Sáng kiến kinh nghiệm Cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian

Trong chương trình toán học lớp 12 bài toán về tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi THPT QG trong những năm gần đây. Đây là phần kiến thức không khó, chỉ yêu cầu học sinh có trí tưởng tượng hình không gian, chịu khó rèn luyện. Nhưng với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức mà học sinh thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh khá, các em có thể làm được phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.

Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong không gian.

Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp những khó khăn nhất định.

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, định hướng được trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.

 

doc16 trang | Chia sẻ: myhoa95 | Ngày: 26/10/2018 | Lượt xem: 72 | Lượt tải: 1Download
Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học lớp 12 bài toán về tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi THPT QG trong những năm gần đây. Đây là phần kiến thức không khó, chỉ yêu cầu học sinh có trí tưởng tượng hình không gian, chịu khó rèn luyện. Nhưng với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức mà học sinh thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Đối với học sinh khá, các em có thể làm được phần này. Tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu tham khảo, loại bài tập này khá nhiều song chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét các phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong không gian.
Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp những khó khăn nhất định.
Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “Cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, định hướng được trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
1. Thực trạng của vấn đề
	Thông qua quan sát, nghiên cứu, thăm dò một số ý kiến chúng tôi nhận thấy thực trạng dạy và học cách tính thể tích trong hình học không gian của giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi cũng còn những khó khăn tồn tại như:
	-Học sinh có cảm giác “sợ” hình học không gian nên không quyết tâm học và rèn luyện mảng kiến thức này.
	-Học sinh thiếu năng lực hình dung các hình không gian thông qua các hình biểu diễn, từ đó học sinh có sự nhầm lẫn các mối quan hệ trong không gian như song song, vuông góc, chéo nhau
	-Học sinh chưa biết vận dụng có hiệu quả những tính chất, quy luật đã nghiên cứu trong hình học phẳng để chuyển sang hình không gian.
	-Học sinh không biết bắt đầu từ đâu, thực hiện những hoạt động nào để giải quyết bài toán.
Những hạn chế trên do một số nguyên nhân chủ yếu sau:
	-Học sinh mỗi lớp đông, không đồng đều về năng lực nên giáo viên chỉ quan tâm truyền đạt hết kiến thức, chữa các bài tập trong sách giáo khoa mà không có thời gian phân loại, tìm tòi các cách giải hay, ngắn gọn.
	-Hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa thật phong phú về nội dung, hình thức còn đơn giản chưa tạo hứng thú khám phá cho học sinh.
	-Một thực tế là khả năng tưởng tượng không gian của học sinh còn hạn chế nên ảnh hưởng đến tiến trình giảng dạy của giáo viên trong khi thời gian dành cho dạy và học không thay đổi.
2. Các biện pháp để giải quyết vấn đề
Biện pháp 1: Tăng cường bồi dưỡng cho học sinh hứng thú và nhu cầu học toán từ đó tạo động lực thúc đẩy quá trình tự học, tự nghiên cứu.
	Để thực hiện giáo viên tăng cường sưu tầm, cung cấp cho học sinh một chuỗi bài tập có quan hệ với nhau mà mỗi bài là một khó khăn nhất định, làm cho học sinh thấy được nhiều tri thức, phương pháp khác nhau.
	Ví dụ: Giáo viên cho học sinh bài tập tính thể tích mà chưa xác định được chiều cao (chiều cao ẩn trong các mặt vuông góc, tính chất các hình) khi đó học sinh phải nhớ các tính chất của hai mặt phẳng vuông góc, tính chất các hình để dựng được chiều cao và tính được chiều cao đó.
Biện pháp 2: Tăng cường hoạt động phân tích, đánh giá lời giải, chỉ ra những khó khăn, sai lầm thường gặp để học sinh có ý thức khắc phục.
	Khó khăn học sinh thường mắc phải là tưởng tượng không gian, vì vậy khi dạy bài toán tính thể tích cũng như dạy hình học không gian nói chung giáo viên cần từng bước rèn luyện khả năng tưởng tượng, chỉ đúng quan hệ, cách xác định trong mỗi trường hợp cụ thể.
Biện pháp 3: Phát triển tư duy thuật toán
	Giáo viên giúp học sinh nhận thức được mình phải hoạt động gì ? Mỗi hoạt động có những thao tác gì? Thứ tự thao tác thế nào ? để hoàn thành nhiệm vụ. Giáo viên nên tập dượt cho học sinh đề xuất, thiết lập các thuật toán.
	Ví dụ: Quy trình xác định chiều cao, quy trình tính chiều cao dựa vào quan hệ góc, hoặc tính chiều cao dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc trong tam giác vuông 
Biện pháp 4: Tăng cường luyện tập các hoạt động trí tuệ từ đó tìm ra các cách giải khác nhau
	Giáo viên lựa chọn bài tập sao cho học sinh có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, hướng dẫn học sinh nhận xét cách giải hay nhất. Tuỳ theo năng lực của cá nhân mà các em lựa chọn cách giải phù hợp.
Trên cơ sở thực trạng và các biện pháp đã nêu trên, chúng tôi xin đưa ra một vài phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong hình học không gian, ở mỗi bài sẽ có phân tích để học sinh hiểu được ý tưởng và tri thức phương pháp phù hợp.
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1. Diện tích các hình cơ bản
	Trong phần này giáo viên cung cấp lại các công thức tính diện tích tam giác, diện tích hình vuông, hình bình hành, hình thang, hình thoi cho học sinh.
2. Công thức tính thể tích
a) Thể tích khối chóp
b) Thể tích khối lăng trụ
Trong đó: B là diện tích đáy; h là chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ.
3. Cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ
	Bước 1: Tính diện tích đáy
Dựa vào đề bài cho hình gì ta tính diện tích của hình đó theo công thức
Chú ý: Ghi (đvdt) trong đơn vị tính.
	Bước 2: Xác định chiều cao
-Đã cho chiều cao (hoặc cho hình lăng trụ đứng) thì không phải làm bước này.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình... biết SA vuông góc với mặt đáy thì SA là chiều cao.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng thì chiều cao là cạnh bên của lăng trụ đó.
	-Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh S ( hoặc 1 đỉnh của hình lăng trụ) là một điểm đặc biệt nào đó trên mặt đáy thì chiều cao là đoạn nối đỉnh với điểm đặc biệt đó.
Ví dụ1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình...,Hình chiếu vuông góc của S là trung điểm của AB...Khi vẽ hình và giải ta sẽ gọi tên cho trung điểm của AB là M chẳng hạn thì SM là chiều cao.
Ví dụ2: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình...Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt đáy là điểm M thuộc đoạn AB sao cho MA = kMB
Khi đó ta chia AB thành k+1 đoạn bằng nhau rồi xác định M rồi chỉ ra chiều cao là A’M.
	-Chiều cao cho ẩn trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là hình...Mặt bên (SAB) là tam giác cân (đều) và vuông góc với đáy. Khi đó dựa vào tính chất tam giác cân (đều) ta gọi trung điểm của AB là M chẳng hạn thì SM là chiều cao.
	-Đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau thì chiều cao là đoạn nối đỉnh với trọng tâm của đáy
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600, SA = SB = SC. Khi đó tam giác ABC đều và các cạnh bên bằng nhau nên chiều cao là đoạn nối S với trọng tâm tam giác ABC.
	-Hai mặt bên liền kề cùng vuông góc với đáy thì chiều cao là đoạn giao tuyến của hai mặt bên đó
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng này là chiều cao SA.
	Bước 3: Tính chiều cao
 Để tính chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ chúng ta cần chú ý chân đường cao nằm ở đâu trong hình khi đó chỉ cần kết nối với giả thiết: Biết một cạnh hợp với đáy một góc đã cho hoặc biết chiều dài cạnh đó thì Chiều cao, cạnh đã cho cùng với đường nối chân đường cao và chân cạnh đã cho là một tam giác vuông. Việc tính độ dài đường cao lúc này trở nên đơn giản.
	Bước 4: Tính thể tích
Áp dụng công thức về thể tích để tính ra kết quả
Chú ý: Ghi (Đvtt) trong kết quả.
	Khi vẽ hình ta vẽ mặt đáy trước. Điều quan trọng là xác định được chân đường cao ở vị trí nào trên mặt đáy rồi dựng đường cao là đường song song với trục oy.
B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ
I) Đã cho chiều cao
Ví dụ 1.(Trích Đề thi THPT QG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Phân tích: - Diện tích đáy là diện tích của hình vuông cạnh bằng a
Chiều cao là SA
Góc giữa SC và mặt đáy bằng 450 vậy SA tính được nhờ vào tam giác SAC vuông tại A.
Giải:
* Ta có (Đvdt)
* SA là chiều cao
* Hình chiếu vuông góc của SC trên mặt đáy là AC nên góc giữa SC và mặt đáy là => tam giác SAC vuông cân tại A => SA = AC
*ABCD là hình vuông cạnh a => AC = =SA
* (Đvtt)
Ví dụ 2( Trích ĐH.D.2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm của cạnh BC và . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Phân tích: - Đáy là hình thoi cạnh a, có 1 góc bằng 1200 vậy hình thoi này hợp bởi hai tam giác đều cạnh a.
Chiều cao là SA
Tính SA trong tam giác vuông cân SAM vì 
Giải:
*Vì => .Tam giác ABC đều cạnh a => AM = 
*Chiều cao là SA
*Tam giác SAM vuông cân tại A (Vì )
SA = AM = 
* (Đvtt)
II) Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh
Ví dụ 1 ( Trích ĐH.A.A1.2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Phân tích: - Đáy là hình vuông cạnh a
Đoạn nối đỉnh S với trung điểm M của cạnh AB là chiều cao 
Tính chiều cao nhờ vào tam giác SMD vuông tại M
Giải:
* (đvdt)
*Gọi M là trung điểm của AB. Ta có SM là chiều cao của hình chóp
*Trong tam giác MAD vuông tại 
A ta có: MD = 
*Trong tam giác SMD vuông tại M ta có: SM = 
* (đvtt)
Ví dụ 2(Trích ĐH.B.2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Phân tích: - Đáy là tam giác đều cạnh a
Đoạn nối đỉnh A’ với trung điểm M của AB là chiều cao
Tính chiều cao nhờ vào tam giác vuông A’MC
Giải:
* (đvdt)
*Gọi M là trung điểm AB => A’M là chiều cao của lăng trụ
*Hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt đáy là MC do đó góc giữa
A’C và mặt đáy là góc .CM = (Đường cao trong tam giác đều cạnh a)
*Trong tam giác A’Cm vuông tại M 
Ta có: A’M = CM.tanC = 
* (đvtt)
III) Chiều cao ẩn trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
Ví dụ 1 ( Trích ĐH.D.2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Phân tích: - Đáy là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a
Mặt bên vuông góc với đáy nên chiều cao nằm trong mặt bên (SBC) và vuông góc với giao tuyến của nó với mặt đáy.
Giải:
*Đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và có BC = a nên AB = AC = = 
 (Đvdt)
*Gọi M là trung điểm của BC. Ta có SM vuông góc với BC =>SM (ABC)
Vậy SM là chiều cao của hình chóp và SM = 
* (Đvtt)
Ví dụ 2: (Trích ĐH.A.A1.2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Phân tích: - Đáy là tam giác vuông biết 1 góc nhọn
Mặt bên vuông góc với đáy nên chiều cao nằm trong mặt bên (SBC) và vuông góc với giao tuyến của nó với mặt đáy.
Giải: 
*BC = a => AC = Ta có: AB = 
=> (Đvdt)
*Gọi M là trung điểm của BC => SM BC => SM(ABC) (Vì (SBC) (ABC)) và SM = 
* (Đvtt)
IV) Đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau 
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, , SA=SB=SC, SB tạo với đáy 1 góc 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Phân tích: - Đáy là hình thoi cạnh a và có 1 góc bằng 600 => đáy là hình thoi hợp bởi 2 tam giác đều.
Cho SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đều nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trọng tâm tam giác ABC
Tính chiều cao dựa vào tam giác vuông cân SGB
Giải:
*Ta có: (Đvdt)
*Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có SG (ABC) (vì ABC là tam giác đều và SA = SB = SC => S.ABC là hình chóp đều)
*Vì ABC là tam giác đều nên BG = BO = . Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy là GB nên góc giữa SB và mặt đáy là góc SBG bằng 450 => tam giác SGB vuông cân tại G => SG = BG = 
* (Đvtt)
V) Hai mặt bên liền kề cùng vuông góc với đáy
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên (SAB) và (SAD) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. 
Phân tích: - Đáy là hình vuông cạnh a
	 - Hai mặt bên vuông góc với đáy thì giao tuyến của chúng là SA vuông góc với đáy
	 - Tính SA dựa vào tam giác vuông SAC
Giải:
* ( Đvdt)
*Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng là SA vuông góc với đáy.
*Ta có tam giác SAC vuông tại A nên 
* (Đvtt).
C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 (Trích Đề thi thử THPT QG năm 2016 Thành phố Hà Nội)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, , Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 2 ( Trích ĐH.B.2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 3( Trích ĐH.A.A1.2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB.Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 4 (Trích Đề thi thử số 1 năm 2016 trên website: dethithu.net) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 5 (Trích Đề thi thử số 2 năm 2016 trên website: dethithu.net) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, BD = 2a, tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC = . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 6 (Trích Đề thi thử số 3 năm 2016 trên website: dethithu.net) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A, B, C. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
	Từ những biện pháp nêu trên sau khi áp dụng giảng dạy phần tính thể tích khối đa diện trong chương I Hình học lớp 12 tại các lớp 12A2, 12A4, 12A7 và giảng dạy ôn thi THPT QG tại các lớp 12A3, 12A5, 12A6 các em đã tự tin khi giải quyết bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trong các đề kiểm tra 1 tiết và thi thử THPT Quốc gia.
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quát và có hệ thống về bài toán tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, từ đó có kĩ năng giải thành thạo các bài toán thuộc chủ đề này và hơn thế có thể ứng dụng chúng vào một số bài toán thực tế khác. 
2. Giải quyết một cách tương đối triệt để bài toán về tính thể tích trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia.
3. Thông qua việc vẽ hình, tính toán, tìm con đường tối ưu để tính thể tích, tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ giáo dục và đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ bài toán về hình học không gian.
Một số đề xuất
Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, việc học sinh phát hiện ra những cách giải khác nhau cần được khuyến khích. Song trong những cách giải đó cần phân tích rõ ưu điểm và hạn chế từ đó chọn được cách giải tối ưu. Đặc biệt cần chú ý tới những cách giải bài bản, có phương pháp và có thể áp dụng phương pháp đó cho nhiều bài toán khác. Với tinh thần như vậy và theo hướng này các thầy cô giáo cùng các em học sinh có thể tìm ra được nhiều kinh nghiệm hay với nhiều đề tài khác nhau. Chẳng hạn, các bài toán về tính góc giữa các đối tượng hình học hay chứng minh đẳng thức hình học; các bài toán về ứng dụng của phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban giám khảo và các đồng nghiệp đã giúp đỡ và góp ý cho tôi hoàn thành đề tài SKKN này.
Tài liệu tham khảo
Bộ đề thi đại học, thi THPT QG, thi thử THPT QG từ năm 2012 đến 2016 trên Website: “thi.moet.edu.vn”; “dethithu.net”
Đề thi khảo sát tỉnh Phú Thọ, TP Hà Nội năm học 2015 - 2016 
Sách giáo khoa Hình học 12 

File đính kèm:

  • doccach_tinh_the_tich_khoi_chop_khoi_lang_tru_2971.doc
Sáng Kiến Liên Quan