Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy giải toán cho học sinh thông qua các phép biến đổi lượng giác

giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ;
2 2
  
  
 
 thì ta có 
2 2 2 2
2 2
2 2
( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan )
(1 )(1 ) (1 tan )(1 tan )
sin( ).cos( )
cos .cos .
cos .cos
1 1
sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; )
2 2
a b ab x y x y
a b x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y
   

   
 

      
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 10 
Một số bài tập tự luyện 
 Bài 1/Chứng minh rằng : 
2 21 1
) 1 ( , 1; 1)
.
) ( )( ) ( ; ; ; 0)
a b
a a b a b
a b
b ab cd a c b d a b c d
  
   
     
Bài 2 : Cho a2 +b2 = c2 + d2 =1 Chứng minh rằng: 2 a(c d) b(c d) 2      
Bài 3 :Cho a2 + b2 = 1 : Chứng minh rằng: 
2 2
2 2
2 2
1 1 25
a b
a b 2
   
      
   
Bài 4 :Chứng minh rằng: 2 2
3 2 3 2
3x x 1 x
2 2
 
    ( 1  x -1) 
Bài 5: 
Chứng minh rằng:     3 32 21 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a        (1  a -1 
 Bài 6 : Chứng minh rằng: 22a a 3a 3 2    ( 2  a 0 ) 
 Bài 7 : Chứng minh rằng:  3 24a 24a 45a 26 1 a 1;3     
 Bài 8 : Cho x2 + y2 = 1 . CMR : 5 5 3 316( ) 20( ) 5( ) 2x y x y x y      
 Bài 9 
 Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) 
 Chứng minh rằng : 
2 2 2
1 1 1
12
x y z
   
 Bài 10 Cho x;y thỏa mãn   2 24 4 4x x y y     .Tính x + y 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 11 
 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 
Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác. 
Ta nêu lại các công thức đã học sau : 
 1 Công thức cộng - trừ: 
1/  sin a b sin a.cos b sin b.cos a   
 2/  sin a b sin a.cos b sin b.cos a   
3/  cos a b cos a.cos b sin a.sin b   
4/  cos a b cos a.cos b sin a.sin b   
5/  
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb

 

 6/  
tga tgb
tg a b
1 tga.tgb

 

7/  
cotga.cotgb 1
cotg a b
cotga cotgb

 

  
cotga cotgb 1
8 / cotg a b
cotga cotgb

 

 2. Công thức góc nhân đôi: 
1/    
2 2
sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a       
2/ 2 2 2 2cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a      
3/ 
2
2tga
tg2a
1 tg a


 4/ 
2cot g a 1
cotg2a
2 cotga

 
 3. Công thức góc nhân ba: 
1/ 3sin 3a 3 sin a 4 sin a  2/ 3cos3a 4 cos a 3 cosa  
3/ 
3
2
3tga tg a
tg3a
1 3tg a



 4/ 
3
2
cot g a 3 cotga
cotg3a
3 cotg a 1



 4. Công thức hạ bậc hai: 
1/ 
2
2
2
1 cos2a tg a
sin a
2 1 tg a

 

 2/ 
2
2
2
1 cos2a cotg a
cos a
2 1 cotg a

 

3/ 2
1 cos2a
tg a
1 cos2a



 4/ 
1
sin a cos a sin 2a
2
 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 12 
 5. Công thức hạ bậc ba: 
1/  3 1sin a 3 sin a s in3a
4
  2/  3 1cos a 3 cos a cos 3a
4
  
 6. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua 
x
t tan
2
 : 
1/ 
2
2t
sin x
1 t


 2/ 
2
2
1 t
cos x
1 t



3/ 
2
2t
tgx
1 t


 4/ 
21 t
cotgx
2t

 
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng: 
1/    1cos a.cos b cos a b cos a b
2
      
2/    1sin a.sin b cos a b cos a b
2
      
3/    1sin a.cos b sin a b sin a b
2
      
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích: 
1/ 
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
2 2
 
  
2/ 
a b a b
cos a cos b 2 sin .sin
2 2
 
   
3/ 
a b a b
sin a sin b 2 sin .cos
2 2
 
  
4/ 
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
 
  
Sau đây là một số bài tập minh họa. 
 Bài 1: 
 Cho x+ y + z = xyz ,với ĐK mẫu số khác không Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3
. .
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
x x y y z z x x y y z z
x y z x y z
     
  
     
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 13 
 Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức 
3
2
3
1 3
x x
x


 ta thấy nó tương 
tự như công thức nhân ba, nên ta đặt x = tan a, y = tan b; z = tan c 
 với a; b;c ; \
2 2 6
     
    
   
 thay vao giả thiết ta có 
 tana. + tan b + tan c =tan a.tan b.tan c 
Theo kết quả đã biết thì a + b + c = k (k nguyên) 
Lại có : 
3 3
2 2
3 3 tan tan
tan 3
1 3 1 3tan
x x a a
a
x a
 
 
 
3 3
2 2
3 3 tan tan
tan 3
1 3 1 3tan
y y b b
b
y b
 
 
 
3 3
2 2
3 3tan tan
tan 3
1 3 1 3tan
z z c c
c
z c
 
 
 
Vì :3a +3 b +3 c = 3k nên tan 3a+ tan 3b +tan 3c = tan3a.tan3b.tan3c 
Bài 2 : Chứng minh rằng :  2 2
1 ( )(1 ) 1
: ,
2 (1 )(1 ) 2
x y xy
x y
x y
 
   
 
Bài giải : Đặt x=tan a;y= tanb ( ;
2 2
a b
 
   ) Ta có 
2 2 2 2
2 2
sin( )cos( )
( )(1 ) (tan a tan )(1 t ana.tan ) 1cos .cos .cos .cos sin 2( )
1(1 )(1 ) (1 tan ).(1 tan ) 2
cos .cos
a b a b
x y xy b b a b a bVT a b
x y a b
a b
 
   
    
   
 Vậy :  2 2
1 ( )(1 ) 1
: ,
2 (1 )(1 ) 2
x y xy
x y
x y
 
   
 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 14 
Bài3: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng : 
2 2
1
1
1 1
ab
a b


 
Bài giải : Đặt a=tan x;b= tany ( ;
2 2
x y
 
   ) Ta có 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1 1
1 t anx.tan
1 t an x 1 tan 1 t an x 1 tan
cos .cos sin .sin cos( ) 1
ab ab
a b a b a b
y
y y
x y x y x y

  
     

   
    
Một số bài tập tự luyện: 
 Bài 1: Cho (xy +1)(yz +1)(zx + 1)  0 Chứng minh rằng 
 . .
1 1 1 1 1 1
x y y z z x x y y z z x
xy zy xz xy zy xz
     
  
     
 Bài 2 : Cho x+ y + z = xyz . Chứng minh rằng 
 2 2 2 2 2 2( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4x y z y x z z y x xyz         
 Bài 3 : Cho xy +yz + xz = 1 Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 2
4
1 1 1 (1 )(1 )(1 )
x y z xyz
x y z x y z
  
     
Bài 4 : Cho x; y; z là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng 
2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
x y y z z x
x y z y x z
  
 
     
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 15 
Dạng 3 Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng: 
 Một số bài toán sử dụng các kết quả của tam giác lượng : 
Ta có một số kết quả sau 
Kết quả 1 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại 
 ∆ ABC có các góc thỏa mãn a = tan
2
A
; b = tan
2
B
; c = tan
2
C
 Giải :Do a;b > 0 nên tồn tại hai góc 0 ;
2 2 2
A B 
  sao cho a = tan
2
A
; b = tan
2
B
Từ giả thiết:Đặt 0 ( )
2 2 2 2 2
C A B 
     thì 0< A,B.C < 1800 và A+ B +C = 1800 
Nên tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn a = tan
2
A
; b = tan
2
B
; c = tan
2
C
Kết quả 2:Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; 
 abc +a+b +c < 2 Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn 
 a = tan
2
A
; b = tan
2
B
; c = tan
2
C
Giải : Theo trên ta có thì tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn : 
a = tan
2
A
; b = tan
2
B
; c = tan
2
C
. Ta c/m ∆ ABC nhọn hay cosA.cosB.cosC > 0 
Ta có 
 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
. . 0 (1 )(1 )(1 ) 0
1 1 1
1 ( ) ( ) 0
2 : 1
a b c
a b c
a b c
a b c ab bc ca abc
abc a b c do ab bc ca
  
      
  
        
       
Kết quả 3 : Trong ∆ ABC có a = tan
2
A
.Chứng minh rằng 
2 2
1
sin ; cos
2 21 1
A a A
a a
 
 
 (C/m đơn giản ) 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 16 
Kết quả 4: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc thì tồn tại ∆ 
ABC có các góc thỏa mãn 
1
a
 = tan
2
A
; 
1
b
 = tan
2
B
; 
1
c
 = tan
2
C
C/m: Từ ab + bc + ca = abc ta có 
1 1 1
1
ab bc ca
   theo kết quả 1 ta có đpcm 
Kết quả 5 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc; 
1 +ab+bc +ca < 2abc. Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn 
1
a
 = tan
2
A
; 
1
b
 = tan
2
B
; 
1
c
 = tan
2
C
 (C/m tương tự như kết quả 4). 
Kết quả 6:Trong ∆ ABC có 
1
a
= tan
2
A
.Chứng minh rằng 
2
2 2 2 2
2 1 1
sin ; cos ; sin ; cos
1 1 2 21 1
a a A A a
A A
a a a a

   
   
Nhờ các kết quả này ta có một số đẳng thức; bất đẳng thức đại số được giải bởi các 
bất đẳng thức; đẳng thức lượng giác. 
Bài1: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 : 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4
1
1 1 1 (1 ).(1 ).(1 )
a b c abc
a b c a b c
  
   
     
Theo đẳng thức :cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B C
A B C    và kết quả 6 ta có 
đpcm.Từ : sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và kết quả 6 ta có 
 Bài2: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 
Chứng minh rằng: 
     
2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
(1 ). (1 ). (1 ). 8
(1 ).(1 ).(1 )1 1 1
a a b b c c abc
a b ca b c
  
  
    
Bài3:Cho x, y, z > 0 , thỏa mãn : xy +yz + zx = 1 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 17 
Tính : 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1 1 1
y z x z y x
S x y z
x y z
     
  
  
Bài giải : 
Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tương tự như 
đẳng thức trong ∆ ABC : tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
   
Vì vậy đặt tan ; tan ; tan
2 2 2
A B C
x y z   thì ta có 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
1
1 1 1
y z x z y x
S x y z
x y z
     
   
  
Bài4: Cho ba số : x;y;z thỏa mãn : xyz = x+ y+ z chứng minh rằng 
2 2 2
3 3
21 1 1
x y z
x y z
  
  
 Bài giải : Đặt x = tanA; y = tanB; z = tan C từ xyz = x+ y+ z ta có 
 tanA + tanB + tan C = tanA.tanB. tan C nên A + B + C =  
Thay vào bất đẳng thức ta có : 
2 2 2
3 3
sin sin sin
21 1 1
x y z
A B C
x y z
     
  
Ta cần chứng minh : 
3 3
sin sin sin
2
A B C   
 Với ; 0 ; )A B A B    Ta có : 
sin sin 2sin .cos 2sin . ( 0 cos 1)
2 2 2 2
A B A B A B A B
A B Do
   
     
Vậy 
23 3sin sin sin sin 2sin 2sin 4sin 4sin
3 2 2 2 3
C A B C
A B
A B C
 
   
  
      
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 18 
Vậy 
3 3
sin sin sin
2
A B C   (đpcm). 
Bài 5 : Từ bất đẳng thức : cos cos 2sin
2
C
A B  (*) và kết quả 6 ta có bài 
toán sau : Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr : 
2 2
2 2 2
1 1 2
1 1 1
a b c
a b c
 
 
  
Bài 6: Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr : 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
a b c a b c
  
    
     
 Bài giải : 
 Với a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC có 
1
a
= tan
2
A
; 
1
b
= tan
2
B
;
1
c
= tan
2
C
 nên VT = cos cos cosA B C  
 VP = sin sin sin
2 2 2
A B C
  
 Hay ta cần chứng minh : cos cos cos sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C     Đây là bất 
đẳng thức dễ (C/m dựa vào (*)) Nên ta có đpcm 
Bài 7: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn 
 ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 : 
 Chứng minh rằng 
2 2 2
2 2 2
3 3
1 1 1
a b c
a b b
  
  
Bài giải : 
Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 
Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a = tan
2
A
; b = tan
2
B
; 
 c = tan
2
C
 Nên tan A = 
2
2
1
a
a
; tanB = 
2
2
1
b
b
; tan C = 
2
2
1
c
c
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 19 
 Vậy đpcm tương đương với : tanA + tanB + tan C 3 3 Đây là BĐT cơ bản 
Một số bài tập tự luyện: 
Bài 1 Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =1. 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . 4
1 1 1
a b c
a b c
          
     
            
Bài 2: 
2 2 2
2 2 2
1/ , , 0 1.
2 3. . . 1 ( _1999)
2/ , , 0 1 4 .
1 1 1
3
1 1 1
3/ , , 1 2.
1 1 1
Cho a b c sao cho a b c Cmr
a b c abc Poland
Cho a b c sao cho a b c abcCmr
ab cb ac
Cho x y z sao cho Cmr
x y z
x y z x y z
   
   
    
  
   
       
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 20 
Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 
 Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải 
đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải 
nhanh gọn hơn. Sau đây là một số ví dụ 
 Bài 1: Giải phương trình sau : 
 3 24 3 1 : 1x x x Dk x    
 Bài giải : Đặt  cos 0;x t t   Ta có phương trình : 4.cos3 t – cost = sin t 
 hay 
8
3 2
32cos3 cos
2 4
3 2
52
8
t
t t k
t t t
t t k
t



 





                  

Vậy phương trình có nghiệm: 
5 3
cos ;cos ;cos
8 8 4
   
 
 
Bài 2 : Giải phương trình :  2 21 1 1 2 1x x x     
 Bài giải 
 Ta có : Đk 1x  theo đó ta đặt : sin ;
2 2
x t t
  
    
 vậy phương trình 
3
1 cos sin (1 2cos ) 2 cos sin sin 2 2.cos 1 2 sin 0
2 2 2
1
6
2
1
2
t t t
t t t t t
t
x
xt


 
         
 

   
  
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = ½ 
 Bài3 : Giải hệ sau : 
2
2
11 1
:
11 3
xx y
DK
yy x
     
 
    
 Bài giải 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 21 
 Với đk trên ta đặt : 
 cos 0;
sin ;
2 2
y b b
x a a

 
  

  
     
 ta có hệ: 
2sin .cos 1sin sin 1 2 2
cos cos 3
2cos .cos 3
2 2
a b a b
a b
a b a ba b
 
  
 
    

 Ta thấy cos 0
2
a b
 nên 
1
tan
2 33
ê sin sin 1 cos 1
3 6 6
a b
a b
N n a a a a

  

   
   
          
   
Vậy nghiệm của hệ phương trình : 
1
sin
1 36 2
;
2 23
cos
6 2
x
y



   
    
   

 Vậy (x;y )= 
1 3
;
2 2
 
  
 
 là nghiệm của hệ phương trình 
 Bài4 : Giải hệ phương trình : 
2 2 1
2( )(1 4 ) 3
x y
x y xy
  

  
 Bài giải : 
 Đặt 
 
 
cos 0;2
sin 0;2
y b b
x a a


  

 
 khi đó từ hệ ta có phương trình sau: 
   
6 6
sin cos 1 2sin 2 sin cos 2sin 2 .sin 2sin 2 .cos
2 2
13
2
6 5 6 3
sin 3 cos3 cos 3 cos
7 22 4 6
36 3
k
k
        
 

 
  
 

       

   
         
    

Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 22 
 Theo ĐK bài toán ta có 
7 31 55 11 35 59
; ; ; ; ;
6 6 6 6 6 6
     

 
 
 
Vậy nghiệm (x; y) = (sin  ; cos  ) với 
7 31 55 11 35 59
; ; ; ; ;
6 6 6 6 6 6
     

 
 
 
Bài 5 : 
 Giải hệ phương trình sau : 
2
3 2
2 (1 )
3 (1 3 )
y x y
x x y x
  

  
 (HSG _ Quảng Bình) 
 Bài giải : Ta thấy 
1
1;
3
y x    không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình 
tương đương với 
2
3
2
2
1
3
1 3
y
x
y
x x
y
x

 

 
 
 Khi đó ta đặt tan ( ; )
2 2
y
 
 
 
   
 
 Từ phương trình (1) ta có : 
2
2 tan
tan 2
1 tan
x x



  

Từ phương trình (2) ta có : 
3
2
3 tan 2 tan 2
tan 6
1 3tan 2
y
 



 

 Nên ta có 
tan tan 6
5
k

     Theo điều kiện ta có 0; 1; 2k k k     
Vậy nghiệm của hệ : 
 
2 2 4 2 4 2
0;0 ; tan ; tan ; tan ; tan ; tan ; tan tan ; tan
5 5 5 5 5 5 5 5
                
      
      
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 23 
Một số bài tập tự luyện 
Bài 1: Giải phương trình sau : 
2 4 2
2
2
1/ 8 (2 1)(8 8 1) 1
2 / 2 2
1
2
3 / 1 1
3
x x x x
x
x
x
x x x x
   
 

    
Bài 2 : Giải các phương trình vô tỷ sau : 
2 3
3 2 3 2
2
2
2
2
2 2
) 1 4 3
) (1 ) 2(1 )
35
)
121
1 2 1
) 1 2
2
1
) 2 1
2
) 2 1 4 2(8 1)
a x x x
b x x x x
x
c x
x
x x
d x
x
e x
f x x x
  
   
 

 
 

 
   
Bài3: Giải hệ sau : 
3
2
2 2 1 3 1
2 1 2 1
y x x x y
y x xy x
     

   
 Nghiệm của hệ :
3 3
cos ; 2.sin
10 20
  
 
 
Bài4 : Giải các hệ sau : 
2 2 2
2 2 2 3 4 2 2
4 3 2 2 2
2 1 2 ( ) 1
1/ 3 3 1 2 / 1 2 2 2
4 4 6 (3 1) 2 ( 1)
z xyz z x y x y
x y xy x y y z xy zx yz
z zy y y y z y x x x
      
 
        
         
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 24 
PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 
1.Kết luận: 
Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi rút 
ra được một số kết quả sau: 
Đã hình thành phương pháp tư duy,suy luận toán học cho học sinh THPH.Bên 
cạnh đó sáng kiến này cũng giúp cho giáo viên, học sinh luyện tập kỹ năng giải các 
bài toán đại số và các phép biến đổi lượng giác, thúc đẩy quá trình giảng dạy và học 
tập môn Toán được tốt hơn. 
 Giáo viên: 
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích 
cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học. 
Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và 
người học thấy được ý nghĩa của môn học. 
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS, 
giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình 
huống đa dạng 
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng 
giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính 
độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách 
của các em. 
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học 
phù hợp. 
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em 
không cảm thấy áp lực trong học tập. 
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. 
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành. 
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh. 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 25 
 Học sinh: 
 Khả năng tiếp thu kiến thức mới tốt hơn khi biết phân tích một bài toán .Các 
em có thể vận dụng các qui trình hay các phương pháp giải các ví dụ vào các bài 
tập cụ thể.Các em đã biết huy động các kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan 
để giải các bài tập toán,biết lựa chọn hướng giải bài tập phù hợp.Trình bày lời 
giải hợp lý chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn 
2. Khuyến nghị: 
a)Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng 
thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng 
đối tượng học sinh. 
b) Trong lớp giáo viên nên phân nhóm học theo trình độ nhận thức của các em 
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề 
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế.. 
 Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn 
đề tài của mình. 
Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác 
Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 26 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Sách giáo khoa,sách bài tập 11(cơ bản và nâng cao), 
 NXB Giáo Dục Năm 2007 
[2].Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT và thi 
vào ĐH- CĐ môn toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 2010 . 
[3]. Đề thi tuyển sinh. Môn Toán,Nhà xuất bản Giáo dục Năm 1994. 
[4]. Phan Huy Khải .Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học. Nhà 
xuất bản Hà Nội Năm 2002. 
[5]. 
 . năm 2012 
[7].  diễn đàn toán học.net 
[8] 
[9].