Hướng dẫn học sinh THCS giải phương trình bậc cao một ẩn

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lời nói đầu:

Toán học là một môn khoa học có từ lâu đời, có ứng dụng hầu hết trong các lính vực của cuộc sống, từ xa xưa con người đã biết đến toán học thông qua việc đo đạc, tính toán.

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác.

Trong nhà trường, môn toán giữ một vai trò quan trọng, bởi môn toán có tính trừu tượng cao, tính logic, chính xác và không bỏ tính thực nghiệm. Vì vậy, làm thế nào để học giỏi toán, đó là câu hỏi đặt ra của nhiều thế hệ học sinh, thầy cô và cha mẹ học sinh hay bất cứ ai quan tâm đến giáo dục và dạy học.

Phương trình là một dạng toán quan trong, xuyên suốt quá trình học toán từ cấp II đến cấp III và các cấp cao hơn. Bởi vậy, các em học sinh cần phải trang bị cho mình những kiến thức thật vững chắc về phương trình.

Trong chương trình toán ở THCS hiện nay, sách giáo khoa chỉ đưa ra cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai đơn giản. Đối với các em học sinh thì việc giải các phương trình đó không gây khó khăn nhiều. Nhưng khi gặp một số phương trình bậc cao thì các em thường lúng túng, chưa tìm ngay được các cách giải cho bài toán. Ngay cả các giáo viên THCS cũng gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết phương trình này.

Vì vậy, tôi xin đề xuất một số phương pháp giải phương trình bậc cao trong chương trình toán THCS và các bài tập minh hoạ.

 

doc36 trang | Chia sẻ: haianh98 | Ngày: 22/10/2019 | Lượt xem: 20 | Lượt tải: 0Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Hướng dẫn học sinh THCS giải phương trình bậc cao một ẩn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
- Khai thác cách nhẩm nghiệm :
 anxn + an-1xn-1 +...+a1x+a0 = 0 (1) ( ai ẻ Z ) 
+) Nếu an + an-1 +...+a1+ a0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1) có nghiệm x = - 1
+) Nếu số hữu tỉ x = ( p , q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của a0 , q là ước của an . 
Ví dụ : Giải phương trình : x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*)
Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*) nhận x =- 1là nghiệm .
Theo định lí Bơzu ta thấy vế phải của phương trình (*) chia hết cho x + 1, do đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng : 
 (x +1 ). ( x3 - 3x2 + 4x - 4 ) = 0
 x + 1 = 0 (1)
 x3 - 3x2 + 4x - 4 = 0 (2)
 (1) Û x+1 = 0 Û x = - 1
 (2) Û x3 - 3x2 + 4x - 4 = 0 
Ta thử các ước của 4 và thấy x = 2 là nghiệm của (2) , nên (2) phân tích được thành : ( x - 2) . ( x2 -x + 2 ) = 0
 x -2 = 0 x = 2
 x2 - x + 2 = 0 D'< 0 : vô nghiệm 
 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x = -1 ; x = 2 .
Bài toán áp dụng:
1. Giải phương trình:
a) 3x4 -12x2 = 0
b) x3 + 14x2 - 4x - 56 =0
c) 2x3 + 11x +9 =0
d) x16 +x8 -2 =0
e) 2x4 + 5x3 -35x2 + 40x-12=0
2. Cho phương trình : 2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x -2m2 + 3m -2=0
a. Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt
b. Giải phương trình với m=1
Hướng dẫn
2a)2x3 -(1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x - 2m2 +3m -2 =0 (*)
2x3 -x2 -4mx2 + 2x(2m2 -3m+2+m)-2m2 +3m-2=0
 x2(2x - 1) -4mx2 + 2mx +2x(2m2 -3m+2) -(2m2 -3m +2)=0
 x2(2x - 1) -2mx(2x-1) + (2m2 -3m+2)=0
(1)
(2)
(1) 2x-1=0 
(2) x2 -2mx+2m2-3m+2=0
Ta thấy phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 
Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 
Đặt f(x)=x2 -2mx +2m2 -3m +2 thì f(x) phải thỏa mãn các điều kiện sau
Vậy với 1<m<2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 
 Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2
II.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
1.Cơ sở lí luận
Khi giải phương trình bậc cao ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải
2. Nội dung phương pháp
Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau:
2.1. Phương trình trùng phương:
a. Dạng tổng quát:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
ax4 +bx2 +c =0 (1) (a ạ 0)
Trong đó:
x là ẩn số
a,b,c là các hệ số
b.Cách giải:
Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số
Đặt y=x2 ( y ³ 0) (2)
Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c=0
Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào (2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y³ 0). Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu.
c.Ví dụ:
* Ví dụ 1: Giải phương trình x4 -3x2 +2 =0 (1)
Giải :
Đặt y=x2 (y³ 0).
Phương trình (1) trở thành : y2 -3y +2 =0
(y-1)(y-2)=0
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y³ 0
+ Với y=1 ta có x2 =1 x1=1
 x2=-1
+ Với y=2 ta có x2 =2 x3 =
 x4=
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1=1;x2=-1; x3 =; x4=
* Ví dụ 2 :
 Xác định a để phương trình : ax4 - ( a - 3 ) x2 + 3a = 0 (a ạ 0 ) (1)
Có bốn nghiệm phân biệt đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 .
Giải :
Đặt y= x2 ³ 0
(1) Û ay2 - ( a - 3 ) y + 3a = 0 (2)
Giả sử (2) có nghiệm 0 < y1 < y2 thì (1) có 4 nghiệm phân biệt : 
 - < - < < 
 Muốn phương trình (1) có đồng thời một nghiệm nhỏ hơn -2 ; ba nghiệm kia lớn hơn -1 thì :
 - 4 
 > - 1 y1 < 1
Vậy phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 thoả mãn :
 0 < y1 < 1 < 4 < y2
 a .f(0) < 0 a . 3a < 0 3a2 < 0
Û a . f(1) < 0 Û a . (a -a +3 +3a ) < 0 Û 3a2 + 3a < 0
 a. f(4) < 0 a . ( 1a - 4a + 12 + 3a ) < 0 15a2 -12a < 0 
 a ạ 0 a ạ 0
Û 3a ( a + 1 ) < 0 Û - 1 < a < 0 Û - < a < 0 
 3a ( 5a + 4 ) < 0 - < a < 0
 Vậy với a ẻ ( - , 0 ) thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm nhỏ hơn - 2 và ba nghiệm kia lớn hơn - 1
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình : 4x4 -5x2 +1 =0
2) Cho phương trình:x4-2(2m-1)x2 +4m2-3 =0 (*)
a. Với giá trị nào của m thì phương trình 4 có 4 nghiệm phân biệt
b. Giải phương trình với m=
Hướng dẫn:
2a) Đặt y=x2 (y ³ 0) phương trình (*) trở thành:
y2 -2(2m-1)y +4m2 -3 = 0 (1)
D’=(2m-1)2 -4m2 +3 = -4(m-1)
Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tức là (1) thỏa mãn:
2.2. Phương trình bậc bốn đối xứng:
a. Dạng tổng quát :
Phương trình bậc bốn đối xứng là phương trình dạng:
ax4 +bx3 +cx2 +bx +a=0 (a ạ 0)
b. Cách giải :
Vì x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho x2 rồi đặt: 
c.Ví dụ
*Ví dụ 1:
Giải phương trình: 3x4 +2x3 -34x2 +2x +3=0
Giải:
Phương trình trên là phương trình đối xứng( các hệ số có tính đối xứng )
Hiển nhiên x=0 không là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2.
3x2 +2x -34 +
Đặt thì ta có:
3(y2 -2) +2y-34 =0
 3y2 +2y -40 =0
Với y= - 4 thì x2 + 4x + 1=0
Với thì 3x2 - 10x + 3 =0 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: ;;.
* Ví dụ 2: 
Giải phương trình : 2x5 +5x-13x2 +5x +2 =0 (1)
Giải:
Ta thấy x=-1 là nghiệm của phương trình (1)
Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
(2)
(3)
(x+1)(2x4 +3x3 -16x2 +3x +2) = 0
(2) x+1=0 
(3) 2x4 +3x3 -16 x2 +3x+2 =0
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình (3) 
Chia cả hai vế của phương trình (3) cho x2 ta có:
Đặt 
Ta có: 2(y2 - 2) +3y -16 =0
2y2 + 3y - 20 = 0
Ta có =9+160=169
+ Với ta có:
 =25-16=9 
+Với y= - 4 ta có:
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm:
; ;x5=-1.
d. Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình: x4 +mx3 +3mx2 +mx +1 =0 (1)
a) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Giải phương trình
2. Giải phương trình : x4 +2x3 + 4x2 +2x +1 = 0
Hướng dẫn:
1a) x=0 không là nghiệm của (1) nên chia cả hai vế của (1) cho x2 ta được:
Đặt (
 Phương trình (1) trở thành : y2+ my + 3m - 2 = 0 (2) (
Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có một nghiệm thỏa mãn điều kiện 
Ta xét bài toán tìm các giá trị của m để phương trình (2) vô nghiệm:
+ Phương trình ( 1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có hai nghiệm thuộc (-2,2)
+ Phương trình (2) vô nghiệm: 
=m2 -(3m-2 ) < 0 m2 -12m+8<0
+ Phương trình (2) có 2 nghiệm thuộc (-2,2):
Tức 
Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi 
Do đó phương trình (1) có nghiệm khi: m hoặc 
Chú ý: 
a)Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì 1/a cũng là nghiệm .
b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x=-1
c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ
2.3. Phương trình bậc bốn phản đối xứng
a. Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 –bx +a =0 ( a ≠ 0) gọi là phương trình bậc bốn phản đối xứng
b. Cách giải :
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 rồi đặt 
c.Ví dụ
*Ví dụ 1 : Giải phương trình : x4 + x3 +x2 - x +1 =0 (1)
Giải :
Vì x=0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia cả hai vế của (1) cho x2 ta có:
Đặt 
Thay vào ta có:
 y2 +2+y+1= 0 (2)
 y2 +y+ 3=0
=1-12<0 Phương trình (2) vô nghiệm
 Phương trình (1) vô nghiệm
*Ví dụ 2:
Cho phương trình : x4 -ax3-(2a+1)x2 +ax + 1=0 (1)
Tìm a để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ?
Giải:
Vì x=0 không phải là nghiệm của (1) nên chia 2 vế của (1) cho x2 ≠ 0 ta có:
Đặt (*) 
Ta được phương trình:
y2 + 2 – ay –( 2a+1) =0
 (2)
Ta thấy phương trình (*) luôn có 2 nghiệm với 
Để (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (2) phải có nghiệm kép:
a2 +8a -4=0
 =16+4=20 
Vậy với hoặc thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
d) Bài tập áp dụng
Giải phương trình:
1) x4-3x3-6x2+3x+1=0
2) x5-4x3+2x2+2x-1=0
3) 6x4-35x3+62x2+35x+6=0
Hướng dẫn
2)x5-4x3+2x2+2x-1=0 (1)
Ta thấy x=1 là nghiệm của (1)
 (1) (x-1)(x4 +x3 -3x2 –x +1)=0
ị x-1 = 0 (2)
 x4 +x3 -3x2 –x +1= 0 (3)
(2) x - 1=0 x = 1
(3) 
Vì x= 0 không là nghiệm của (3)
Chia hai vế của (3) cho x2≠ 0 ta có:
Đặt 
Ta được phương trình :y2+2+y-3=0
y2 + y -1 =0
 ; 
+ Với 
 ; 
+ Với y = 
 = 
Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm:
2.4. Một số dạng phương trình khác
Ngoài các dạng phương trình đã nêu ở trên, trong một số kỳ thi học sinh giỏi vào trung học phổ thông học sinh còn gặp một số dạng phương trình sau:
2.4.1. Phương trình dạng : ax2n + bxn +c = 0 ( a ≠ 0)
a) Cách giải:
Đặt xn = y sau đó đưa về phương trình bậc hai đối với biến y:
ay2 + by + c = 0
b)Ví dụ minh hoạ:
* Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 - 3x3 + 2 = 0 (1)
Giải :
Đặt x3 = y . Phương trình ( 1) trở thành y2 -3y +2 =0
 y1=1
 y2=2
Thay trở lại ta có : y1=1 x3 = 1 x=1
y2 = 2 x3 = 2 x=
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1=1 ; x2= 
*Ví dụ 2 :
Cho phương trình : x10 + ( m-1)x5 + 4 =0 (2)
Tìm m để phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó ?
Giải
Đặt x5 = y
Phương trình ( 2) y2 + (m-1)y + 4 = 0 ( 3)
Để phươnh trình (2 ) có nghiệm duy nhất thì phương trình ( 3 ) phải có nghiệm kép hay  :
(m-1)2 - 4.4 =0
 (m-1-4)(m-1+4)=0
(m-5)(m+3)=0
Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất
Tìm nghiệm
+ Với m=5 (3) y2 +4y+4 =0
(y+2)2 =0
 y+2=0
y=-2
Với y=-2 x5 = -2 x=
+ Với m=-3 ( 3) y2 -4y+4=0
(y-2)2=0
y-2=0
y=2
Với y=2 x5 = 2 x=
Kết luận :
Với m = 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=
Với m=-3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=
c) Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
1)7x6 + 8 x3 +1 =0
2)12x10 – 15x5 +3=0
2.4.2. Phương trình dạng : (x+a)4 + (x+b)4 =c (1)
a) Cách giải:
Đặt y=x +
Ta có: 
x+a = y+
x+b=y-
Khi đó phương trình ( 1) trở thành:
2y4 + 
Đây là phương trình trùng phương mà ta đã biết cách giải.
b)Ví dụ:
*Ví dụ 1:
Giải phương trình: (x+5)4 + (x+9)4 =82 (1)
Đặt y=x+7 khi đó phương trình ( 1) trở thành:
(y-2)4 + (y+2)4 =82
2y4 + 48y2 + 32 = 82
y4 +24y2 -15=0
đặt t=y2 với t
(loại)
Ta có phương trình : t2 + 24t -25 =0 
Với t=1 ta có : y2 =1 y=1 hoặc y=-1
Nếu t=1 x+7 = 1
 x= - 6
Nếu t =- 1 x+7= - 1
x=-8
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x=-6 ; x=-8
*Ví dụ 2:
Cho phương trình sau: (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n (1)
a.Tìm điều kiện của m và n để phương trình có nghiệm
b.Giải phương trình với m=3,n=2
Giải
a.Giải phương trình (1) (x+m)4 + ( x+m+2)4 =n ( 2)
Đặt y =x+m+1
Phương trình trở thành: (y-1)4 + (y+1)4 =n
2y4 +12y2 +2-n=0 (3)
Đặt t=y2 ta được: 2t2 +12t +2-n=0(4)
Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất 1 nghiệm không âm
Ta thấy : S=t1 + t2 = -
Vậy muốn phương trình (4) có một nghiệm không âm thì :
P=t1.t2=
Vậy với n2 thì phương trình (1) có nghiệm.
b. Khi m=3, n=2 phương trình ( 1) trở thành:
(x+3)4 + (x+5)4 =2
Đặt y=x+4
phương trình ( 1) 2y4+12y2 +0=0
y2(y2+6)=0
y=0 ( vì y2 nên y2 + 6)
với y=0 x+4=0 x=-4
Vậy phương trình có nghiệm x=-4
c)Bài tập áp dụng :
Giải phương trình:
1)(x+1)4 + (x+3)4 =16
2)(x+5)4 + (x+9)4 = 1
3)(x-6)4 + (x-8)4 = 4
2.4.3. Phương trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) =m
Trong đó a+d=b+c
a)Cách giải:
Nhóm [(x+a)(x+d)] và [(x+b)(x+c)] rồi triển khai các tích đó, ta đưa về dạng: [x2 + (a+d)x+ad][x2+9b+c)x+bc]=m
Do a+d=b+c đặt x2 +(a+d)x+k=t ( trong đó k có thể là ad hoặc bc)
Ta sẽ đưa phương trình về dạng:
t2+nt-m=0
Giải phương trình trên ta tìm được t. Sau đó thay t vào giải tiếp phương trình :
x2+ (a+d)x+k=t
Ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
b)Ví dụ :
*Ví dụ 1 :
Giải phương trình :(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=9(1)
Ta thấy 1+7=3+5. ta biến đổi phương trình (1) như sau:
[(x+1)(x+7)][(x+3)(x+5)]=9
(x2 +8x+7)(x2+8x+15)=9 (2)
Đặt y=x2 +8x +7
(2) y(y+8)=9
y2+8y-9=0
+ Với y=1 x2 +8x+7=1
x2+ 8x+6=0
+ Với y=-9 x2 +8x+7=-9
x2 +8x+16=0
(x+4)2=0
 x+4=0
x=-4
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm: ; ; x3 = -4
*Ví dụ 2:
Cho phương trình: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (*)
a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm.
b.Giải phương trình với m=-6
Giải
a. Phương trình (*)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m
(x2+2x-3)(x2 +2x-8)=m
Đặt x2+2x-3=y (1) ta có:
y(y-5)=m y2-5y-m=0 (2)
Tìm m để phương trình (*) có nghiệm:
Ta xét bài toán phủ định tìm m để phương trình (*) vô nghiệm :
 Phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình ( 2) có nghiệm nhưng phương trình (1 ) vô nghiệm :
+ Phương trình ( 2 ) vô nghiệm khi : 
25+4m<0
m<
+ Phương trình ( 2 ) có nghiệm, phương trình (1) vô nghiệm:
(vô lý)
Vậy phương trình (*) vô nghiệm khi m<
 Phương trình (*) có nghiệm khi m
b. Thay m=-6 vào (*) ta có:
(x-1)(x+32)(x-2)(x+4)=-6
 x2 + 2x - 3 =-1
 x2+ 2x - 2 = 0
Khi đó (2) y2- 5y - 6 = 0
+ Thay y =-1 vào (1) ta có :
x1 = -1 + 
x2 = -1 - 
+Thay y = 6 vào (1) ta có : x2 + 2x - 3 = 6
 x2 + 2x - 9 = 0
= 1 + 9 = 10 
 x1 = -1 +
 x2 = -1 - 
Vậy với m = -6 phương trình (*) có 4 nghiệm :
x1 = -1 + ; x2 = -1 - 
x3 = -1 + ; x4 = -1 - 
c) Bài tập áp dụng :
1. Giải phương trình :
 a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
 b) (x + 2)(x - 3)(x + 1)(x + 6) = - 96
 c) (x - 1)(x - 3)(x + 5)(x + 7) = 297
2. Giải phương trình :
 (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m
 a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
 b. Giải phương trình khi m = 40
Hướng dẫn :
Nhóm (x + 1)(x + 4) và (x + 2)(x + 3)
Nhóm (x + 2)(x + 1) và (x -3)(x + 6)
Nhóm (x - 1)(x + 5) và (x - 3)(x + 7)
 = m
(x2 + 14x + 45)(x2 + 14x + 48)= m
2.a) (x + 5)(x + 6)(x + 8)(x + 9) = m
 Đặt x2 + 14x + 45 = y (*)
Ta có : y (y + 3) = m y2 + 3y - m = 0 (2)
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt và phương trình (*) phải có nghiệm kép hoặc phương trình (2) có nghiệm kép và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
2.b) Thay m = 40 vào (2) sau đó giải phương trình:
 y2 + 3y - 40 = 0
Tìm y rồi thay trở lại (*) tìm x
C . kết luận
 Đề tài ''Hướng dẫn học sinh THCS giải phương trình bậc cao một ẩn'' tuy là một vấn đề khó và rộng nhưng trong quá trình tìm hiểu và nhờ sự hướng dẫn của thầy giáo Lê Anh Dũng, tôi thấy đây là một đề tài rất hữu ích cho giáo viên toán trường THCS.
Trong đề tài này, tôi chỉ nêu ra một số phương pháp giải phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai trong chương trình giảng dạy môn toán ở lớp 8 và lớp 9 hiện nay mà bản thân tôi đã đúc kết trong quá trình giảng dạy.
Trước khi áp dụng các phương pháp trên tôi thấy hầu hết học sinh lúng túng không tìm ra được hướng giải khi gặp các phương trình bậc cao.
Sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã khắc phục được nhiều nhược điểm, tỷ lệ làm được bài tăng, học sinh hứng thú tích cực học tập hơn.
Sau đây là bảng thống kê kết quả bài kiểm tra dạng toán trên:
Năm học
áp dụng đề tài
Kết quả kiểm tra
giỏi
khá
TBình
yếu
kém
2003 - 2004
chưa áp dụng
5%
15%
35%
37,5%
7,5%
2004 - 2005
đã áp dụng
15%
27,5%
37,5%
17,5%
2,5%
Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi người giáo vien cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng. Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung của học sinh .
Người thầy cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó giúp các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường.
Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết được hoàn chỉnh và hấp dẫn hơn.
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp, các thầy, cô giáo trong tổ Toán Trường đại học sư phạm Hà Nội, đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy giáo Lê Anh Dũng- Giáo viên hướng dẫn trực tiếp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn ./.
 	 Người viết 
 Lê Văn Lý 
D. tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Đại số 8, Đại số 9 (NXB Giáo dục).
2. Giáo trình thực hành giải toán hệ cao đẳng sư phạm của Phạm Gia Đức - Hoàng Ngọc Hưng - Đặng Đình Lăng (NXB Giáo dục)
3. 172 bài toán có chứa các tham số của Lê Khắc Bảo (NXB Giáo dục)
4. Giải toán Đại số sơ cấp của Vũ Thiện Căn - Võ Anh Dũng (NXB Giáo dục).
5. Bồi dưỡng học sinh đại số 9 của Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều (NXB Giáo dục).
6. 255 bài toán chọn lọc đại số của Vũ Dương Thuỵ- Trương Công Thành - Nguyễn Ngọc Đặng
Và một số tài liệu khác có liên quan .
E. Giáo án tiết dạy chuyên đề
Tiết 54 : Phương trình quy về phương trình bậc hai
I. Mục tiêu :
- Học sinh biết giải một số phương trình có thể biến đổi về dạng phương trình bậc hai.
- Rèn luyện kỹ năng giải các phương trình quy về phương trình bậc hai
- Phát triển tư duy của học sinh
II. Chuẩn bị
Bài soạn và một số kiến thức bổ tự cho bài giảng
Học sinh : ôn cách giải phương trình bậc hai, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích.
III. Tiến trình giờ dạy :
A. Kiểm tra bài cũ :
	Phương trình bậc hai một ẩn số là gì ? Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai ?
Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn :
x3 +7x2 -8x=0	(1) 	x2 -7x -8=0 (2)
	(3)	x2 -3x +1=0 (4)
x4 -5x2 +4 =0	(5)
Hãy giải các phương trình bậc hai đó ?
Đặt vấn đề : Các phương trình (1), (3), (5) không phải là phương trình bậc hai. Tuy nhiên để giải được các phương trình như thế này ta có thể biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai đ bài mới.
B- Tổ chức cho học sinh tiếp nhận nội dung kiến thức :
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
 x3 +7x2 -8x =0
x(x2 +7x -8 ) = 0
Ta đưa về giải hai phương trình x=0 ; x2 +7x-8=0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : x1=0 ;x2=1 ;x3 =-8
Ví dụ 2 : Giải phương trình :
TXĐ : xạ 0 ; xạ 1.
ị x-1 +x =x(x-1)
Ûx2 -3x +1=0
D= (-3)2 -4 =5>0
ị TXĐ
 TXĐ
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm :  ; 
Ví dụ 3 : Giải phương trình :
x4 -5x2 +4 =0 (*)
Đặt x2 = X ( X³0)
(*) X2 -5X +4 = 0
Vì a+b+c =1-5+4=0 nên
X1 =1 ; X2 =4 ( TMĐK)
* X1 = 1 x2 =1 x{-1 ;1}
* X2 = 4 x2 =4 x{-2 ;2}
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm :
x1=-1 ;x2=1 ;x3=-2 ;x4=2
Chú ý : SGK/92
- GV nêu ví dụ 1 :
- Phương trình đã cho là phương trình bậc mấy ? Giải bằng cách nào ?
Nếu học sinh không trả lời được, GV có thể gợi ý.
+ Có nhận xét gì về các hạng tử của vế trái ?
+ Đặt nhân tử chung của vế trái ?
- GV : Vế trái của phương trình đã phân tích thành nhân tử trong đó có 1 nhân tử bậc 1 và 1nhân tử bậc hai. Việc giải phương trình đã cho quy về việc giải phương trình bậc hai.
- GV nêu ví dụ 2 :
- Cho biết dạng của phương trình này ?
- Nêu cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ?
- HS lên bảng giải
- HS cả lớp nhận xét, bổ sung
- GV : nêu ví dụ 3.
- GV : phương trình x4 -5x2 +4 =0
là phương trình bậc 4, ta có thể đưa phương trình này về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ : x2 =X
- Tìm điều kiện của X ?
- Khi đó phương trình đã cho trở thành ?
- Giải phương trình X2 -5X +4 =0 ?
- Vậy x= ?
- GV : Phương trình x4 -5x2 +4 =0 gọi là phương trình trùng phương
Tổng quát : Phương trình có dạng :
ax4 +bx2 +c=0 (aạ0) gọi là phương trình trùng phương
C. Củng cố, luyện tập :
* Học sinh làm các bài tập sau:
- Giải các phương trình sau:
a) (x2 -5x-4).(2x2 -7x+3)=0
b) (2x2 -x-1)2 -(x2 -7x+6)2=0
c) 2x4 -7x2 -4=0
d) 
- Làm bài tập 5a( SGK/92)
* Các bài toán giải phương trình mà ta đã làm ở tiết học hôm nay có đặc điểm gì chung ? ( đều quy về phương trình bậc 2).
- GV chốt lại: ở ví dụ 1 để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 ta có thể đưa về phương trình tích trong đó có một nhân tử bậc 2.
ở ví dụ 2 : Việc giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta cũng quy về giải phương trình bậc hai .
ở ví dụ 3 : để giải phương trình trùng phương ta hạ bậc bằng cách đặt ẩn phụ để giải phương trình bậc hai và lưu ý ẩn phụ có điều kiện không âm
D. Hướng dẫn về nhà :
- Xem lại các ví dụ và bài tập đã làm 
- Làm bài tập 1(a ;d) ; bài 2 ; bài 3 ; bài 4 ; bài 5b
- GV hướng dẫn bài 5b.
- Khai thác số nghiệm của phương trình trùng phương thông qua phương trình được đặt ẩn phụ.
	Thanh Hoá, ngày 5 tháng 4 năm 2005

File đính kèm:

  • docHD_HS_THCS giải PT bậc cao một ẩn.doc
Sáng Kiến Liên Quan