Sáng kiến kinh nghiệm Hệ thức vi - Ét và ứng dụng

ương trình bậc hai 
trong chương trình đại số 9 
 *Giúp học sinh giảm bớt khó khăn, lúng túng khi học nội dung có liên 
quan đến hệ thức vi - ét, giúp các em phân loại được các dạng toán từ đó tìm 
ra cách giải phù hợp 
III - ĐỐI TƢƠNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 
* Nghiên cứu phần ứng dụng của hệ thức vi - ét trong phương trình bậc 
hai : ax
2
 + bx + c = 0 (a  0) có chứa tham số 
*Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến hệ thức vi - ét và ứng dụng của 
nó 
* Giáo viên giảng dạy cấp THCS và đặc biệt là học sinh lớp 9 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 5 - Trường THCS Viên An 
IV - CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 
 - 
 1. Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận 
 Đọc các tài liệu liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải 
 +) Tạp chí toán học 
 +) Sách giáo khoa, sách giáo vên 
 +) Sách tham khảo 
 +) Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 
 +) Phương pháp giảng dạy môn toán THCS 
 2. Phƣơng pháp thực nghiệm 
 Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả của đề tài 
 3. Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm 
 Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 6 - Trường THCS Viên An 
PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG 
A - HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn 
 Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 (a  0) trong đó a, b, c là các số 
cho trước ; x là ẩn 
2. Công thức nghiệm: 
 Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a  0) 
 Ta có : 2 4b ac   . 
 +) Nếu 2 4 0b ac    thì phương trình vô nghiệm 
+) Nếu 2 4 0b ac    thì phương trình có hai nghiệm phân biệt : 
2
1,2
4
2
b b ac
x
a
  
 
 +) Nếu 2 4 0b ac    thì phương trình có nghiệm kép: 1,2
2
b
x
a

 
3. Hệ thức Vi - ét: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a  0). Nếu phương trình 
có hai nghiệm x1 , x2 thì S = x1 + x2 = - 
b
a
; P = 1 2.
c
x x
a
 
Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình ax
2
 + bx + c = 0 (a  0) ta có thể sử 
dụng định lí Vi - ét để tính các biểu thức của x1 , x2 theo a, b, c. 
+) S1 = x1 + x2 = - 
b
a
+) S2 =  
2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
2
2
b ac
x x x x x x
a

     
+) S3 =    
3
33 3
1 2 1 2 1 2 1 2 3
3
3
abc b
x x x x x x x x
a

      
+)    
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
4
4
b ac
x x x x x x x x
a

       
B - CÁC ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI - ÉT. 
a. Nhẩm nghiệm: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a  0). 
 Nếu a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 = 
c
a
Nếu a - b + c = 0 => x1 = - 1; x2 = - 
c
a
b. Tìm hai số khi biết tổng và tích 
Cho hai số x, y biết rằng x + y = S; x.y = P thì x , y là nghiệm của phương trình 
 x
2
 + Sx + P = 0 
c. Phân tích thành nhân tử: 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1 , x2 thì 
 ax
2
 + bx + c = a( x - x1) (x - x2) 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 7 - Trường THCS Viên An 
d. Xác định dấu của các nghiệm số : 
 Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a  0). 
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thì x1 + x2 = - 
b
a
; 
1 2.
c
x x
a
 . 
*Nếu P = 
1 2.
c
x x
a
 < 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu 
*Nếu P = 
1 2.
c
x x
a
 > 0 và 2 4b ac   > 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng 
dấu. Khi đó: * Nếu S = x1 + x2 = - 
b
a
 > 0 thì phương trình có hai nghiệm dương. 
 * Nếu S = x1 + x2 = - 
b
a
< 0 thì phương trình có hai nghiệm âm 
e. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm 
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình: ax
2
 + bx + c = 0 (a 
 0) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2 
Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 , x2 theo S và P: 
 ( S = x1 + x2 = - 
b
a
; P = 1 2.
c
x x
a
 ) 
 +) 2 2 21 2 2x x S P   
 +)  3 3 21 2 3x x S S P   
 +) 
1 2
1 1 S
x x P
  
 +) 
2
2 2 2
1 2
1 1 2S P
x x P

  
f. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số 
Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số ta thực hiện 
theo các bước sau: 
 Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm:
0
0
a 

 
 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét ta tính: S = x1 + x2 = - 
b
a
; P = 1 2.
c
x x
a
 theo tham số 
 Bước 3: Khử tham số để lập hệ thức giữa S và P từ đó ta suy ra hệ thức giữa hai 
nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
g. Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trƣớc ta thực hiện 
theo các bƣớc sau: 
 Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm 
 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi - ét tìm tổng và tích hai nghiệm theo tham số 
 Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua tổng và tích 2 nghiệm 
 Bước 4: Kết luận 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 8 - Trường THCS Viên An 
C - CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG 
DẠNG I - NHẨM NGHIỆM 
Ví dụ: Nhẩm nghiệm các phương trình sau: 
a) x
2
 - 7x + 10 = 0 b) x
2
 + 14x + 48 = 0 
c) x
2
 - 6x - 27 = 0 d) x
2
 + 4x - 12 = 0 
Giải 
a)Ta có 2 4b ac   = 9 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
 Áp dụng định lí Vi - ét ta có: 
 x1 + x2 = 7 
 x1.x2 = 10 = 2.5 
 mà 2 + 5 = 7 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 2 và x2 = 5 
b) Ta có 2 4b ac   = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
 Áp dụng định lí Vi - ét ta có: 
 x1 + x2 = - 14 
 x1.x2 = 48 =( -6)(-8) 
 mà (-6)+ (-8) = -14 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -6 và x2 = -8 
c) Ta có 2 4b ac   =144 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
 Áp dụng định lí Vi - ét ta có: 
 x1 + x2 = 6 
 x1.x2 = -27 = -3.9 
 mà (-3) +9 = 6 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -3 và x2 = 9 
d)Ta có 2 4b ac   =64 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
 Áp dụng định lí Vi - ét ta có: 
 x1 + x2 = -4 
 x1.x2 = -12 = - 6.2 
 mà (-6) +2 = -4 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = -6 và x2 = 2 
DẠNG II - TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG 
Ví dụ: Cho a và b là hai số thực thỏa mãn: 5a + b = 22. Biết phương trình 
 ax
2
 + bx + c = 0 có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Hãy tìm hai nghiệm đó? 
Giải 
Gọi x1; x2 là hai nghiệm nguyên dương của phương trình 0 < x1 < x2 ) 
Để phương trình có nghiệm 2 4b ac   > 0. Áp dụng hệ thức Vi -ét ta có: 
 a = - x1 - x2 và b = x1. x2 
Theo giả thiết : 5 - x1 - x2) + x1. x2 = 22 
  -5x1 - 5x2 + x1. x2 = 22 
  x1(x2 - 5) - 5(x2 - 5) = 47 
  (x1 - 5) (x2 - 5) = 47 (*) 
Do phương trình có nghiệm là hai số nguyên dương nên 1 24 5 5x x     nên 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 9 - Trường THCS Viên An 
  1 1
2 2
5 1 6
*
5 47 52
x x
x x
   
  
   
Khi đó a = -58; b = 312 thỏa mãn 5a + b = 22 
Vậy hai nghiệm của phương trình là x1 = 6 và x2 = 52 
DẠNG III - BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM 
Ví dụ1: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm 
của phương trình. Tính giá trị các biểu thức sau: 
a) 2 2
1 2x x ; x1
3
 + x2
3
 ; x1
4
 + x2
4
b) x1
2
.x2
3
 + x1
3
.x2
2
 ; 1 2x x 
Giải 
 Ta có  = 17 > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có S = x1 + x2 = - 5; P = x1.x2 = 2 
 a) 2 21 2x x = (x1 + x2 )
2
 - 2x1x2 = S
2
 - 2P = 21 
  3 3 21 2 3x x S S P   = - 95 
 x1
4
 + x2
4
 = (S
2
 - 2P)
2
 - 2P
2
 = 433 
 b) x1
2
.x2
3
 + x1
3
.x2
2
 = P
2
S = - 20 
 1 2x x = 
2 4 17S P  
Lưu ý : Ở bài này ta có thể tính trực tiếp x1 ; x2 rồi thay vào biểu thức 
cần tính ta cũng có đáp số tương tự nhưng việc tính toán sẽ phức tạp hơn 
nhiều. 
Ví dụ 2: Cho f(x) = 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3. Gọi x1 ; x2 là hai 
nghiệm của f x). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 2 1 22 2x x x x  
Giải 
 Ta có : f(x) = 2x
2
 + 2(m + 1)x + m
2
 + 4m + 3 = 0  0  
  (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) 0 
  (m + 1)(- m - 5) 0 5 1m    
Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: S = - m - 1; P = 
2 4 3
2
m m 
Do đó A = 1 2 1 22 2x x x x  = 
2 24 3 8 7
2 2
2 2
m m m m
m
   
   
Ta có: m
2
 + 8m + 7 = m+1) m+7), nên với điều kiện 5 1m    thì 
 m
2
 + 8m + 7 0 
 
22 9 48 7 9
2 2 2
mm m
A
   
    . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = - 4. Vậy giá trị lớn nhất của biểu 
thức A là 
9
2
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 10 - Trường THCS Viên An 
Chú ý: Nếu ta không đặt điều kiện 0  thì việc khử dấu giá trị tuyệt 
đối trong bài này tương đối phức tạp. 
DẠNG IV - HỆ THỨC GIỮA HAI NGHIỆM KHÔNG PHỤ THUỘC 
THAM SỐ 
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 - mx + 2m - 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ 
giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số. 
Giải 
 Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi : 0   m2 - 8m + 12 0 
  (m - 4)2 - 4 0  
6
4 2
2
m
m
m

    
 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình, áp dụng hệ thức vi - ét ta có: 
 S = x1 + x2 = m (1); P = x1. x2 = 2m - 3 (2) 
Cách 1: Thế m từ hệ thức 1) vào hệ thức 2) ta có: x1. x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0 
Cách 2: Ta có hệ phương trình: 
 1 21 2
1 2 1 2
2 2
. 2 3 . 2 3
x x mx x m
x x m x x m
    
 
    
Trừ vế theo vế ta có: x1. x2 = 2(x1 + x2) - 3 = 0 
Ví dụ 2: Cho phương trình: mx
2
 - (2m+ 3)x + m - 4 = 0. 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
 b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc tham số m. 
Giải 
a) Phương trình: mx2 - (2m+ 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt 
  
   
2
000
9
0 2 3 4 4 0
28
mmm
mm m m
  
    
        
b) Với điều kiện phương trình có nghiệm ở trên, áp dụng hệ thức vi - ét ta có: 
S = x1 + x2 = 1 2
2 3 3 4 4
2 (1); . 1 (2)
m m
P x x
m m m m
 
      
Nhân hai vế của 1) với 4 và nhân hai vế của 2) với 3 ta được: 
1 2
1 2
12
4( ) 8
12
3 . 3
x x
m
x x
m

  

  

Cộng vế theo vế ta có: 4 x1 + x2 ) + 3x1.x2 = 11 
DẠNG V - ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI NGHIỆM LIÊN HỆ VỚI NHAU BỞI MỘT HỆ 
THỨC CHO TRƢỚC 
Ví dụ: Cho phương trình: mx
2
 - 2mx + 1 = 0. m là tham số) 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 11 - Trường THCS Viên An 
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm 
của phương trình theo m. 
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một 
nghiệm gấp đôi nghiệm kia. 
Giải 
a) *Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 => phương trình vô 
nghiệm 
 * Nếu m  0 thì phương trình đã cho có nghiệm khi: 
  ' 2
0
1 0 (*)
1
m
m m m m
m

        
 Khi đó các nghiệm của phương trình là: 
2 2
1 2;
m m m m m m
x x
m m
   
  
b) Với điều kiện *) phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 
 Theo hệ thức vi - ét ta có : x1 + x2 = 2 và x1 .x2 = 
1
m
Theo giả thiết ta có: x1 = 2x2 hoặc x2 = 2x1 ), suy ra 1 2 1 2
4 2 2 4
; ( ; )
3 3 3 3
x x x x    
Suy ra x1 .x2 = 
1
m
  
8 1 9
1
9 8
m
m
    thỏa mãn điều kiện *). 
Vậy với m = 
9
8
 thì phương trình có một nghiệm gấp đôi nghhiệm kia. 
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
 - 2mx- 1 = 0. m là tham số) 
a) Chứng minh phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt 
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm m để x1
2
 + x2
2
 - x1x2 = 7 
Giải 
a) Ta thấy phương trình đã cho có a và c trái dấu nhau nên phương trình luôn có 
hai nghiệm phân biệt 
b) Theo câu a ta có với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân 
biệt 
 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 
Khi đó ta có: S = : x1 + x2 = 2m; P = x1 .x2 = -1 
Do đó x1
2
 + x2
2
 - x1x2 = 7  S
2 
- 3P = 7  (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =  1 
Vậy với m =  1 thì x1
2
 + x2
2
 - x1x2 = 7 
DẠNG VI - XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM SỐ 
Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm. Khi đó tùy theo m hãy chỉ ra dấu hai nghiệm của 
phương trình? 
Giải 
Phương trình có hai nghiệm  ' 0   1 - m  0  m  1 
Khi đó hai nghiệm của phương trình thỏa mãn: x1 + x2 = 2 > 0 và x1.x2 = m 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 12 - Trường THCS Viên An 
* Nếu m < 0, phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm dương có 
giá trị lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm. 
* Nếu m = 0, phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2 
* Nếu m 0 < m  1, phương trình có 2 nghiệm dương. 
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x - m + 1 = 0 
Xác định m để phương trình 
a) Có 2 nghiệm trái dấu 
b) Có 2 nghiệm dương phân biệt. 
Giải 
a) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2  P < 0 
  - m + 1 1 
Vậy với m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
b) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < x1 < x2 
 
2' 0 3 0
0 1 0 0 1
0 2 1 0
m m
P m m
S m
   

        
    
Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 
Ví dụ 3: Cho phương trình: m - 1)x2 + 2(m + 2)x + m - 1 = 0 
Xác định m để phương trình: 
a) Có một nghiệm 
b) Có 2 nghiệm cùng dấu 
Giải 
a) Xét 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: Với m - 1 = 0  m = 1 
Khi đó phương trình có dạng: 6x = 0 => x = 0 là nghiệm duy nhất của 
phương trình 
Trường hợp 2: Với m - 1  0 => m  1 
Khi đó để phương trình có một nghiệm thì: 
    
2 1
' 0 2 1 1 0 6 3 0
2
m m m m m              
Vậy với m = 1 và m = -1/2 thì phương trình có một nghiệm 
b) Để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu thì : 
6 3 0
' 0 1
11
0 20
1
m
mm
P
m
 
  
     
   
Vậy với 
1
1
2
m   thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. 
Ví dụ 4: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m )x + m - 4 = 0 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 13 - Trường THCS Viên An 
Xác định m để phương trình: 
a) Có hai nghiệm đối nhau 
b) Có đúng một nghiệm âm 
Giải 
a) Phương trình có 2 nghiệm đối nhau 
4
0
0
3
0 3
0
m
P m
m
S m
m

 
    
   

Vậy với m = 3 phương trình có hai nghiệm đối nhau 
b) Xét 2 trường hợp: 
Trường hợp 1: Với m = 0 
Khi đó phương trình có dạng: -6x - 4 = 0 => x = -2/3 thỏa mãn) 
Trường hợp 2: Với m  0 khi đó để phương trình có đúng một nghiệm âm 
thì: 
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
0
0
x x
x x
x x
x x
x x
 
  
       
 
4 0
2(3 )0 0 0
0 4
4
0 0 0 4
90
2 9 0
2
30
02
m
mf
mS m
m
P m
m
mm
b
m
a
m
  
 
                                
Vậy với m  
9
0,4
2
 
  
 
 thì phương trình có đúng một nghiệm âm 
DẠNG VII - LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CHO TRƢỚC HAI 
NGHIỆM 
Cách giải: Tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2 
Nếu S2 - 4P 0 thì x1, x2 là nghiệm của phương trình x
2
 - Sx +P = 0 
Ví dụ: lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm lần lượt là: 2 3;2 3  
Giải 
Ta có S = 2+ 3 + 2 - 3 = 4 
 P = (2+ 3 )(2 - 3 ) = 4 - 3 = 1 
Do S
2
 - 4P = 12 > 0 
Vậy 2 + 3 và 2 - 3 là 2 nghiệm của phương trình x2 - 4x + 1 = 0 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 14 - Trường THCS Viên An 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số 
nguyênvà có một nghiệm là 3 2
3 2


Giải 
Cho x1 = 
3 2
3 2


 = 
 
2
3 2
5 2 6
3 2

 

Chọn x2 = 5 2 6 
Ta có: S = 10; P = 1. 
 Vậy x1, x2 là nghiệm của phương trình x
2
 - 10x +1 = 0 có các hệ số là 
số nguyên. 
C - BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Dạng I : Nhẩm nghiệm phương trình sau: 
 a) 4x
2
 - 5x + 1 = 0 
b) 6x
2
 +  2 6 3 2 2 3 0x   
c) x
2
 -  2 1 2 0x   
Dạng II - Tìm 2 số khi biết tổng và tích 2 nghiệm 
Giải hệ phương trình sau: 
a) 
20
9
x y
xy
 


 b) 
4
9
4
x y
xy
 


 
 c) 
 3 2
1
3
x y
xy
 


 

Dạng III- Biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm 
Cho phương trình: x2 - 2 m +1)x + 2m + 2 = 0. Tìm m để phương trình 
có 2 nghiệm x1 ; x2 . Khi đó hãy lập phương treình có nghiệm như sau: 
a) - x1 và - x2 b) 3 x1 và 3 x2 c) x1 + x2 và - x1 x2 d) x1
3
 và x2
3
Dạng IV - Hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc tham số 
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa 
các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m 
Bài 2: Cho phương trình: m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0 
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc 
tham số m 
Dạng V - Điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước 
Bài 1: Cho phương trình: x2 - mx - 2(m2 + 8) = 0. Tìm m để phương 
trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1
2
 + x2
2
 = 52 
Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2x + m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có 
2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 1 2
2 1
10
3
x x
x x
   ; x1
2
 + x2
2
 +4x1x2 = 0 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 15 - Trường THCS Viên An 
Dạng VI - Xét dấu 2 nghiệm 
Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm của các 
phương trình bậc hai sau: 
 a) 3x
2
 - 5x + 7 = 0 b) x
2
 + 5x + 6 = 0 
 c) x
2
 - 5x + 6 = 0 d) 7 x
2
 - 4x - 1 = 0 
Bài 2: Cho phương trình: m -1)x2 - 2( m -1)x + m = 0 
 a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
 b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu 
 c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dương 
 + 
d)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm. 
D - KẾT QUẢ 
Sau khi dạy xong phần kiến thức này kết hợp với việc rèn kuyện giải 
một số bài tập tôi thấy : 
+) Học sinh nắm chắc được nội dung các vấn đề liên quan đến phương 
trình bậc hai, nghiệm của phương trình bậc hai, hệ thức vi - ét và các ứng 
dụng của nó. 
+) Học sinh biết phân biệt và nhận dạng bài tập, vận dụng linh hoạt 
được các kiến thức để giải toán 
+) Học sinh trình bày bài khoa học có lập luận chính xác. 
 Kết quả dạy thực nghiệm kiểm tra xác xuất ở 2 nhóm học sinh mỗi nhóm 
gồm 15 em kết quả thu được như sau: 
 Nhóm không áp dụng đề tài Nhóm áp dụng đề tài 
Trước Trên TB Dưới TB Trên TB Dưới TB 
8/15 7/15 8/15 7/15 
Sau 10/15 5/15 14/15 1/15 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 16 - Trường THCS Viên An 
E - BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
 *Đối với giáo viên : Cần phải xác định rõ từng dạng toán đồng thời 
thấy được mối quan hệ của những bài tập theo một trình tự hợp lý, lô gíc để 
dạy cho học sinh. 
Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài 
nâng cao đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa về dạng toán đã biết 
Phải hướng cho học sinh chọn phương pháp giải sao cho phù hợp. 
*Đối với học sinh: Phải rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ, phải say sưa 
tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo trong giải toán nếu có vướng mắc gì có thể cùng 
bạn trao đổi hoặc nhờ thầy cô hướng dẫn. 
*Đối với nhà trường: Cần phân loại học sinh để phụ đạo phù hợp với 
đối tượng và phương pháp hợp lý để giảng dạy. 
Tổ chức thường xuyên các buổi chuyên đề ở các tổ chuyên môn để thảo 
luận rút ra kinh nghiệm 
Tổ chức thường xuyên các buổi dạy thực nghiệm ở các lớp đội tuyển 
cũng như các lớp đại trà để tìm ra biện pháp giảng dạy hợp lý. 
F - HẠN CHẾ CỦA ĐỀ TÀI 
*Được học xong kiến thức này vẫn còn một số học sinh áp dụng giải 
bài tập máy móc chưa sáng tạo và khả năng nhận dạng bài tập chưa nhanh, 
phương pháp giải chưa gọn. 
*Về phía giáo viên chưa thực sự đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu, sưu 
tầm tài liệu nâng cao tay nghề nên việc biến đổi đề toán, lắp ghép chương 
trình còn gượng ép. 
Người thực hiện: Lê Thanh Tân - 17 - Trường THCS Viên An 
PHẦN THỨ BA - KẾT LUẬN 
Trên đây là một số vấn đề về hệ thức Vi - ét và các ứng dụng của nó 
để giải phương trình bậc hai thường hay gặp ở chương trình toán 9. Tuy 
rằng trong phạm vi nhỏ hẹp này chưa thật đầy đủ nhưng tôi mong muốn 
rằng đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc suy nghĩ và giải quyết 
mọi bài toán có liên quan đến hệ thức Vi -ét 
Trong thực tế thì loại toán này đa dạng và phong phú nhưng vì điều 
kiện thời gian và sự tiếp thu kiến thức của học sinh còn chưa cao và năng 
lực của bản thân cong hạn chế nên kinh nghiệm của tôi con chưa đầy đủ 
lắm. Vì vậy rất mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý 
kiến cùng với sự nỗ lực của bản thân để tôi tiếp tục hoàn thiện đề tài tốt hơn 
nữa. 
Viên An, ngày 22 tháng 4 năm 2011 
 Người thực hiện 
 Lê Thanh Tân