Phương pháp tiếp cận các bài toán tính khoảng cách trong Hình học không gian lớp 12

 là đường trung 
bình của tam giác SBD nên 
SB//IM. Vậy 
d(SB,CM)=d(SB,(CMA)) 
 Trang 21 
Khi đó 
3
.
3
S ABCD
a
V  
Gọi I AC BD  , suy ra / /MI SB  / /SB AMC 
          , , , ,d SB CM d SB AMC d B AMC d D AMC   (vì (AMC) đi qua trung điểm 
của BD). 
Ta lại có 
3
. .
1
4 12
D AMC S ABCD
a
V V  
Ta cần đi tính diện tích tam giác MAC. 
Nhận thấy trong tam giác MAC có đường trung tuyến 
1
2
2
MI a (vì 
2
SB
MI  ) 
2
AC
MI  . Vậy tam giác AMC vuông ở M (Đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối 
diện) 
Ta lại có 
2
2
a
AM  
2
2
a
CM 
21
.
2 4
MAC
a
S MA MC   
   .
3
,
3AMC
D AMCV ad D AMC
S
  
Vậy  ,
3
a
d SB CM  
 Nêu vấn đề: 
- Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm của SB đến mặt phẳng 
(AMC) thì ta làm như thế nào? 
Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính 
khoảng cách từ B đến (AMC). 
Ví dụ 3 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và 
 , 2 ,AB a BC SA a SA ABC    . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. 
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM. 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM. 
Hướng giải quyết : 
 Nhận thấy điểm A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nên ta hướng tới việc 
tìm mặt phẳng   chứa SM và song song với AB, khi đó khoảng cách giữa A và SM là 
khoảng cách từ A đến   . Tương tự ta cũng tính khoảng cách giữa BC và SM bằng 
cách tìm mặt phẳng chứa SM và song song với BC. 
Lời giải : 
a) Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình chữ nhật AIMD, với I là trung điểm của AB. 
 Ta có 
 
 
/ /
/ /
AB DM
AB SDM
DM SDM



 Do đó     , ,d AB SM d A SDM 
 Trang 22 
D
M
I
A
B
C
S
K
H
b) Ta có : BC//(SIM) nên     , ,d BC SM d B SIM 
  IM SAB IM BK   
 trong mặt phẳng (SAB), kẻ BK SI tại K, ta có : 
       , ,
BK SI
BK SIM d BC SM d B SIM BK
BK IM

    

Tam giác SAI vuông tại A, ta có: 2 2 2 24 5SI SA AI a a a     
Xét hai tam giác đồng dạng SAI và BKI, ta có : 
.2
. 52
55
a
a
BK BI BI SA a
BK
SA SI SI a
      
5
,
5
a
d BC SM  . 
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông, 
AB BC a  , cạnh bên AA' 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính 
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và 'B C . 
A'N
M
A
B'
C'
B
C
Mặt khác  
MD AD
MD SAD
MD SA

 

Mà 
     
    , ,
MD SDM SAD SDM
d BC SM d B SIM
  

     MD SDM SAD SDM   theo giao 
tuyến SD. 
Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH thì 
 AH SDM   ,d A SDM AH  
Trong tam giác vuông SAD tại A ta có: 
AD MI a  
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
4 4AH AS AD a a a
     
  
2 5 2 5
,
5 5
a a
AH d A SDM    
Hướng giải quyết 
 Ta nhận thấy AM và B’C không vuông góc 
nên ta tìm một mặt phẳng chứa đường này và 
song song với đường kia. 
 Trang 23 
 Lời giải 
Gọi N là trung điểm của BB’ suy ra B’C//MN B’C//(AMN) 
Mặt phẳng (AMN) là mặt phẳng chứa AM và song song với B’C. 
Suy ra        ' , ' , ',d B C AM d B C AMN d B AMN  
Do N là trung điểm của BB’ nên      ', ,d B AMN d B AMN . 
Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN). 
Vì BN,BA,BM đôi một vuông góc nên ta có: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 2 7
BH BA BM BN a a a a
       =>  ' ,
7
a
d B C AM BH  . 
Nhận xét: Việc xác định mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia cũng 
cần phải có sự khéo léo, quan sát tinh tế trên hình vẽ của người làm toán. Tại sao ta lại 
chọn dựng mặt phẳng chứa AM và song song với B’C? Bởi vì trong tam giác BB’C điểm M 
là trung điểm của cạnh BC nên khi ta gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là đường trung 
bình suy ra MN//B’C  ' / /B C AMN . 
Bài tập áp dụng 
1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi E là điểm đối xứng của D 
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. 
a) Chứng minh MN BD . 
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. 
( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của SA, chứng minh MNCI là hình bình hành  
MN//IC       / / , ,MN SAC d MN AC d N SAC   .Gọi K là trung điểm của OC, 
chứng minh  NK SAC . Đáp số  
2
,
4
a
d MN AC NK  ). 
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc 
với đáy và SA a . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa 
các đường sau đây : 
 a) BD và SC. 
 b) AC và SB. Đáp số: a)  
6
,
6
a
d BD SC  b)  
3
,
3
a
d AC SB  . 
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có , 2AB a AD a  , 
 SA ABCD , SC tạo với đáy góc 300. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích 
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB. 
 Đáp số:  ,
2
a
d DM SB  
4. Cho hình chóp A.BCD cho hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng đáy trùng 
với trung điểm H của BC. Tam giác BCD vuông ở D và có 2 ,BC a BD a  . Góc giữa 
(ACD) và (BCD) là 60
0
. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa 
hai đường thẳng BD và AC. 
 Gợi ý: Dựng hình bình hành BDCE 
 Đáp số:        
6
, , ,
2
a
d BD AC d BD ACE d B ACE   
 Trang 24 
GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH 
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 
Một số công thức tính khoảng cách: 
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
 Ví dụ 1: 
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2 2 4 0x y z    và điểm  2;1;0A . 
a) Tính khoảng cách từ A đến (P). 
b) Tìm trên trục Oy điểm M sao cho   
1
,
2
d M P MA . 
 lời giải: 
a)   
 
2 2
2 2.1 2.0 4 4
,
31 2 2
d A P
  
 
  
. 
b)  0; ;0M Oy M y  
   
 
   
2 2
2 2
0 2. 2.0 4 1
, 2 0 1 0
21 2 2
y
d M P y
  
     
  
  
22 4 1
4 1
3 2
y
y

    
    
2 2
2 2 4 9 4 1y y     
 
   2 28 32 32 9 2 5y y y y     
  2 14 13 0y y   
1
13
y
y
 
   
 Vậy ta có hai điểm M thỏa mãn điều kiện là    0; 1;0 , 0; 13;0M M  . 
Ví dụ 2: 
 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng   : 2 2 3 0P x y z    , đường thẳng 
1 2
3 4 2 3 6
: , :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
    
   
 
. Tìm M và N lần lượt thuộc 1 2,d d sao cho 
MN//(P) và d(MN,(P))=2. 
Khoảng cách giữa hai điểm    ; ; , ; ;A A A B B BA x y z B x y z : 
      
2 2 2
B A B A B AAB x x y y z z      
Khoảng cách từ điểm  0 0 0; ;M x y z đến mặt phẳng   : 0P ax by cz d    
    0 0 0
2 2 2
,
ax by cz d
d M P
a b c
  

 
 Trang 25 
Phân tích: 
- Khi MN//(P) thì      , ,d MN P d M P   , 2d M P  , ta sẽ tìm được tọa độ điểm M. 
Vậy ta cần tìm mối ràng buộc giữa tọa độ điểm M và tọa độ điểm N. 
Hướng giải quyết: 
 - Chuyển 1 2,d d về dạng tham số; suy ra tọa độ điểm M,N biểu thị theo tham số. 
 - Nhận thấy  / /MN P nên mối ràng buộc là . 0PMN n 
uuuur uur
 (
Pn
uur
 là vtpt của (P)). 
 - Dựa vào   , 2d M P  để suy tọa độ điểm M, từ đó suy ra N. 
 Lời giải: 
Ta có    1 2
3 2 3 6
: 4 3 , : 6 4 3 2 ; 4 3 ;2 2 , 3 6 ;6 4 , 5
2 2 5
x t x u
d y t d y u M t t t N u u u
z t z u
    
 
             
     
 6 2 ;10 4 3 ; 2 5 2MN u t u t u t      
uuuur
 1; 2;2 , . 0 2 0P Pn MN n t u      
uur uuuur uur
     , ,d MN P d M P =
12 18
2 1, 2
3
t
t t

      
   1 1 1; 2;0 , 3;2;5t u M N        . 
   2 0 1;2; 2 , 3;6;0t u M N       . 
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 
 - Để tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của nó trên 
đường thẳng sau đó dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để tính khoảng cách 
này. 
— 
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 
1
: 2 2
x t
y t
z t
 

   
 
 và điểm  2;3;1A  . 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng  . 
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng  . 
Để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm A trên một đường thẳng  ta làm như 
sau: 
— Chuyển đường thẳng về dạng tham số. 
— Gọi 'A là hình chiếu của A trên  . Khi đó ta có tọa độ điểm 'A biểu thị 
theo tham số của đường thẳng. 
— Để tìm tọa độ 'A ta nhận thấy vectơ AA '
uuuur
 vuông góc với vectơ chỉ phương 
u
uur
của đường thẳng AA '
uuuur
 nên ta có: AA'. 0u 
uuuur uur
, suy ra tham số và tìm được 
tọa độ 'A . 
 — Khi đó  , AA'd A   . 
 Trang 26 
 Lời giải : 
u
A
A'
 b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  chính là khoảng cách giữa hai điểm A 
và 'A . Vậy ta có:  ' 1; 1; 3AA   
uuur
      
2 22, AA' 1 1 3 11d A         
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm  2; 1; 3M   đến đường thẳng :
1 2
1 1 2
x y z 
 

. 
 Lời giải 
 Đường thẳng  có phương trình tham số là: 
1
2
2
x t
y t
z t
 

  
 
. 
Gọi điểm H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng  . Khi đó  1 ; 2 ;2H t t t   
suy ra  1; 1;2 3MH t t t    
uuuur
. Vectơ chỉ phương của đường thẳng  là :  1; 1;2u  
uur
 Vì . 0MH u MH u   
uuuur uur uuuur uur
     1 1 1 2 3 2 0t t t        1t   0; 1; 2H   
Vậy  , 5d M MH   . 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : 
 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 ta có hai cách sau : 
Cách 1 : —Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 , (P) có vectơ 
pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của d1 và d2. 
 —Sau đó lấy một điểm bất kì M nằm trên d2 và tính khoảng cách từ M đến (P) khi 
đó     1 2, ,d d d d M P . 
Cách 2 : Gọi M và N lần lượt là hai điểm thuộc hai đường thẳng d1 và d2, khi đó ta có tọa 
độ của điểm M và N theo tham số của hai đường. Ta tìm độ dài đường vuông góc 
chung MN bằng cách tìm tọa độ điểm M và N thông qua việc giải hệ phương trình 
1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
 


uuuur ur
uuuur r (trong đó 1 2,u u
ur uur
 lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2) 
a) Gọi hình chiếu của điểm A trên đường thẳng  
là 'A . Suy ra  ' 1 ; 2 2 ;A t t t   
 ta có  ' 3; 2 5; 1AA t t t    
uuur
, vectơ chỉ phương 
của đường thẳng  là  1; 2;1u  
uur
 ta nhận thấy 'AA u
uuur uur
 nên '. 0AA u 
uuur uur
       3 .1 2 5 2 1 .1 0t t t        
6 12 0 2t t      ' 1;2; 2A   . 
 Trang 27 
Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 
 d1: 
 


 
x t
y t
z
2
4
 và d2: 
3 '
'
0
x t
y t
z
 


 
. 
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường d1 và d2. 
Hướng giải quyết 
 Trong đề bài chỉ yêu cầu tính khoảng cách chứ không cần thiết phải tính ra tọa 
độ hai đầu mút của đoạn vuông góc chung nên ta dùng cách thứ nhất để giải. 
Lời giải 
a) Ta có d1 có vtcp là  1 2;1;0u 
ur
, d2 có vtcp  2 1;1;0u  
uur
1u
ur
 và 2u
uur
 không cùng phương. Hệ phương trình 
2 3 '
'
4 0
t t
t t
 


 
 vô nghiệm 
 nên d1 và d2 chéo nhau. 
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2. khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là 
 1 2 0;0;3n u u  
r ur uur
. 
 (P) chứa d1 nên (P) đi qua điểm A(0;0;4). 
Vậy mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là:  3 4 0 4 0z z     
 lấy H(2;1;0) 2d . Khi đó     1 2, , 4d d d d H P  . 
Ví dụ 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: 
 d1: 
 


 
x t
y t
z
2
4
 và d2: 
3 '
'
0
x t
y t
z
 


 
. 
 Tìm tọa độ trung điểm của đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng d1 và d2. 
Hướng giải quyết 
 Để tìm được tọa độ trung điểm của đoạn vuông góc chung thì ta phải tìm được tọa độ 
hai điểm mút vì vậy phải dùng cách thứ hai để giải quyết bài toán. 
 Lời giải 
 Gọi    1 22 ; ;4 , 3 '; ';0M t t d N t t d   
 Ta có  3 ' 2 ; ' ; 4MN t t t t    
uuuur
MN là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi 1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
 


uuuur ur
uuuur uur 
Ta có 
   
    
3 ' 2 2 ' .1 0
3 ' 2 1 ' .1 0
t t t t
t t t t
    

     
' 5 6
2 ' 3
t t
t t
 
 
 
 
 
1 2;1;4
' 1 2;1;0
t M
t N
 
 
 
 Gọi I là trung điểm của đoạn vuông góc chung thì  2;1;2I . 
 Trang 28 
Ví dụ 3: 
Trong KG Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau 1
1 4
: 1
2
x t
y t
z t
  

  
  
 và 2
1 2 '
: 1 2 '
'
x t
y t
z t
 

  
 
Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai 
đường thẳng đã cho. 
Hướng giải quyết: 
 Ở đây ta phải tìm được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng 1 2àv  , tâm mặt 
cầu chính là trung điểm của đoạn vuông góc chung. Trong bài này ta phải dùng cách thứ 
hai để giải bài toán vì bắt buộc ta phải tìm tọa độ hai điểm mút của đoạn vuông góc chung 
thì ta mới tìm được tọa độ tâm mặt cầu. 
 Lời giải 
Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên hai đường thẳng 1 2àv  khi đó ta có 
   1 4 ;1 ;2 , 1 2 ';1 2 '; 'M t t t N t t t      
 2 4 2 '; 2 '; ' 2MN t t t t t t      
uuuur
MN là đoạn vuông góc chung của 1 2,  khi và chỉ khi: 
1
2
. 0
. 0
MN u
MN u
 


uuuur ur
uuuur uur 
I
M
N
 Bài tập áp dụng: 
1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương 
trình 
x y z1 2 3
2 1 1
  
 

. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương 
trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. 
 Đáp số: R= d(A, (d))  5 2 . Phương trình mặt cầu x y z2 2 2( –1) ( 2) ( –3) 50    . 
 PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2 : 
( trong đó    1 24; 1;1 , 2;2;1u u   
ur uur
). 
Ta có 
      
      
2 4 2 ' 4 2 ' 1 ' 2 0
2 4 2 ' 2 2 ' 2 ' 2 0
t t t t t t
t t t t t t
        

        
 1;1;20
6 3 ' 2
2 1 7 2
3 3 ' 2 ' ; ;
3 3 3 3
Mt
t t
t t t N

   
      
       
Gọi I trung điểm của MN, khi đó 
2 5 4
; ;
3 3 3
I
 
 
 
Độ dài MN =2 suy ra bán kính của mặt cầu R=1 
Pt mặt cầu 
2 2 2
2 5 4
1
3 3 3
x y z
     
          
     
 Trang 29 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 2 0    và đường 
thẳng d: 
x y z1 2
1 2 1
 
 

. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một 
khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3. 
 Đáp số: (S): x y z
2 2 2
1 2 13
13
6 3 6
     
          
     
 (S): x y z
2 2 2
11 14 1
13
6 3 6
     
          
     
3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 
x y z
d
5 7
:
2 2 1
 
 

 và điểm 
M(4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 . 
Viết phương trình của mặt cầu (S). 
 Hướng dẫn: Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d  MH = d M d( , ) 3 . 
 Bán kính mặt cầu (S): 
AB
R MH
2
2 2 18
2
 
   
 
. 
  PT mặt cầu (S): x y z2 2 2( 4) ( 1) ( 6) 18      . 
4. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1
2
: 2
1
x t
d y t
z t


  
   
 và 2
3 '
: 1 2 '
2 '
x t
d y t
z t


 
  
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1. 
 b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2. 
 Đáp số: (P): 5 7 9 0x y z    ,  1 2
2 3
,
5
d d d  . 
5. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 1
4 1
:
2 2 1
x y z 
  

 và 
2
3 5 7
:
2 3 2
x y z  
  

. Tính khoảng cách giữa hai đường 1 2àv  
 Đáp số:  1 2, 3d    . 
6. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1
2
: 5 3
3 2
x t
y t
z t


   
  
 và 2
1 '
: 1
2 2 '
x t
y
z t
 

 
  
 a) Chứng minh 1 và 2 chéo nhau. 
 b) Viết phương trình mặt cầu đường kính là đoạn vuông góc chung giữa hai đường. 
 Đáp số: 
2 2 2 2
15 4 15 3
7 7 14 2
x y z
       
            
       
 Trang 30 
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
 Năm học 2010-2011 tôi dạy lớp 12, khi đó gặp bài toán tính khoảng cách thì các 
em đa số thường bỏ và chỉ có các em có học lực giỏi và một số em khá thì tìm cách 
giải quyết ý này. Số học sinh còn lại thì bỏ hẳn trong đó có cả một số em có học lực 
khá. Nguyên nhân là các em chưa nắm được phương pháp giải, hoặc nắm một cách 
hời hợt và đặc biệt là các em gặp vấn đề ở khâu tiếp cận bài toán, các em thường 
không biết xuất phát từ chỗ nào. 
 Năm học 2013-2014 tôi dạy lại lớp 12 và tôi quyết định triển khai chuyên đề của 
mình “ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH 
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12” cho học sinh của mình. Bước đầu tôi 
đã thấy một số kết quả đáng mừng. Đa số các em đã tự hệ thống lại cho mình về các 
kiến thức về phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian. Số học sinh 
bỏ ý này ít đi, các em hào hứng trong việc tính khoảng cách, biết tìm tòi, tìm điểm 
xuất phát của bài toán. 
 Kết quả thu được được so sánh ở hai bảng sau: 
 Kết quả của năm học 2010-2011 
 (Lớp 12A2, 12A3. Tổng số học sinh: 82 học sinh) 
 Bỏ câu 
tính 
khoảng 
cách 
Có suy nghĩ 
nhưng không 
tìm được hướng 
giải quyết 
Tìm được hướng 
giải quyết nhưng 
sai ở phần tính 
toán 
Giải đúng 
hoàn chỉnh 
Số lượng 50 18 5 9 
Tỉ lệ ( %) 61 22 6 11 
 Kết quả của năm học 2013-2014 
 (Lớp 12C6, 12C7. Tổng số học sinh: 76 học sinh) 
 Bỏ câu 
tính 
khoảng 
cách 
Có suy nghĩ 
nhưng không 
tìm được hướng 
giải quyết 
Tìm được hướng 
giải quyết nhưng 
sai ở phần tính 
toán 
Giải đúng 
hoàn chỉnh 
Số lượng 20 17 10 29 
Tỉ lệ ( %) 26 22 13 39 
 V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 
1. Quá trình áp dụng và hiệu quả 
 Qua quá trình triển khai chuyên đề, mặc dù không thay đổi được hết cách tiếp 
cận của các em đối với dạng bài toán này bởi khả năng tiếp thu của các em khác 
nhau và cũng vì đây là một phần khó đối với đa số học sinh nhưng tôi nhận thấy 
được những tiến triển tích cực: số học sinh có ý định bỏ phần tính khoảng cách đã 
giảm hẳn, các em đã biết tìm tòi để giải quyết bài toán, đáng mừng hơn là số học 
sinh giải được trọn vẹn ý này đã tăng lên rõ rệt. 
 Trang 31 
2. Bài học kinh nghiệm 
 Sau khi học sinh học xong chuyên đề, đa số học sinh đã không còn “sợ” phần 
tính khoảng cách nữa. Phần lớn các em đã tự hệ thống cho mình các phương pháp 
tính khoảng cách đối với từng dạng bài tập, các em đã biết phác thảo các bước chính 
trong việc giải quyết bài toán. Đối với một số học sinh giỏi và khá thì có thể hướng 
dẫn các em tự đặt thêm vấn đề như thay đổi câu hỏi để áp dụng cách giải đã có hoặc 
giải tương tự. 
3. Kiến nghị-kết luận 
 Việc tiếp cận bài toán là một phần khó trong việc giải quyết vấn đề, nhất là 
phần tính khoảng cách, chuyên đề mang lại cho học sinh cái nhìn đơn giản hơn đối 
hình học không gian đặc biệt là việc tính khoảng cách, giúp các em nắm kiến thức cơ 
bản, tự tin tìm tòi, sáng tạo. Chuyên đề giúp các em tự tóm tắt các bước làm trong 
việc giải toán, tạo cho học sinh thói quen xây dựng ý tưởng giải sau đó mới đi vào 
chi tiết. Tôi hi vọng rằng đề tài này sẽ giúp ích cho các em trong kì thi trung học phổ 
thông quốc gia sắp tới. 
 Trong quá trình dạy tôi sẽ luôn cố gắng tìm hiểu sâu thêm những khó khăn của 
các em và đồng thời cố gắng tìm cách để khắc phục những khó khăn đó. Quá trình 
soạn đề tài chắc không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân 
thành của các thầy cô giáo đồng nghiệp và hội đồng chuyên môn của nhà trường để 
đề tài của tôi được hoàn thiện hơn. 
 VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa hình học lớp 11, lớp 12 nhà XBGD. 
2. Bài tập hình học lớp 11, lớp 12 nhà XBGD. 
3. Đề thi tuyển sinh năm 2013 
4. Báo toán học và tuổi trẻ số 436. 
5. web: vnmath.com. 
 Người viết SKKN 
TẠ HỮU DŨNG