Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải phương trình bậc hai một ẩn

áy móc khi sử dụng công thức nghiệm đối với những phương trình chỉ cần áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét hoặc cả với những phương trình bậc hai khuyết... Chính vì thế kết quả học tập của các em về bộ môn toán không cao dẫn tới chất lượng thi học sinh giỏi, tỉ lệ thi tốt nghiệp THCS, tỷ lệ thi vào PTTH của nhà trường còn thấp.
 Trước tình hình trên, bản thân tôi là một hiệu trưởng của một trường THCS hiện đang còn thiếu rất nhiều giáo viên toán, do đó hiệu trưởng cũng phải dạy toán cuối cấp, tôi luôn suy nghĩ và trăn trở về chất lượng giảng dạy và học tập trong nhà trường nhất là chất lượng học sinh giỏi, tỷ lệ học sinh tốt nghiệp THCS và tỷ lệ học sinh vào PTTH của nhà trường. Chính vì thế trong quá trình công tác và giảng dạy tôi đã giành thời gian tìm hiểu và nghiên cứu vấn đề “ Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn ” một phần nào đó góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh lớp 9 nói riêng, của học sinh trong toàn trường nói chung đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và tỷ lệ học sinh thi vào
-1-
PTTH của nhà trường trong những năm tới.
II/ Mục đích nghiên cứu :
 Mục đích của đề tài này là hướng dẫn học sinh lớp 9 phân loại và nhận dạng được một số dạng bài tập cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn. Đồng thời giúp các em tìm được cách giải cho từng dạng bài tập một cách tốt nhất, hiểu được cơ sở lý luận của từng cách giải và nắm được những kiến thức liên quan đến từng dạng toán . Qua đó góp phần nâng cao chất lượng học tập môn toán nói riêng và các môn học khác nói chung của học sinh lớp 9 trong nhà trường.
III/ Khách thể và đối tượng nghiên cứu :
1- Khách thể nghiên cứu :
 Học sinh lớp 9 trường THCS Thiệu Ngọc.
2- Đối tượng nghiên cứu :
 Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn.
IV/ Giả thiết khoa học :
 Đề tài này nếu được áp dụng phù hợp, rộng rãi sẽ có tác dụng lớn trong giảng dạy và học tập. Cụ thể :
- Đối với giáo viên : Đề tài này giúp giáo viên chủ động được kiến thức trong quá trình giảng dạy, do đó sẽ phát huy hết được năng lực trình độ của mình góp phần nâng cao chất lượng giờ dạy.
- Đối với học sinh : Đề tài này sẽ giúp học sinh phát triển khả năng tư duy lô-gíc, phân tích tổng hợp kiến thức, khả năng vận dụng sáng tạo các kiến thức đã học vào việc giải các dạng bài toán về phương trình bậc hai một ẩn.Từ đó các em có khả năng nhận dạng nhanh chóng các dạng bài tập về phương trình bậc hai một ẩn. Biết vận dụng các kiến thức có liên quan để giải các dạng bài tập đó một cách nhanh nhất. Biết được các phương pháp giải từng dạng bài tập một cách phù hợp nhất, khoa học nhất. Từ đó giúp các em học sinh lớp 9 học tốt hơn môn Đại số nói riêng, môn toán nói chung ở cấp THCS .
V/ Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Tìm ra một số dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn phù hợp với yêu cầu của chương trình và với năng lực, trình độ của học sinh lớp 9.
- Xác định được các kiến thức có liên quan, cần phải sử dụng khi giải từng dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn.
- Tìm được phương pháp tốt nhất để giải mỗi dạng cụ thể.
VI/ Các phương pháp nghiên cứu :
- Thông qua quá trình công tác và giảng dạy để nghiên cứu.
- Thông qua quá trình ôn tập cho học sinh lớp 9 nhất là qua việc ôn thi học sinh giỏi, ôn thi tốt nghiệp THCS và ôn thi vào PTTH.
- Thông qua việc nghiên cứu tài liệu giảng dạy, tài liệu tham khảo.
- Thông qua học hỏi đồng nghiệp.
- Bằng cách khảo sát chất lượng học sinh và nắm bắt, xử lý thông tin
B - nội dung nghiên cứu.
I/ Cơ sở lý luận của đề tài :
- 2 -
 Như chúng ta đã biết phương trình bậc hai một ẩn là một đơn vị kiến thức quan trọng trong chương trình đại số nói riêng, môn toán nói chung ở cấp THCS . Đây là loại phương trình tổng hợp nhiều các kiến thức về số học và đại số để kết thúc chương trình đại số ở trường THCS .Thông qua các khái niệm về tập hợp số và các biểu thức đại số, các phép toán và tính chất của các phép toán đã học để xây dựng công thức nghiệm, đây là một công cụ cơ bản để giải phương trình bậc hai một ẩn. Việc thiết lập định lý Vi- ét kết hợp với công thức nghiệm và một số dạng toán đã học ở lớp dưới sẽ giúp học sinh giải một số dạng toán khác về phương trình bậc hai một ẩn. Thực tế nghiên cứu và giảng dạy cho thấy các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn là một cách tổng quát và hoàn thiện các dạng toán đã học ở lớp 6, lớp7, lớp 8 và phần đầu của chương trình đại số lớp 9. Về lý thuyết của phương trình bậc hai một ẩn rất ít, chỉ có công thức nghiệm và định lý Vi- ét nhưng lại đòi hỏi nhiều việc khai thác kiến thức mới và vận dụng kiến thức cũ. Đặc biệt chỉ khai thác định lý Vi- ét và áp dụng các dạng toán đã học giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải được rất nhiều dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn.
 Như vậy muốn giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn học sinh phải nắm vững các kiến thức và các dạng toán đã học ở các lớp dưới cũng như phần đầu của lớp 9. Đặc biệt nắm vững công thức nghiệm, định lý Vi- ét, hệ quả của định lý và biết cách khai thác tốt định lý. Học sinh phải nhận dạng nhanh các dạng toán để tìm phương pháp giải cho từng dạng một cách linh hoạt, sáng tạo. Chính vì thế mà phương trình bậc hai một ẩn giữ một vai trò quan trọng trong chương trình đại số nói riêng và chương toán nói chung ở cấp THCS đồng thời phương trình bậc hai một ẩn luôn được dùng để kiểm tra, đánh giá chất lượng học sinh cấp THCS.
II/ Thực trạng của vấn đề nghiên cứu :
 Trong những năm công tác tại trường THCS Thiệu Ngọc đặc biệt là những năm dạy lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh rất lúng túng khi giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Các em hầu như chưa biết phân loại các dạng toán cũng như chưa biết cách giải của từng dạng toán. Hầu hết các em mới chỉ đơn thuần giải được dạng toán giải phương trình bằng cách áp dụng công thức nghiệm. Nhiều em rất máy móc khi sử dụng công thức nghiệm, có những phương trình không cần sử dụng công thức nghiệm nhưng các em vẫn áp dụng công thức nghiệm. Đa số các em chưa giải được các dạng toán yêu cầu phải sử dụng và khai thác định lý Vi- ét. Đặc biệt các em chưa biết dùng các dạng toán đã học vào giải các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn. Do đó kết quả làm bài kiểm tra và bài thi của các em chưa cao đặc biệt là kết quả các kỳ thi học sinh giỏi, thi tốt nghiệp THCS, thi tuyển vào PTTH.
 Nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên là do các em chưa nắm vững công thức nghiệm và chưa biết vận dụng công thức nghiệm một cách hợp lý. Chưa biết sử dụng và chưa biết cách khai thác định lý Vi- ét. Các em không nhớ các kiến thức và các dạng toán đã học do đó không biết vận dụng các dạng toán đó vào giải các dạng toán ở phương trình bậc hai một ẩn. Trong khi đó bản thân giáo viên lại chủ quan khi dạy phần kiến thức này. Có thể giáo viên cho rằng chỉ cần truyền đạt cho học sinh nắm được công thức nghiệm và định lý Vi- ét là đã đủ mà không nghĩ đến việc hướng dẫn học sinh ôn luyện kiến thức cũ cũng như hướng dẫn học sinh khai thác
-3-
định lý Vi- ét để giải các dạng toán cơ bản về phương trình bậc hai một ẩn. Bên cạnh đó các tổ nhóm chuyên môn cũng chưa xác định được tầm quan trọng của các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn do đó chưa chú trọng chỉ đạo để cho giáo viên có phương hướng và giải pháp tích cực cho dạy phần này. Chính vì thế mà hiệu quả giảng dạy trong chương phương trình bậc hai một ẩn của nhà trường trong những năm qua chưa cao. Khi phát hiện ra vấn đề này bản thân tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng của học sinh lớp 9A mà tôi trực tiếp dạy, kết quả như sau :
Tổng số bài
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
40
2
5%
6
15%
12
30%
14
35%
6
15%
Kết quả này cho thấy chất lượng học sinh chưa cao nhất là tỷ lệ học sinh, khá giỏi.
III/ Thực nghiệm khoa học và kết quả thực nghiệm :
 Trước tình hình trên, qua nghiên cứu bản thân tôi đã hướng dẫn học sinh tạm phân loại các dạng toán về phương trình bậc hai một ẩn một cách cơ bản phù hợp với yêu cầu và trình độ của học sinh lớp 9 theo các dạng như sau :
1. Dạng Giải phương trình :
 Đây là dạng toán đơn giản của phương trình bậc hai một ẩn. Nhưng nếu chúng ta chủ quan trong giảng dạy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm như : sử dụng công thức nghiệm máy móc hoặc chưa biết sử dụng công thức nghiệm nào cho phù hợp. Do đó cần hướng dẫn học sinh phân biệt hai trường hợp sau :
* Trường hợp thứ nhất : Đối với phương trình bậc hai khuyết thì không cần dùng công thức nghiệm mà nên biến đổi đưa phương trình về các dạng đã gặp : - Nếu khuyết hệ số c ta biến đổi phương trình về dạng phương trình tích đã học ở lớp 8 .
- Nếu khuyết hệ số b ta đưa phương trình về dạng phương trình chứa căn bậc hai đã học đầu chương trình lớp 9. Trong trường hợp này nên lưu ý học sinh nếu hệ số a và hệ số b cùng dấu thì phương trình đã cho vô nghiệm ( lúc đó biểu thức dưới dấu căn sẽ mang giá trị âm ), không cần giải nữa mà có thể kết luận luôn về nghiệm của phương trình.
Ví dụ : Giải các phương trình :
a) x2 + 5x = 0 ; b) 2 x2 - 8 = 0 ; c) 5 x2 +7 = 0
Ta nhận thấy phương trình a) khuyết c nên ta đưa về dạng phương trình tích, phương trình b) khuyết b nên ta biến đổi đưa về dạng trình chứa căn bậc hai và giải như sau:
 a) x( x + 5 ) = 0 b) 2x2 = 8
 x = 0 hoặc x + 5 = 0 x2 = 4
 x1 = 0 hoặc x2 = -5 x1 = - 2 ; x2 = 2
Đối với phương trình c) do hệ số a và b cùng dấu nên phương trình vô nghiệm .
- 4 -
* Trường hợp phương trình bậc hai đủ : Phương trình có dạng : a x2 + bx + c = 0 phải dùng công thức nghiệm ( bao gồm công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn ) và định lý Vi- ét để giải. Cần hướng dẫn học sinh xem xét chọn cách giải theo quy trình sau :
- Trước hết xét các hệ số a, b, c trong phương trình, nếu có dạng a + b + c = 0 hoặc a- b+c = 0 thì áp dụng hệ quả của định lý Vi- ét, không nên dùng công thức nghiệm nào cả.
- Nếu các hệ số a, b, c không có dạng trên thì chú ý đến hệ số b: + Nếu hệ số b chẵn thì áp dụng công thức nghiệm thu gọn . + Nếu hệ số b lẻ thì áp dụng công thức nghiệm tổng quát.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a) 3 x2 + 8x + 5 = 0 ; b) 2x - 7x + 5 = 0 ; c) x2 + 4x - 12 = 0 ; d) x2- 3x - 5 = 0 *Phương trình a): Vì a - b + c = 3 - 8 + 5 = 0 nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có : x1 = -1 ; x2 = .
*Phương trình b): Vì a + b + c = 2 + ( -7 ) + 5 = 0 nên áp dụng hệ quả của định lý Vi-ét ta có : x1 = 1 ; x2 = 
*Phương trình c) : Vì hệ số b chẵn nên áp dụng công thức nghiệm thu gọn và giải như sau :
 ’ = 22 - 1. (-12) = 4 + 12 = 16
’ > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
x1 = -2 + = -2 + 4 = 2
x2 = -2 - = -2 - 4 = - 6
*Phương trình d) : Vì hệ số b lẻ nên áp dụng công thức nghiệm tổng quát và giải như sau :
 = (-3)2 - 4.1.(-5) = 9 + 20 = 29
 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
 x1 = ; x2 = 
 Đối với phương trình bậc hai đủ thì lưu ý học sinh : Nếu hệ số a và hệ số c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại : Đối với dạng toán giải phương trình giáo viên cần lưu ý học sinh phải xem xét đề bài để chọn cách giải ngắn gọn, phù hợp không máy móc dùng công thức nhiệm.
2. Dạng Biện luận phương trình :
Dạng toán này bao gồm : Tìm giá trị của tham số để :
- Phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm
- Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu, cùng dương, cùng âm.
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Cách giải của từng dạng cụ thể như sau :
a) Dạng tìm giá trị của tham số để phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm thì áp dụng công thức nghiệm :
- 5 -
Phương trình : ax2 + bx + c = 0, có = b2 - 4ac
+ Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép : x1= x2 =- + Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
 x1 = ; x2 = 
+ Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1 : Cho phương trình : 3x2 + 7x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm.
Giải : Ta có: = 72 - 4.3.m = 49 - 12m.
Phương trình có nghiệm kép 49 - 12m = 0 m = 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 49 - 12m > 0 m <
Phương trình vô nghiệm 49 - 12m 
Chú ý :
* Trường hợp hệ số b chẵn ta áp dụng công thức nghiệm thu gọn và giải tương tự như ví dụ 1.
Ví dụ 2 : Cho phương trình : x2 + 2.(m+2)x + m2 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép, có 2 nghiệm phân biệt, vô nghiệm.
Giải : Ta có: ’ = (m+2)2 - 1. m2 = m2 + 4m + 4 - m2 = 4m + 4
Phương trình có nghiệm kép 4m + 4 = 0 m = -1
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 4m + 4 > 0 m > -1
Phương trình vô nghiệm 4m + 4 < 0 m < -1
* Trường hợp biểu thức của ( hoặc ’) có chứa luỹ thừa bậc hai thì phải lập bảng xét dấu để biện luận phương trình.
Ví dụ 3 : Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 3 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Giải : Ta có : = (m + 1)2 - 4.1.3 = m2 + 2m + 1 - 12 = m2 + 2m - 11 (1)
 ’m= 12 -1.(-11) = 1 + 11 = 12
 ’m> 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt :
 m1 = - 1+ ; m2 = - 1-
Ta có bảng xét dấu :
M
-1- -1+
 + 0 - 0 +
Dựa vào bảng xét dấu ta có :
 - Phương trình đã cho có nghiệm kép m = - 1+ hoặc m = - 1- 
- 6 -
 - Phương trình có hai nghiệm phân biệt m > -1+ hoặc m < - 1-
 - Phương trình vô nghiệm -1-<m<-1+
 Như vậy muốn biện luận phương trình bậc hai ta phải dùng công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn. Đồng thời dùng công thức nghiệm ta còn có thể giải được dạng toán “ Chứng minh phương trình vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép”.
Ví dụ : a, Chứng minh phương trình 2x2- 3x - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
 b, Chứng minh phương trình x2 + 5x + 12 = 0 vô nghiệm.
 c, Chứng minh phương trình 2x2 - 4x + 2 = 0 có nghiệm kép.
Giải :
a, = (-3)2 - 4.2.(-5) = 9 + 40 = 49 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b, = 52 - 4.1.12 = 25 - 48 = - 23 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
c, ’ = (-2)2 - 2.2 = 4 - 4 = 0 nên phương trình có nghịêm kép.
b) Dạng toán tìm giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, khác dấu, hai nghiệm cùng dương, hai nghiệm cùng cùng âm :
 Theo định lý Vi-et : Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có > 0 thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn :
+ Tổng hai nghiệm : S = x1 + x2 = 
+ Tích hai nghiệm : P = x1. x2 = 
Từ đó ta suy ra :
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi : > 0 và P > 0
Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi : > 0 và P < 0
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi : > 0, P > 0 và S > 0
Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi : > 0 , P > 0 và S < 0
 ( Nếu hệ số b chẵn thì xét ’ thay cho )
Ví dụ : Cho phương trình : x2 + 2( m+1)x + 2m - 5 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu, trái dấu, cùng dương, cùng âm.
Giải : Ta có: = (m+1)2 - 1.(2m-5) = m2 + 2m + 1 - 2m + 5 = m2 + 6 > 0 với m. 
 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.Theo định lý Vi- ét : S = 2(m+1); P = 2m-5.
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi : 2m - 5 > 0 m > 2,5.
Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi : 2m - 5 < 0 m < 2,5.
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi : m > 2,5 và 2(m+1) > 0
 m > 2,5 và m >-1 m > 2,5.
- Phương trình có hai nghiệm cùng âm khi : m > 2,5 và 2(m+1) < 0
 m >2 và m < -1 không có giá trị nào của m để phương trình có hai
nghiệm cùng âm
 Bằng cách tương tự ta còn có thể làm được dạng toán : Chứng minh phương trình có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm khác dấu, hai nghiệm cùng dương, hai nghiệm cùng âm với mọi giá trị của tham số.
- 7 -
Ví dụ : Cho phương trình ẩn x : 2x2 - 2mx - m2 - 1 = 0.Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m.
Giải : Ta có : ’ = (- m)2 - 2.( - m2 -1 ) = m2 + 2m2 + 2 = 3m2 + 2 > 0 với m.
Hơn nữa : P = < 0 với m . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm đó trái dấu với mọi giá trị của m.
3. Dạng toán tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phương trình thoã mãn điều kiện nào đó :
 Để làm toán dạng này cần áp dụng định lý Vi- et, các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số.
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2x + m - 1 = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x12 + x22 = 5.
Giải : Để phương trình có hai nghiệm thì :’ = 1 - 1. ( m - 1 ) = 2 - m [ 0
 m 2
Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2; x1. x2 = m - 1
Mặt khác : ( x1 + x2 )2 = ( x12 + x22 ) + 2x1x2
Do đó : 22 = 5 + 2.( m - 1 ) m = 
Vì m = < 2 nên với m = thì phương trình đã cho có hai nghiệm thoả mãn :
 x12 + x22 = 5
Ví dụ 2 : Cho phương trình ẩn x : ( m + 1 ) x2 - 2.(m - 1 ) x + m - 3 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Giải : Ta có ’ = 5 > 0 với m -1 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với m -1.
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi : > 0 và m -1
 m > 3 hoặc m < -1
Do nghiệm này gấp đôi nghiệm kia nên theo định lý Vi- et ta có :
 2x12 = và 3x1 = 
	 m2 - 2m - 35 = 0 (1)
Giải phương trình (1) ta có : m1 = 14, m2 = 8
Vì m1 = 7 > 3, m2 = - 5 <- 1 nên phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia khi m = 7 hoặc m = - 5
Ví dụ 3 : Cho phương trình : ( m - 1 ) x2 - 2mx + m + 1 = 0
Tìm m để : + + = 0 (1)
Giải : Từ (1) ta có : 2( x12 + x22 ) = - 5 x1x2
- 8 -
 Mà : x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2
 Nên : 2 [ ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 ] = - 5x1x2
 	2( x1 + x2 )2 = - x1x2
- 8 -
 	2()2 = - 
 8m2( m - 1 ) = - ( m2 - 1 )
 8m3 - 8m2 = - m2 + 1
 8m3 - 7m2 - 1 = 0
 ( m - 1 ) ( 8m2 + m + 1 ) = 0
Vì : Phương trình : m - 1 = 0 có một nghiệm là x = 1
 Phương trình : 8m2 + m + 1 = 0 vô nghiệm
Nên m = 1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 4 : Gọi x1 và x2 là hai nghiệm nghiệm của phương trình :
 mx2 - 2( m + 3 )x + m + 2 = 0
Tìm m để : F = + có giá trị nguyên
Giải : Theo định lý Vi-et ta có : x1 + x2 = ; x1x2 = 
Do đó : F = + = = . = = 1 + có giá trị nguyên khi có giá trị nguyên
 	m + 2 là ước của 1
 	m + 2 = 1;
 m + 2 = - 1
 m = -1
 m = - 3
Vậy F có giá trị nguyên khi m = - 1 hoặc m = - 3
 Như vậy đối với dạng toán “ Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện nào đó ” chúng ta phải sử dụng định lý Vi-et,
các hằng đẳng thức đáng nhớ và phải có kỹ năng biến đổi đại số tốt
4. Dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào
tham số
 Dạng toán này chúng ta thường gặp, cách giải không phức tạp nhưng nó là dạng toán tổng hợp nhiều kiến thức cơ bản trong chương trình đại số lớp 9. Để giải dạng toán này ta làm theo các bước sau :
Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
áp dụng định lý Vi-et lập hệ phương trình ( tổng và tích hai nghiệm ) có hai ẩn là x1 và x2
áp dụng cách giải hệ phương trình biến đổi để khử tham số
Ví dụ : Cho phương trình ẩn x : 
x2 - 2.( m + 1 )x + 2m + 10 = 0
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
Giải : Ta có ’ = m2 - 9.
Do đó phương ttrình có hai nghiệm phân biệt khi m 3.
Theo hệ thức Vi-et : x1 x2 = 2m + 10
 x1 + x2 = 2( m + 1 ) = 2m + 2
 x1x2 - ( x1 + x2 ) = 8
 Đây là biểu thức cần lập.
5. Dạng toán tìm giá trị của tham số để biểu thức chứa x1, x2 có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức chứậ x1, x2
 Dạng toán này cũng là dạng toán học sinh đã được làm quen từ lớp 7, chỉ khác là các em phải biết áp dụng định lý Vi-et để lập ra biểu thức chứa x1, x2. Vì vậy để giải dạng toán này , trước hết phải tính tổng và tích các nghiệm dựa vào định lý Vi-et sau đó mới tìm điều kiện của tham số để biểu thức vừa lập được có giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất hoặc tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức đó theo yêu cầu của bài toán.
Ví dụ : Cho phương trình bậc hai ẩn x : x2 - 2( m - 1 )x + n + 1 = 0
Khi m - n = 4, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của p = x12 + x22
Giải : Từ m - n = 4 ta suy ra ; n = m - 4 . 
 Theo định lý Vi-et : x1 + x2 = 2 ( m - 1 ) ; x1x2 = n + 1
Do đó : P = x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 
 = [ 2( m - 1 ) ]2 - 2( n + 1 )
 = [ 4( m2 - 2m + 1 ) ] - 2 ( m - 3 )
 = 4m2 - 8m + 2 - 2m + 6
 = 4m2 - 10m + 8
 = ( 2m - 2,5 )2 + 1,75 1,75
 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1,75 khi m = 1,25