
 Töø ñoù: 10; 10 vaø . 0.
 Vaäy tam giaùc vuoâng caân taïi B.
i
i i i B
i i C
i
BC BA BC BA
BC BA
BC BA
ABC
=
41) Ta coù: 2 2 (2; 2)i i A
2) Töø kq caâu 1) ta coù: 
⇔ =
= − = −⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨− = − = −⎩ ⎩
= − −
JJJG JJJG laø hình vuoâng khi laø hình bình haønh
1 1
2 3 1
 Vaäy soá phöùc caàn tìm laø 1 .
D D
D D
ABCD ABCD
CD BA
x x
y y
z i
+ −
− + + =
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc thoûa
 trong caùc ñieàu kieän sau:
1) 2 = .
2) 4 4 10.
z
moät
z i z
z z
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 10
1
( ) ( )
( ) ( )
= + ∈
+ = − ⇔ + + = + −
⇔ + + = + − ⇔ + + =
i \
i
i
2 22 2
) Goïi bieåu dieãn soá phöùc ; , .
 Ta coù 2 2 1
 2 1 4 2 3 0 ( )
 Vaäy taäp hôïp ñieåm caàn tìm laø ñöôøng thaúng ( )
M z x yi x y
z i z x yi x y i
x y x y x y d
M d
+ = − ⇔ − − = −i1) Ta coù 2 ( 2) (1)
−
−
⇔
 Goïi laø ñieåm bieåu dieãn soá phöùc ,
 ñieåm bieåu dieãn soá 2,
 ñieåm bieåu dieãn soá phöùc 
 ( nghóa 
(1)
laø ( ; ), ( 2;0), (0;1)
 Khi ñoù 
z i z z z i
M z
A
B i
M x y A B
M =
+ + =
i Vaäy taäp hôïp ñieåm caàn tìm laø 
 ñöôøng trung tröïc ( ) cuûa ñoaïn ,
 vôùi ( ) : 4 2 3 0.
A MB
M
d AB
d x y
2) Tìm taäp hôïp caùc ñieåm bieåu dieãn soá phöùc thoûa:
 4 4 1 (Thi thöû Ñ0. H -D- ch BT-2010)
M z
z z− + + =
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 11
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaú
Dạng 3: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬ
C HAI 
Yêu u bài toán thường chocầ dưới dạng: 
ố thực âm, căn bậc hai của số phứ
2) Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phứ
Một số bài toán minh họa 
1) Tìm căn bậc hai của s c. 
c. 
 Pt coù hai nghieäm 2 vaø 1KQ: .z i z i= = − + 
( )
ng phöùc
 bieåu dieãn soá phöùc thoûa: 1 .
 (ÑH-B-2010)
M
z z i i z− = +
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn soá phöùc thoûa:
 2. 2
M z
z i z z i− = − + 
2
Taäp hôïp caùc ñieåm caàn tìm laø parabol (
 Keát 
) :
quaû:
.
4
xM P y =
( ) ( )2
Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc:
 1 2 1 2 4 0. i z i z− − + − =
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 12
 Các quy tắc nh ường hợp xét pt bậc hai 
ên tập số phức. Chẳng hạn: 
 ẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong tr
tr
(
 ) ( )Ta coù: 2 3 4 3 1 0. 
1 5 1Vaäy pt coù hai nghieäm 1 vaø .
2 3 13 13
i i i
iz z i
i
− + − + − =
−= = = +−
Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 
Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp: 
- Phương trình có ẩn ở mẫu 
- Phương trình bậc cao. 
ột số bài toán minh họa 
M
( )2
( )
( )
2
2
Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc:
1 63 16 0
 5 2 vaø 3 4 
3) 3 1 0;
3 2 13 1 2 13 + 
2 2
 KQ:
 vaø 
z i
z i z i
z i z
1) 3 2 5 5 0z i z i+ − + − =
 1 3 vaø 2 KQ: z i z i= − + = − −
2) 8
 KQ:
z i
3 2
z i
z
+ − =
= − = +
− + + =
+ + + − +=
−=
− −
13 1 2 13+
2 2
+ − − + i
( )
Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc:
 2 3 3 1 0. i z i− + − + − =) (2 4i z
Giaûi phöông trình treân taäp soá phö
(CÑ-A,B-2009)
ùc:
4 3 7 2 . z i z i
z i
− − = −−
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 13
 Phươ i chú ý đặt điều kiện 
ho mẫu thức rồi sau đó biến đổi phương trình quy về bậc hai. 
ng trình trên thuộc dạng có ẩn dưới mẫu, khi giải phả
c
( ) ( )22 2
Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc:
4 12 0.z z z z+ + + − =
2
2
2
2
Ñaët , phöông trình trôû thaønh:
6
 4 12 0
2
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
1 23
2
6 0
1
2
cho coù boán nghieäm 
t z z
t
t t
t
iz
z z
z
z
= +
= −⎡+ − = ⇔ ⎢ =⎣
⎡ − −=⎢⎢⎡
=⎢⎢ = −⎣
i
i
i treân.
1 23 
22 0
iz
z z
+ + = ⎢ − +⇔ =⎢ ⎢+ − =⎣ ⎢
Vaäy phöông trình ñaõ 
( ) ( )
( ) ( )2
2 2
Ñieàu kieän: 
4 3 7 2 4 3 7 . 2
3 4 4 1 7 3 4
i cuûa .
ng trình:
2
13
2 4
z i
z i z
( )2 3 4 1 7 0 (1)
Goïi ( , ) laø moät caên baäc ha
Ta coù heä phöô
i z i z i z i
z i
i i i
x
yx y
xy x
≠
− − = − ⇔ − − = − −−
Δ = + − + = −
Δ
=⎧⎨ = −⎧ − = ⎩⇔⎨ = − = −⎩
i
i
( )
2
3
(1) thoûa ñieàu kieän
1 2
Vaäy pt (1) coù hai nghieäm: 3 vaø 1 2 .
z i
z i
z i z i⇔ − + + + =
x yi x yδ = + ∈
i
\
1y
z i z i
⎡⎢⎢⎢⎧⎢⎨⎢⎣
= +⎡⇔ ⎢ = +⎣
= + = +i
=⎩
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
H
Để giải phương trình bậc bốn trên, ta có thể đặt ẩn phụ quy về phương trình 
ậc hai. Trong nhiều trường hợp, có thể dùng phương pháp giải phương trình đối 
ứng hoặc tựa đối xứng như trong tập số thực. Bài tập sau đây minh họa cho trường 
ợp nói trên. 
SƠ ĐỒ CÁC BƯỚC GIẢI 
b
x
h
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng T PT Chuyeân Beán Tre Trang 14
Dạng 5: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 
Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 
1) Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượ
2) Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượ
3) Bài toán ứng d
Một số bài toán minh họa 
ng giác và ngược lại. 
ng giác. 
ụng công thức Moa-vrơ. 
2
4 3Cho pt: 1 0 (1) 
2
zz z z− + + + =
2
2
2
 pt ñaõ cho töông ñöông:
1 1 1 0
2
1
 1)Vì 0 khoâng laø nghieäm phöông trình, 
 neân
1 5 0 (1)
2
z
z z
z z
− + + + =
⎛ ⎞z z
z z
=
⎛ ⎞⇔ − − − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
1 3
5 2 0 
z
it
t t
+⎡ =⎢⇔ − + = ⇔ ⎢
1 2)Ñaët ,(1) trôû thaønh:
1 32
2
t z
it
= −
−⎢ =⎢⎣
( )2
1 3 1 1 3 4)Vôùi , ta coù 
2 2
 2 1 3 2 0
1
 1 1
2 2
äy pt ñaõ cho coù 4 nghieäm treân. 
i it z
z
z i z
z i
z i
− −= − =
⇔ − − − =
= −⎡⎢⇔ ⎢ = − −⎣
 Va
( )2
1 3 1 1 3 3)Vôùi , ta coù 
2 2
 2 1 2 0 (2)
1 3 3 1
4 8 6 ,(2) 
1 3 3 1 1
4 2 2
i it z
z
z i z
i iz i
i
i i
+
3
z i
+= − =
⇔ − + − =
+ + +⎡ = = +⎢Δ = + ⇔ ⎢ + − −⎢ = = − +⎢⎣
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông T 15hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 
 Để giải được dạng bài tập trên, ngoài việc nắm vững định nghĩa dạng lượng giác 
ức, h c giá trị lượng giác của các góc 
ối liên quan đặc biệt. 
của số ph ọc sinh còn phải biết vận dụng công thứ
(cung) có m
( )( )
Vieát caùc soá phöùc sau döôùi daïng löôïng giaùc:
a) 1 3 1 ; b) sin cos .z i i w i= − + = ϕ + ϕ
a) Ta coù 1 3 2 cos sin
3
i i⎡ π⎛ ⎞ ⎛− = − + −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) ( )
;
3
 1 2 cos sin
4 4
 Vaäy 1 3 . 1 2 2 cos sin .
12 12
i i
i i i
π ⎤⎞⎟⎥
π π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
i
⎡ π π ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦i
b) sin cosz i= ϕ+ ϕ
 =cos sin .
2 2
i π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ϕ + − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tìm moät acgumen cuûa soá phöùc sau:
 1 sin cos 0
2
z i π⎛ ⎞= − ϕ + ϕ < ϕ <⎜ ⎟⎝ ⎠
2
 1 cos sin
2 2
 2sin .2sin
4 2
Ta coù: 1 sin cos ; 0
2
cos
4 2 4 2
z i
i
i
π⎛ ⎞= − ϕ + ϕ < ϕ <⎜ ⎟⎝ ⎠
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ϕ + − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π ϕ π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π ϕ π ϕ π ϕ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2sin sin cos
4 2 4 2 4 2
i= − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
 2sin
⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦
π ϕ ⎡ π ϕ π ϕ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ cos sin . (1)4 2 4 2 4 2
Do 0 neân 0 0 2sin 0.
2 2 4 4 2 2 4 2
Vaäy (1) chính laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc treân.
Vì theá 
i
⎡ ⎤
+ + +⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
π ϕ π π ϕ π π ϕ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 chính laø moät acgumen cuûa soá phöùc .
4 2
zπ ϕ−
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 16
Thực chất bài tập trên là yêu cầu viết dạng lượng giác của số phức. Bài tập sau 
ây cũng mang ý nghĩa như trên nhưng ở mức độ nâng cao hơn. 
Bước 1: Đặt điều kiện cho ẩn z, giải pt điều kiện tìm z 
Bước 2: Áp dụng công thức Moa-vrơ để tìm w 
Bước 3: Kết luận phần thực và phần ảo của w. 
( KQ: Phần thực của w bằng -1, phần ảo của w bằng 0.) 
Trong bài tập trên có thể thay số mũ 2008 bởi số khác sẽ được bài tương tự. Khi đó 
có th vận dụng công thức cung liên kết của lượng giác để hỗ trợ tính toán. 
Dạng 6:
đ
ể
 NHỊ HỨC NIU-TƠN VÀ SỐ PHỨC 
 T
Yêu cầu bài toán thường cho dưới dạng: 
1) Tính tổng. 
2) Chứng minh đẳ
 minh 
ng thức phụ thuộc số tự nhiên. 
 B
ài toán họa 
)
2008
2008
Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc
1 1 , neáu 1. w z z
z z
= + + =
( ) ( )2 22 4 1 3 5
Vôùi moïi soá nguyeân döông n, haõy chöùng minh heä thöùc sau:
1 ... ... 2 . nn n n n nC C C C C− + + − + = 
( ) ( ) (2 4 1 3 5
0
iu- tôn ta coù:
 1 ... ... .nn k kn n n n n n
k
Xeùt soá phöùc 1 . Theo coâng thöùc khai trieån nhò thöùc N
n
z i= +
z 1
( ) ( )2 22 4 1 3 51 ... ... .n n n n n n
Maët khaùc: = nn
i C i C C C C C i
=
= + = = − + − + − + −∑
)2 2 (ñpcm).n=
z C C C C C⇒ = − + − + − + − 
z z . Suy ra:
( ) (22 4 1 3 51 ... ...n n n nC C C C C− + − + − + −n
0 2 4
2010 2010 2010Tính toång: ...S C C C= − + − 2004 2006 20082010 2010 2010C C C+ − +
2010Khai trieån nhò thöùc Niu-tôn (1 )i+
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông T Trang 1hò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre 7
2Tìm soá phöùc bieát: 0; , vaø K .Q:+ = = = = −0z z z z z i z i
( ) ( )2 2
Tìm taäp hôïp caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc bieåu dieãn 
soá p (ÑH-D-2009)
KQ: 
höùc thoûa: (3 4 ) 2.
Ñöôøng troøn 3 4 4.
− − =
− + + =
M
z z i
x y
3
( ÑH-B-2009)
 KQ: 
a) Cho soá phöùc thoûa: (2 ) 10 vaø . 25. Haõy tìm . 
3 4 vaø 5.
2; 1 3 vaø 1 3.
− + = =
= + =
= − = − = +
z
b) Gpt: 8 0.+ =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) )
1 2
2 2
1 2
1 2
3 3
Giaûi caùc hpt sau
4
1) 
5 2
 ; 3 ;1 2 vaø ; 1 2 ;3
3(1 )
2) 
9( 1 )
 ; 2 ;1 2 vaø ; 1 2 ;
KQ:
KQ: 2
z z
z z i
z z i i z i
z w i
z w i
(
1 2z
 treân taäp soá phöùc:
i
z w i i z w i i
+ = +⎧⎨ + = −⎩
= − + +
+ = +⎧⎨ + = − +⎩
=
= + + = + +
 KQ: 
z i z z z
z i z
z z z
z
1 2 3 1 2 3
2 1
1 2 3
3 2
Cho ba ñieåm , , töông öùng vôùi caùc soá phöùc , , .M M M z z z
z Chöùng minh r
laø moät s
aèng neáu , , thaúng haøng thì tæ soá
oá thöïc. 
zM M M
z
−
−z
0 2 2 4 3 6
1 3 2 5
Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta coù caùc heä thöùc:
3 3 3 ... 2 cos
3 
23 3 ... sin .
33
n
n n n n
n
n n n
nC C C C
nC C C
π⎧ − + − =⎪⎪⎨ π⎪ − + − =⎪⎩
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 18
3) MINH HỌA VIỆC ỨNG DỤNG MAPLE BIÊN SOẠN CÁC ĐỀ TOÁN VỀ 
SỐ PHỨC 
 Khi ra đề kiểm tra về số phức cho học sinh, để tránh phải tính toán nặng nề, giáo 
viên thường trích từ những tài liệu tham khảo có sẵn đáp số hoặc lời giải. Vì thế các 
d ập dễ bị trùng lắp và số lượng bài cũng hữu hạn. Còn nếu tự sáng tác đề bài 
một cách ngẫu nhiên thì sau đó phải gia công tính toán nặng nề và tốn rất nhiều thời 
gian. Phần mềm Maple chính là công cụ hữu hiệu giúp giáo viên giải quyết vấn đề một 
cách sáng tạo và khoa học. Nhờ đó, GV ra đề bài tập theo chủ ý và nhanh chóng kiểm 
tra kết quả. Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi xin minh họa qua ba dạng bài tập sau: 
a) Dạng : Các phép tính về số phức 
Dùng các lệnh: expand (khai triển), solve (giải pt), conjugate (số phức liên 
hợp), abs ( môđun số phức), Re ( phần thực), Im (phần ảo),... 
Ví dụ 1: 
ạng bài t
• Ta có thể thực hiện lệnh khai triển như sau: 
( ) ( )+ − = + + +2
Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc bieát:
1 . 2 8 (1 2 ) (CÑ A,B, D - 20 ) 09
z
i i z i i z
 • Sau đó dùng lệnh giải phương trình: 
 • Hoặc thay cả hai lệnh trên bởi lệnh: 
 • Từ đó dễ dàng kiểm tra phần thực và phần ảo của z. 
Chú ý: 
Họ
trê hác thì có ngay 
i và đáp số tương ứng. 
í dụ 2: 
c sinh có thể dùng MTCT để tính ở bước cuối rồi kết luận ( tr 7). Với cú pháp 
n, GV nhanh chóng tìm được đáp số. Ngoài ra có thể thay bởi số k
một đề mớ
V 
3/ Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc bieát:
5 5 20
z 
 . 
3 4 4 3
= +− +
 (KT giöõa HKI 2010 -2011-chuyeân BT)
+ iz
i i 
• Tương tự VD1 hoặc dùng lệnh gán: 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 19
Ví dụ 3: ( ) 
• Ta có thể thực hiện lần lượt các lệnh sau: 
 • Hoặc để kiểm tra kết quả, ta dùng lệnh gộp sau: 
Chú ý: Có thể tìm phần thực, phần ảo bằng lệnh: 
Ví dụ 4: 
• Học sinh dùng công thức tính tổng CSN, GV kiểm tra KQ bằng lệnh: 
Chú ý: Có thể dùng phím tính tổng trong Maple. 
b) Dạng : Phương trình và hệ phương trình 
• Dùng Maple, GV dễ dàng kiểm tra nghiệm của pt bậc hai với h ố phức hoặc hệ ệ s
phương trình bằng lệnh solve như sau: 
Ví dụ 5: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 51 1 3 + 1 3 + 1 3
 Tính toång:
 + 1 3 + 1 3 + 1 3 = + − − − − − −
∗
S i i i i i
6
i
= +−
3
1- 3
Cho soá phöùc thoûa: .Tìm moâñun cuûa soá phöùc 
1
 (ÑH -A- 0 201 )
i
z z z iz
i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 20
( ) ( )2
Giaûi phöông trình sau treân taäp soá phöùc:
 1 2 1 2 4 0. i z i z− − + − =
Ví dụ 6: 
 ( ) ( )2
ng trình sau treân taäp soá phöùc:
2 3 4 3 1 0. i z i z i− + − + − =
Giaûi phöô
• Tương tự VD5: 
Ví dụ 7: 
• Dùng lệnh solve như sau: 
Chú ý: Trong các bài toán trên, nếu thay đổi số liệu ta dễ dàng có đề bài và 
đáp số tương ứng. Ngoài ra, có thể dùng lệnh expand để lập phương trình bậc 
hai nếu biết hai nghiệm (có thể phức) của nó. Chẳng hạn thực hiện các bước: 
- Lập pt bậc hai biết hai nghiệm là 1+2i và 3-4i: 
- Thu gọn pt bằng lệnh sort(collect(..., )); z
Giaûi phöông trình treân taäp s á phö
(CÑ-A,B-2009)
o ùc:
4 3 7 2 . z i z i
z i
− − = −−
( ) ( )22 2
Giaûi phöông trình treân taäp soá phöùc:
4 12 0.z z z z+ − =+ +
2
4 3Cho pt: 1 0 (1) 
2
zz z z− + + + =
3 3
Giaûi hpt sau treân taäp soá phöùc:
3(1 )
9( 1 )
+ = +⎧⎨ + = − +⎩
z w i
z w i
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 21
c) Dạng : Khai triển hàm lượng giác 
Ví dụ 8: Biểu diễn sin6x và cos6x lần lượt theo sinx và cosx. 
Nhận xét: 
 Ví dụ trên minh họa cho việc ứng dụng Maple để chứng minh công thức 
dạng biểu diễn lần lượt sinnx, cosnx theo sinx, cosx. Đồng thời thể hiện quan 
 thực” trong toán học. 
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Bằng việc hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp một số dạng bài tập về số 
phức như trên, tôi đã trang bị cho các em học sinh một chuẩn kiến thức cần thiết để g i 
quy ã mang lại kết quả đáng khích lệ: Qua thực t
bài kiểm tra và bài thi của học sinh khối 12 và lớp 11 chuyên toán, có khoảng học 
sinh cho lời giải khá tốt. Điều này chứng tỏ các em đã có sự tiến bộ về nhận thức và kĩ 
năng vận dụng phương pháp giải các dạng toán nói trên. Từ đó, học sinh chủ động sáng 
tạo hơn trong việc học toán và thêm yêu thích bộ môn. 
Việc ứng dụng phần mềm Maple để sáng tác đề và kiểm tra kết quả các bài tập về số 
phức thật sự đã mang lại hiệu quả đáng kể hờ đấy, GV có trong tay một lượng bài tập 
pho khac nhau hay tương đồng giúp cho HS có nhiều cơ hội rèn 
luy n và phát triển tư duy. Đồng thời, GV có thể tổ chức cho HS 
kiểm tra nhiều mã đề khác nhau cùng mộ lúc với chất lượng đề tương đương. Như thế 
đảm khả năng tiếp thu của HS một cách khách quan và công b ng. 
điểm “Dùng cái phức để giải quyết cái
iả
ết thành công dạng toán này. SKKN đ ế 
85%
. N
ng phú với mức độ
ện kỹ năng tính toá
t 
 bảo việc đánh giá ằ
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 22
PHẦN KẾT LUẬN 
BÀI HỌC KINH NGHIỆM I. 
Với sáng kiến kinh nghiệm trên đây, bản thân rút ra được bài học kinh nghiệm trong 
công tác chuyên môn là: Để học sinh nắm vững phương pháp giải các dạng bài tập về 
số phức, giáo viên cần phải có sự gia công hệ thống các k n thức trọng tâm và phương 
p n phải chuẩn bị hệ thống bài 
p
p về số phức. Đồng thời, SKKN 
này
n 
phương pháp thích hợp và i bài toán. Chuyên đề “Kinh 
nghiệm soạn đề và phương i tập về số phức” có thể dùng 
 viên dạy toán THPT bổ sung kinh nghiệm ra đề và 
giả
 Thành phố Bến Tre, ngày 25 tháng 2 năm 2011. 
iế
háp giải một số dạng bài về số phức. Đồng thời, giáo viê
tậ đa dạng minh họa cho từng dạng bài nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple. Đặc biệt, 
giáo viên phải là người tạo động cơ để học sinh cùng tham gia giải quyết các vấn đề đặt 
ra. Sau cùng, giáo viên còn phải kiểm tra, đánh giá và rút kinh nghiệm cho các em về 
việc vận dụng các phương pháp này. 
II. Ý NGHĨA CỦA SKKN 
 Sáng kiến kinh nghiệm trên đã giúp cho giáo viên chủ động giảng dạy cho học sinh 
một cách hệ thống và tương đối đầy đủ các dạng bài tậ
 còn giúp cho học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kĩ năng giải toán. Từ đó học 
sinh có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi tiếp cận dạng toán này. 
III. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI 
SKKN này đã được trình bày theo chuyên đề và thiết kế dưới dạng giáo án điện tử 
dùng giảng dạy cho các em học sinh lớp 11 chuyên toán và khối 12 ôn thi Tốt nghiệp, 
Cao đẳng – Đại học. Được học chuyên đề này, học sinh sẽ dễ dàng có sự lựa chọ
vận dụng sáng tạo cho mỗ
 pháp giải một số dạng bà
làm tài liệu tham khảo cho giáo
ng dạy dạng toán này. 
IV. KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 
Qua việc trình bày nội dung chuyên đề trên, chúng tôi thật sự muốn chia sẻ với quý 
anh chị đồng nghiệp cùng các em học sinh một vài kinh nghiệm mà bản thân đã góp 
nhặt trong quá trình giảng dạy. Rất mong nhận được sự trao đổi, góp ý cho chuyên đề 
từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh. Hy vọng SKKN này sẽ góp phần nâng 
cao chất lượng dạy và học toán ở trường THPT. 
 Người viết 
 Dương Thị Xuân An 
Saùng kieán kinh nghieäm Thaùng 2 naêm 2011 
GV: Döông Thò Xuaân An – Tröôøng THPT Chuyeân Beán Tre Trang 23
MỤC LỤC 
 2) Một số dạng bài tập về số phức 6 
 3) Minh họa ứng dụng Maple biên soạn các đề toán về số phức 18 
 Phần kết luận 22 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
ương trình nâng cao 
) Các tài liệu tập huấn ứng dụng CNTT trong dạy học và tài liệu 
BDT
) Các phương pháp cơ bản tính nguyên hàm, tích phân và số 
 Phần mở đầu Trang 1 
 Phần nội dung 2 
1) Tóm tắt giáo khoa 3 
 17 Bài tập củng cố 
1) Sách giáo khoa lớp 12 ch
2
X 
3
phức ( Tác giả: Phan Huy Khải)